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第一节平面向量的概念及线性运算第一节平面向量的概念及线性运算第一节平面向量的概念及线性运算第一节平面向量的概念及线性运算考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理1向量的有关概念向量的有关概念(1)向向量量的的概概念念：既既有有_又又有有_的的量量叫叫做做向向量量注注意意向向量量和和数数量量的的区区别，向向量量常常用用_来表示来表示(2)零向量：零向量：_的向量叫零向量，的向量叫零向量，记作：作：_，零向量的方向是，零向量的方向是_大小大小方向方向有向有向线段段长度度为0任意的任意的0(3)单位位向向量量：长度度为一一个个单位位长度度的的向向量量叫叫做做单位位向量向量(与与 共共线的的单位向量是位向量是_)(4)相相等等向向量量：长度度相相等等且且方方向向相相同同的的两两个个向向量量叫叫相相等向量，相等向量有等向量，相等向量有传递性性(5)平行向量平行向量(也叫共也叫共线向量向量)：方向相同或相反的非：方向相同或相反的非零向量零向量a、b叫做平行向量，叫做平行向量，记作：作：_，规定定零向量和零向量和_平行平行(6)相反向量：相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向度相等方向相反的向量叫做相反向量量a的相反向量是的相反向量是_.ab任意向量任意向量a2向量的向量的线性运算性运算向量向量运算运算定定义法法则(或几何意或几何意义)运算律运算律加法加法求两求两个向个向量和量和的运的运算算_法法则_法法则(1)交交换律：律：ab_.(2)结合律：合律：(ab)c_三角形三角形平行四平行四边形形baa(bc)向量向量运算运算定定义法法则(或几何意或几何意义)运算律运算律减法减法求求a与与b的相的相反向量反向量b的和的运算的和的运算 _法法则三角形三角形向量向量运算运算 定定义法法则(或几何意或几何意义)运算律运算律数乘数乘求求实数数与与向量向量a的的积的运算的运算(1)|a|_(2)当当0时，a与与a的方向的方向_；当；当0时，a与与a的方的方向向_；当；当0时，a_(a)_；()a_；(ab)_|a|.相同相同相反相反0()aaaab3.向量平行向量平行(共共线)的充要条件的充要条件向量向量a(a 0)与向量与向量b共共线的充要条件的充要条件为存在存在惟一一个惟一一个实数数，使，使_ba.思考感悟思考感悟如何用向量法如何用向量法证明三点明三点A、B、C共共线？课前热身课前热身课前热身课前热身1下列下列说法正确的是法正确的是_向向量量a，b共共线，向向量量b，c共共线，则a与与c也也共共线任任意意两两个个相相等等的的非非零零向向量量的的始始点点与与终点点是是一平行四一平行四边形的四个形的四个顶点点向量向量a与与b不共不共线，则a与与b都是非零向量都是非零向量有相同起点的两个非零向量不平行有相同起点的两个非零向量不平行答案：答案：3将将 2(2a8b)4(4a2b)化化简得得到到的的结果是果是_答案：答案：a2b考点探究考点探究挑战高考挑战高考向量的有关概念向量的有关概念考点一考点一考点突破考点突破考点突破考点突破向量中的有关概念容易混淆，向量是矢量，向量中的有关概念容易混淆，向量是矢量，有自己独特的运算法有自己独特的运算法则，准确把握与，准确把握与实数数的不同，的不同，记忆特殊的有关知特殊的有关知识才可以准确才可以准确判断，重点考判断，重点考查对概念的辨析概念的辨析 判断下列命判断下列命题是否正确：是否正确：(1)零向量没有方向；零向量没有方向；(2)若若|a|b|，则ab；(3)单位向量都相等；位向量都相等；(4)向量就是有向向量就是有向线段；段；(5)两相等向量若其起点相同，两相等向量若其起点相同，则终点也相同；点也相同；(6)若若ab，bc，则ac；(7)若若ab，bc，则ac；例例例例1 