资源描述
机电工程系机电工程系1.状状态空空间表达式表达式：状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。它构成对一个系统动态行为的完整描述。Y:输出向量 u:输入向量A:系数矩阵 B:控制矩阵（输入矩阵）C:输出矩阵D:直接矩阵状态方程：由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量，系系统状状态变量的数目是惟一的量的数目是惟一的如果矩阵A,B,C,D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（性定常（LTI）系系统。如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性性时变系系统。2.2.由系由系统微分方程求其状微分方程求其状态空空间表达式步表达式步骤1）假设初始条件为零，将系统微分方程的拉氏变换2）移项变为系统的传递函数3）拼凑分开输入输出变量4）反拉氏变换，写出输入输出微分方程5）用X替换Z，写出X和Y的含X的微分方程6）将微分方程改写为矩阵形式7）画模拟结构图。传递函数函数系系统初始松弛（即：初始条件初始松弛（即：初始条件为零）零）时，输出量的拉氏出量的拉氏变换式与式与输入量的拉氏入量的拉氏变换式之比。式之比。1.3.3 传递函数（矩函数（矩阵）描述和状）描述和状态空空间描述的比描述的比较1）传递函数是系函数是系统在初始松弛的假定下在初始松弛的假定下输入入-输出出间的关系描述，非初始松弛系的关系描述，非初始松弛系统，不能，不能应用用这种描述；状种描述；状态空空间表达式即可以描述初始松弛系表达式即可以描述初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系，也可以描述非初始松弛系统。2）传递函数函数仅适用于适用于线性定常系性定常系统；而状；而状态空空间表达式可以在定常系表达式可以在定常系统中中应用，也可以在用，也可以在时变系系统中中应用。用。3）对于数学模型不明的于数学模型不明的线性定常系性定常系统，难以建立状以建立状态空空间表达式；用表达式；用实验法法获得得频率特性，率特性，进而可以而可以获得得传递函函数。数。综上所示，上所示，传递函数（矩函数（矩阵）和状）和状态空空间表达式表达式这两种描述各有所两种描述各有所长，在系，在系统分析和分析和设计中都得到广泛中都得到广泛应用。用。1-机电工程系机电工程系2.化矩化矩阵 A 为约当形当形如果矩如果矩阵 A 有重特征有重特征值，并且独立特征向量的个数小于，并且独立特征向量的个数小于n,这时不能化不能化为对角角阵，只能化，只能化为约当形。当形。2-机电工程系机电工程系例例1-71-7 将矩将矩阵 化化为对角角阵解解解出解出变换矩矩阵求求线性性变换的目的：将的目的：将系系统矩矩阵变成成为标准形，准形，便于求解状便于求解状态方程。方程。3-机电工程系机电工程系系系统输出向量出向量对输入向量的脉冲入向量的脉冲传递函数矩函数矩阵例例1-61-6 已知已知线性定常离散系性定常离散系统方程方程为求其脉冲求其脉冲传递函数矩函数矩阵解解脉冲脉冲传递函数矩函数矩阵4-机电工程系机电工程系状态空间表达式的模拟结构图一阶标量微分方程 的结构模拟图 1 从状态空间表达式画系统模拟框图5-机电工程系机电工程系例例1-41-4 系系统状状态方程式方程式为求系求系统传递函数。函数。解解：6-机电工程系机电工程系例例1-51-5 线性定常系性定常系统状状态空空间表达式表达式为求系求系统的的传递函数矩函数矩阵。解解7-机电工程系机电工程系8-机电工程系机电工程系9-机电工程系机电工程系10-机电工程系机电工程系例例2-12-1 线性定常系性定常系统的的齐次状次状态方程方程为求其状求其状态转移矩移矩阵解于是于是L11-机电工程系机电工程系12-机电工程系机电工程系13-机电工程系机电工程系14-机电工程系机电工程系15-机电工程系机电工程系16-机电工程系机电工程系17-机电工程系机电工程系18-机电工程系机电工程系19-机电工程系机电工程系20-机电工程系机电工程系21-机电工程系机电工程系22-机电工程系机电工程系例例3-16 系系统方程如下，要求按能控性方程如下，要求按能控性进行行结构分解。