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第七章第七章 空间解析几何简介空间解析几何简介第一节 空间直角坐标系一、空间直角坐标一、空间直角坐标二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离三、小结三、小结一、空间直角坐标一、空间直角坐标横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴原点原点空间直角坐标系空间直角坐标系一个原点一个原点;三条坐标轴三条坐标轴(正方向正方向符合右手法则符合右手法则);三个平面三个平面:XOY平面平面;XOZ平面平面;YOZ平面平面;八个卦限八个卦限:(space rectangular coordinates system)(abscissa axis)(ordinate axis)(origin)(vertical axis)面面面面面面空间被分为空间被分为八个卦限八个卦限空间的点空间的点三元有序数组三元有序数组特殊点特殊点的表示的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点x0,y0,z0 x0,z0 x0,y0 x0,y0,z0 x0,z0 x0,y0,z0,y0 x0,y0,z0八个八个卦限中点的坐标卦限中点的坐标卦限卦限 点的坐标点的坐标()z zy yx x,卦限卦限 点的坐标点的坐标()z zy yx x,二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为空间两点为空间两点空间两点间距离公式空间两点间距离公式点点 到原点到原点 的距离为的距离为:解解原结论成立原结论成立.n维空间维空间表示为表示为：称称n元元有序实数组有序实数组 的全体的全体构成的构成的集合为集合为n维空间维空间.n维空间中两点间的距离维空间中两点间的距离 注注：当：当n=1,2,3时，上式即是时，上式即是数轴数轴、平面平面及及空间空间 两点间的距离两点间的距离.其中，点为其中，点为和和空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（一点、三轴、三面、八卦限）（一点、三轴、三面、八卦限）三、小结三、小结思考题思考题在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？限？思考题解答思考题解答A ;B ;C ;D .1.1.下列各点所在卦限分别是：下列各点所在卦限分别是：一、填空题一、填空题练习题练习题练习题答案练习题答案第二节第二节 向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量及其几何表示一、向量及其几何表示二、向量的坐标表示二、向量的坐标表示三、向量的模与方向角三、向量的模与方向角四、向量的线性运算四、向量的线性运算五、向量的分向量表示式五、向量的分向量表示式六、小结六、小结向量向量(vector)：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：一、向量及其几何表示一、向量及其几何表示或或向径：向径：自由向量：自由向量：不考虑起点、终点位置的向量不考虑起点、终点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量，记为大小相等但方向相反的向量，记为 .空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：向量向量ar与向量与向量br的夹角的夹角二、向量的坐标表示二、向量的坐标表示向量在向量在x轴上的投影轴上的投影向量在向量在y轴上的投影轴上的投影向量在向量在z轴上的投影轴上的投影向量的向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：特殊地：三、向量的模三、向量的模(modulus)与方向角与方向角模长为模长为1 1的向量，记为的向量，记为|向量的模（向量的模（大小）大小）：单位向量单位向量(unit vector)：或或或或非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的非零向量与三条坐标轴的正向正向的夹角的夹角.当当 时，时，向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦的特征方向余弦的特征单位向量与方向余弦的关系为单位向量与方向余弦的关系为:cos,cos,cos0g gb ba a=a四、向量的线性运算四、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法（平行四边形法则）平行四边形法则）向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）向量的减法向量的减法平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则向量加减法的坐标表达式向量加减法的坐标表达式2 2向量与数的乘法（数乘）向量与数的乘法（数乘）设设l l是一个数，向量是一个数，向量ar与与l l的乘积的乘积arl l规定为：规定为：数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：向量与数的乘法的坐标表达式：向量与数的乘法的坐标表达式：两个向量的平行两个向量的平行 对应分量成比例对应分量成比例五、向量的分向量表示式五、向量的分向量表示式表示向量在表示向量在x、y、z轴上的投影轴上的投影六、小结六、小结向量的坐标表示向量的坐标表示向量的模与方向角向量的模与方向角（注意分向量与向量的坐标表示的注意分向量与向量的坐标表示的区别区别）向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法向量的分向量表示式向量的分向量表示式一、向量的数量积一、向量的数量积二、向量的向量积二、向量的向量积三、小结三、小结 第三节第三节 向量的数量积向量的数量积 向量积向量积一、向量的数量积一、向量的数量积(scalar product)实例实例启示启示 两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.定义定义(其中其中q q为为ar与与br的夹角的夹角)数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.数量积结论：数量积结论：证证证证数量积数量积符合下列符合下列运算规律：运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：（3 3）若）若 为数为数：若若 、为数为数：设设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为rr解解例例 1 1 已知已知4,1,1-=a，2,2,1-=b，求，求:b(1)ar；（；（r2）ar与与 b的夹角；的夹角；r实例实例二、向量的向量积二、向量的向量积(vector product)向量积结论：向量积结论：/定义定义向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.其模向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：证证/设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用向量积还可用三阶行列式三阶行列式表示表示/由上式可推出由上式可推出说明：向量积模的几何意义说明：向量积模的几何意义例如，例如，向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题 练习题答案练习题答案一、平面及其方程一、平面及其方程二、直线及其方程二、直线及其方程三、小结三、小结 第四节第四节 平面与直线平面与直线一、平面一、平面(plane)及其方程及其方程(equation)如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量(normal vector)1.1.平面的平面的点法式点法式方程方程平面的平面的点法式点法式方程方程已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的平面的一般式一般式方程方程其法向量为其法向量为:2.2.