1【思思路路分分析析】正正确确理理解解向向量量的的有有关关概概念念是是解解决本决本题的关的关键【解解】(1)该命命题不不正正确确零零向向量量不不是是没没有有方向，而是方向任意方向，而是方向任意(2)该命命题不不正正确确|a|b|只只是是说明明这两两个个向向量的模相等，但其方向未必相同量的模相等，但其方向未必相同(3)该命命题不不正正确确单位位向向量量只只是是模模均均为单位位长度度1，而，而对方向没有要求方向没有要求(4)该命命题不不正正确确有有向向线段段只只是是向向量量的的一一种种表示形式，不能把两者等同起来表示形式，不能把两者等同起来(5)该命命题正正确确因因两两相相等等向向量量的的模模相相等等，方方向向相相同同，故故当当它它们的的起起点点相相同同时，则其其终点必重合点必重合(6)该命命题正正确确由由向向量量相相等等的的定定义知知，a与与b的的模模相相等等，b与与c的的模模相相等等，从从而而a与与c的的模模相相等等；又又a与与b的的方方向向相相同同，b与与c的的方方向向也也相相同，从而同，从而a与与c的方向也必相同，故的方向也必相同，故ac.(7)该命命题不不正正确确若若b0，则对两两不不共共线的的向向量量a与与c，也也有有a0，0c，但但a不不平平行行于于c.【名名师点点评】对向量有关概念的理解和向量有关概念的理解和判断，要准确掌握有关概念、向量中的典型判断，要准确掌握有关概念、向量中的典型特点，如特点，如带方向、可以平移、零向量等，要方向、可以平移、零向量等，要理解在有关理解在有关问题中所起的特殊作用、中所起的特殊作用、对有关有关问题的影响等，才可能不出的影响等，才可能不出错误向量的线性运算向量的线性运算考点二考点二考点二考点二关关于于向向量量的的加加法法和和减减法法，一一种种方方法法就就是是依依据据三三角角形形法法则通通过作作图来来解解决决，另另一一种种方方法法就就是是通通过表表示示向向量量的的有有向向线段段的的字字母母符符号号运运算算来解决来解决在使用三角形法在使用三角形法则求两向量的和求两向量的和时要注意要注意“首首尾相接尾相接”，求两向量的差，求两向量的差时要注意要注意“连接两个接两个向量的向量的终点，方向指向被减向量点，方向指向被减向量”，且两向量，且两向量要共起点要共起点例例例例2 2【思路分析思路分析】对于每个向量要找准向量的于每个向量要找准向量的起点和起点和终点，再利用向量的加减法法点，再利用向量的加减法法则，转化化为用用a、b来表示来表示【名名师点点评】三三角角形形中中两两边对应的的向向量量已已知知，可可求求第第三三边对应的的向向量量值得得注注意意的的是是，向向量量的的方方向向不不能能搞搞错当当向向量量运运算算转化化成成代代数数式式运运算算时，其其运运算算过程程可可仿仿照照多多项式式的的加加减减运运算算进行行向量的共向量的共线问题考点三考点三考点三考点三向量共线问题常见的有两种题型：一是根向量共线问题常见的有两种题型：一是根据条件证明三点共线；二是利用三点共线据条件证明三点共线；二是利用三点共线求参数的值无论上述哪种题型都离不开求参数的值无论上述哪种题型都离不开共线向量定理共线向量定理例例例例3 3【名名师点点评】(1)向向量量共共线是是指指存存在在实数数使使两两向量互相表示向量互相表示(2)向向量量共共线的的充充要要条条件件中中，通通常常只只有有非非零零向向量量才才能能表表示示与与之之共共线的的其其他他向向量量，要要注注意意待待定定系系数数法法的运用和方程思想的运用和方程思想(3)证明明三三点点共共线问题，可可用用向向量量共共线来来解解决决，但但应注注意意向向量量共共线与与三三点点共共线的的区区别与与联系系，当当两两向量共向量共线且有公共点且有公共点时，才能得出三点共，才能得出三点共线变式式训练2已知已知e1与与e2不平行，欲使不平行，欲使ke1e2和和e1ke2共共线，试确定确定实数数k的的值方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧1向量是自由向量，大小和方向是向量的向量是自由向量，大小和方向是向量的两个要素在用有向两个要素在用有向线段表示向量段表示向量时，要，要认识到有向到有向线段的起点的段的起点的选取是任意的不要取是任意的不要误以以为向量也是由起点、大小和方向三个要向量也是由起点、大小和方向三个要素决定的一句素决定的一句话，研究向量，研究向量问题应具有具有“平移平移”意意识长度相等、方向相同的向量度相等、方向相同的向量都是相等向量都是相等向量2共共线向向量量也也就就是