构分解。解解系系统不能控不能控由于由于 的秩的秩为1。说明明 中中线性独立的列向量只有一列。性独立的列向量只有一列。选择 ，再，再补充一个列向量，且与其充一个列向量，且与其线性无关，性无关，经过线性性变换后后23-机电工程系机电工程系24-机电工程系机电工程系25-机电工程系机电工程系26-机电工程系机电工程系例例4-24-2 系系统的状的状态方程如下，判方程如下，判别系系统稳定性。定性。解解而而将状将状态方程代入上式，化方程代入上式，化简后得后得选取取Lyapunov函数，函数，显然是正定的，即然是正定的，即满足足可可见，是是负定的，即定的，即满足足因此，因此，是一致是一致渐进稳定的。定的。当当 ，有，有 ，故系，故系统 是一致是一致大范大范围渐进稳定的。定的。27-机电工程系机电工程系例例4-34-3 系系统的状的状态方程方程为其中，其中，a 为大于零的大于零的实数。判数。判别系系统的的稳定性。定性。解解 系系统的平衡状的平衡状态为 选取取Lyapunov函数：函数：显然它是正定的，即然它是正定的，即满足足而而将状将状态方程代入上式，化方程代入上式，化简后得后得可可见，当，当 和任意的和任意的 时，有，有 ，而，而 和任意和任意 时，。又因。又因为 ，只要，只要 变化化 就不就不为零，因此在整条状零，因此在整条状态轨线上不会有上不会有 。因此，因此，是一致是一致渐进稳定的。定的。当当 ，有，有 ，故系，故系统 是一致是一致大范大范围渐进稳定的。定的。28-机电工程系机电工程系例例4-44-4 系系统的状的状态方程方程为其中，其中，k 为大于零的大于零的实数。分析系数。分析系统平衡状平衡状态的的稳定性。定性。解解 系系统的平衡状的平衡状态为 选取取Lyapunov函数：函数：显然它是正定的，即然它是正定的，即满足足而而由定理由定理4-3可知，可知，为Lyapunov意意义下一致下一致稳定。定。29-机电工程系机电工程系定理定理4-44-4 设系系统状状态方程方程为 在在 的某的某邻域内，域内，标量函数量函数 具有具有连续一一阶偏偏导数，数，并且并且满足：足：1）为正定；正定；2）为正定或半正定；正定或半正定；则 为不不稳定的。定的。例例4-54-5 系系统的状的状态方程方程为分析系分析系统平衡状平衡状态的的稳定性。定性。解解 系系统的平衡状的平衡状态为 选取取Lyapunov函数：函数：显然它是正定的，即然它是正定的，即满足足而而由定理由定理4-4可知，可知，是不是不稳定的。定的。30-机电工程系机电工程系例例4-64-6 线性定常系性定常系统的状的状态方程方程为判判别系系统的的稳定性。定性。解解 系系统的平衡状的平衡状态为 为简单起起见，可以令，可以令Q 阵为单位矩位矩阵I。解得解得有有可可见，P 为正定的矩正定的矩阵，故，故 为大范大范围一致一致渐近近稳定定的。的。31-机电工程系机电工程系例例4-74-7 线性定常离散系性定常离散系统的状的状态方程如下，方程如下，试判判别其其稳定性。定性。解解 系系统的平衡状的平衡状态为 为简单起起见，可以令，可以令Q 阵为单位矩位矩阵I。解得解得P 的各的各阶主子式均大于零，即主子式均大于零，即可可见，P 为正定的矩正定的矩阵，故，故 为大范大范围一致一致渐近近稳定定的。的。32-机电工程系机电工程系33-机电工程系机电工程系34-机电工程系机电工程系35-机电工程系机电工程系36-机电工程系机电工程系例例5-15-1 某位置控制系某位置控制系统（伺服系（伺服系统）简化化线路如下路如下为了了实现全状全状态反反馈，电动机机轴上安装了上安装了测速速发电机机TG，通通过霍霍尔电流流传感器感器测得得电枢枢电流流 ，即，即 。已知。已知折算到折算到电动机机轴上的粘性摩擦系数上的粘性摩擦系数 、转动惯量量 ；电动机机电枢回路枢回路电阻阻 ；电枢回路枢回路电感感 ；电动势系数系数为 、电动机机转矩系数矩系数为 。选择 、作作为状状态变量。将系量。将系统极点配置到极点配置到 和和 ，求求K 阵。37-机电工程系机电工程系38-机电工程系机电工程系39-
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