平面的平面的一般式一般式方程方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解将将代入所设方程得代入所设方程得平面的平面的截距式截距式方程方程(intercept form)3.两平面的相互关系两平面的相互关系/相交程度的反映指标两平面的夹角两平面的夹角定义定义（通常取锐角）通常取锐角）两平面两平面法向量之间的夹角法向量之间的夹角称为两平面的称为两平面的夹角夹角.两平面的夹角两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式4.4.点到平面的距离点到平面的距离(distance)二、直线二、直线(straight line)及其方程及其方程方向向量方向向量(direction vector)的定义的定义 如果一如果一非零非零向量平行于向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/1.1.直线的直线的参数式参数式方程与方程与对称式对称式方程方程直线的直线的参数式参数式方程方程直线的直线的对称式对称式方程方程(symmetric equation)直线的一组直线的一组方向数方向数(parametric equation)定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的空间直线的一般式一般式方程方程2.2.直线的直线的一般式一般式方程方程两直线的特殊位置关系判定：两直线的特殊位置关系判定：/直线直线直线直线例如，例如，直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式夹角夹角（3）两直线的）两直线的4.4.直线与平面的关系直线与平面的关系（3）与与 相交相交于一点于一点(1)与与 平行平行或或 含于含于 1.平面方程平面方程2.两平面的关系两平面的关系3.点到平面的距离公式点到平面的距离公式点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.三、小结三、小结5.空间两直线的关系空间两直线的关系6.直线与平面的关系直线与平面的关系4.直线方程直线方程参数方程参数方程一般式方程一般式方程对称式方程对称式方程一、柱面与旋转曲面一、柱面与旋转曲面二、二次曲面二、二次曲面三、小结三、小结第五节第五节 曲面及其方程曲面及其方程一、柱面与旋转曲面一、柱面与旋转曲面播播 放放定义定义1.柱面柱面(cylinder)平行于平行于定直线定直线并沿并沿定曲线定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面。所形成的曲面称为柱面。这条定曲线这条定曲线C叫柱面的叫柱面的准线准线(directrix),动直线动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线(generatrix).柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面(Cylinder of the second order parabolic)实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 母线母线/轴轴双曲柱面双曲柱面 母线母线/轴轴抛物柱面抛物柱面 母线母线/轴轴从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）只含只含yx,而而缺缺z的方程的方程0),(=yxF，在，在空间直角坐标系中表示空间直角坐标系中表示母线平行于母线平行于z轴轴的柱的柱面，其准线为面，其准线为xoy面上曲线面上曲线C.2.2.旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution)定义定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴(axis)yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),(=zyf绕绕z轴轴旋旋转一周的转一周的旋转曲面方程为旋转曲面方程为:同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),(=zyf绕绕y轴轴旋转一周的旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为特别当特别当 时时,圆锥面方圆锥面方程为程为:(hyperboloid)由双曲线由双曲线12222=-czax分别绕分别绕x轴和轴和z轴旋转所得轴旋转所得.2.旋转双曲面旋转双曲面(Ellipsoid)3.旋转椭球面旋转椭球面(Paraboloid )4.旋转抛物面旋转抛物面二次曲面：二次曲面：三元二次方程三元二次方程所表示的曲面。所表示的曲面。讨论二次曲面性状的方法：讨论二次曲面性状的方法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌截痕法截痕法(method of sections)二、二次曲面二、二次曲面1.椭球面椭球面(Ellipsoid)椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成方程可写为方程可写为球面球面方程可写为方程可写为2.抛物面抛物面（与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面原点叫椭圆抛物面的原点叫椭圆抛物面的顶点顶点.(Paraboloid)zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：特殊地特殊地：当：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的绕它的 轴轴旋转而成的）旋转而成的）(要记住其特征要记住其特征)（与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）xyzo(hyperbolic paraboloid)3.双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面(Hyperboloid of one sheet)xyoz双叶双曲面双叶双曲面xyo(Hyperboloid of two sheets)曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).三、小结三、小结椭球面、抛物面、双曲面椭球面、抛物面、双曲面.（熟知常见曲面的特性）熟知常见曲面的特性）思考题思考题 1.指出下列方程在平面解析几何中和空间指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？解析几何中分别表示什么图形？思考题思考题1解答解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程一、空间曲线及其方程一、空间曲线及其方程二、空间曲线在坐标面上的投影二、空间曲线在坐标面上的投影三、小结三、小结 思考题思考题 第六节 空间曲线及其方程一、空间曲线及其方程一、空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.1.1.曲线曲线(curve)(curve)的一般方程的一般方程例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为交线为椭圆椭圆.例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线表示怎样的曲线？解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2.2.曲线的参数方程曲线的参数方程螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程 空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程三、小结三、小结
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