是平平行行向向量量，其其要要求求是是几几个个非非零零向向量量的的方方向向相相同同或或相相反反当当然然向向量量所所在在的的直直线可可以以平平行行，也也可可以以重重合合其其中中“共共线”的的含含义不不同同于于平平面面几几何何中中“共共线”的的含含义实际上上，共共线向向量量有有以以下下四四种种情情况况：方方向向相相同同且且模模相相等等；方方向向相相同同且且模模不不等等；方方向向相相反反且且模模相相等等；方方向向相相反反且且模模不不等等这样，也也就就找找到到了了共共线向向量量与与相相等等向向量量的的关关系系，即即共共线向向量量不不一一定定是是相相等等向向量量，而而相等向量一定是共相等向量一定是共线向量向量3向向量量的的加加减减法法运运算算，要要在在所所表表达达的的图形形上上多多思思考考，多多联系系相相关关的的几几何何图形形，比比如如平平行行四四边形形、菱形、三角形等，可多菱形、三角形等，可多记忆一些有关的一些有关的结论4对于向量共于向量共线定理及其等价定理，关定理及其等价定理，关键要理要理解解为位置位置(共共线或不共或不共线)与向量等式之与向量等式之间所建立所建立的的对应关系用向量共关系用向量共线定理可以定理可以证明几何中的明几何中的三点共三点共线和直和直线平行平行问题但是向量平行与直但是向量平行与直线平行是有区平行是有区别的，直的，直线平行不包括重合的情况平行不包括重合的情况也就是也就是说，要，要证明三点共明三点共线或直或直线平行都是先探平行都是先探索有关的向量索有关的向量满足向量等式足向量等式ba，再，再结合条件合条件或或图形有无公共点形有无公共点证明几何位置明几何位置失失误防范防范1向向量量要要与与直直线区区别开开，向向量量只只与与方方向向、模模大大小小有有关关系系，而而直直线与与坐坐标平平面面内内的的位位置置关关系系有有关关2在向量平行的有关在向量平行的有关问题中，易忽略零向量中，易忽略零向量这一情形一情形考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考考情分析考情分析考情分析考情分析平面向量的概念及平面向量的概念及线性运算在近几年的江性运算在近几年的江苏高考高考中既是中既是热点又是重点，一般以填空点又是重点，一般以填空题形式出形式出现，有有时也出也出现在解答在解答题的某一步的某一步骤或某一或某一环节，出，出现的知的知识点可能以平面点可能以平面图形形为载体考体考查平面向量、平面向量、借助基向量考借助基向量考查交点位置或借助向量的坐交点位置或借助向量的坐标形式形式考考查共共线等等问题对概念一般不概念一般不单独考独考查，对线性运算和向量共性运算和向量共线定理的考定理的考查较频繁，常同平面繁，常同平面几何、解析几何等知几何、解析几何等知识结合，考合，考查线性运算的运性运算的运算法算法则及其几何意及其几何意义以及两个向量共以及两个向量共线的充要条的充要条件、向量的运算等，考件、向量的运算等，考查形式灵活形式灵活预测在在2012年江年江苏高考中，平面向量的概念及高考中，平面向量的概念及线性运算仍是重点考性运算仍是重点考查的内容之一的内容之一真题透析真题透析真题透析真题透析例例例例【答案答案】3【名名师点点评】与与三三角角形形有有关关的的平平面面向向量量问题，要要结合合三三角角形形的的有有关关几几何何性性质特特征征解解答答，平平面面向向量量的的加加、减减法法运运算算的的几几何何意意义体体现的的较为直直观形形象象在在考考查时，“形形”的的意意义在在解解题中中是是关关键，可可以以在在平平时的的训练中中多多总结思路、方法思路、方法名师预测名师预测名师预测名师预测答案：答案：答案：答案：4答案：答案：121p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后Thank You在别人的演说中思考，在自己的故事里成长Thinking In Other PeopleS Speeches，Growing Up In Your Own Story讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
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