2024-2025三年高考高考数学概率和统计

专题 排列组合、二项式定理 童静华2.【2024高考新课标1，理10】的绽开式中，的系数为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.【考点】本题主要考查利用排列组合学问计算二项式绽开式某一项的系数.【点评】本题利用排列组合求多项绽开式式某一项的系数，试题形式新奇，是中档题，求多项绽开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组学问求解.13.【2024高考新课标2，理15】的绽开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则_【答案】【解析】由已知得，故的绽开式中x的奇数次幂项分别为，其系数之和为，解得【考点】二项式定理【点评】本题考查二项式定理，精确写出二项绽开式，能正确求稀奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题 2024年（二）(14)的绽开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】考点:二项式定理【点睛】确定二项绽开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.2024年（一）（5）如图，小明从街道的E处动身，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参与志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B考点： 计数原理、组合.【点评】分类加法计数原理在运用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的分步乘法计数原理在运用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的2024（三）（12）定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对随意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有，则详细的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考点：计数原理的应用【方法点拨】求解计数问题时，假如遇到状况较为困难，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其全部可能一一列举出来，经常会达到岀奇制胜的效果1.【2024课标1，理6】绽开式中的系数为A15B20C30D35【答案】C【解析】中华.资*源%库 ziyuanku 试题分析因为，则绽开式中含的项为，绽开式中含的项为，故前系数为，选C.【考点】二项式定理【点评】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以其次个二项式的每项，分析好的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清晰构成这一项的详细状况，尤其是两个二项式绽开式中的不同.2.【2024课标3，理4】的绽开式中33的系数为A B C40D80【答案】C解析】【考点】 二项式绽开式的通项公式【点评】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成第一步依据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要留意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；其次步是依据所求的指数，再求所求解的项.WWW.ziyuanku (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理探讨求解.3.【2024课标II，理6】支配3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的支配方式共有（ ）A12种 B18种 C24种 D36种【答案】D【解析】试题分析由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的支配方式共有种方法。 故选D。【考点】 排列与组合；分步乘法计数原理【点评】(1)解排列组合问题要遵循两个原则一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步。详细地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特别元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。 $来&源：ziyuanku 4.【2024浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，一般队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_中不同的选法（用数字作答）【答案】660【解析】【考点】排列组合的应用【点评】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，肯定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理探讨时，既不能重复交叉探讨又不能遗漏，这样才能提高精确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式 5.【2024浙江，13】已知多项式32=，则=_，=_【答案】16，4【解析】【考点】二项式定理【点评】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简洁题 二项绽开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题（1）考查二项绽开式的通项公式；（可WWW.ziyuanku 以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用概率和统计3.【2024高考新课标1，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )（A）0.648 （B）0.432（C）0.36（D）0.312【答案】A【解析】依据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.【考点】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事务和概率公式【点评】解答本题时，先想到所求事务是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事务的和，而这两个事务又是试验3次恰好分别发生3次和2次的独立重复试验，本题很好考查了学生对独立重复试验和互斥事务的理解和公式的记忆与敏捷运用，是基础题，正确分析概率类型、敏捷运用概率公式是解本题的关键.4.【2024高考陕西，理11】设复数，若，则的概率为（ ）A B C D【答案】B【考点】1、复数的模；2、几何概型【点评】本题主要考查的是复数的模和几何概型，属于中档题解几何概型的试题，一般先求出试验的基本领件构成的区域长度（面积或体积），再求出事务构成的区域长度（面积或体积），最终代入几何概型的概率公式即可解本题须要驾驭的学问点是复数的模和几何概型的概率公式，即若（、），则，几何概型的概率公式12.【2024高考新课标2，理3】依据下面给出的2024年至2024年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )2024年2024年2024年2024年2024年2024年2024年2024年2024年2024年190020002100220023002400250026002700A逐年比较，2024年削减二氧化硫排放量的效果最显著B2024年我国治理二氧化硫排放显现C2024年以来我国二氧化硫年排放量呈削减趋势D2024年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图得，从2024年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D【考点】正、负相关【点评】本题以实际背景考查回来分析中的正、负相关，利用增长趋势或下降趋势理解正负相关的概念是解题关键，属于基础题17.【2024高考新课标2，理18】（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满足度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满足度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）依据两组数据完成两地区用户满足度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满足度评分的平均值及分散程度（不要求计算出详细值，得出结论即可）；A地区B地区456789（）依据用户满足度评分，将用户的满足度从低到高分为三个等级：满足度评分低于70分70分到89分不低于90分满足度等级不满足满足特别满足记时间C：“A地区用户的满足度等级高于B地区用户的满足度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立依据所给数据，以事务发生的频率作为相应事务发生的概率，求C的概率【答案】（）详见解析；（）【解析】（）两地区用户满足度评分的茎叶图如下A地区B地区4567896 81 3 6 432 4 5 5 6 4 23 3 4 6 96 8 8 6 4 33 2 19 2 8 6 5 11 37 5 5 2通过茎叶图可以看出，A地区用户满足度评分的平均值高于B地区用户满足度评分的平均值；A地区用户满足度评分比较集中，B地区用户满足度评分比较分散【考点】1、茎叶图和特征数；2、互斥事务和独立事务【点评】本题考查茎叶图、互斥事务和独立事务，依据茎叶的密集程度比较平均值大小，假如密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它们数字偏离程度，偏离越大则方差大读懂所求概率事务包含的含义，利用分类探讨思想将事务分解为几个互斥的状况来求概率18.【2024高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发觉自己遗忘了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王确定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则接着尝试，直至该银行卡被锁定.()求当天小王的该银行卡被锁定的概率；()设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望【答案】()；()分布列见解析，期望为【解析】（）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事务为A，则（）依题意得，X全部可能的取值是1，2，3又所以X的分布列为所以学优高考网【考点】1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望【点评】本题考查古典概型和随机变量的期望，第一问，将事务转化为所选的三个密码都不是该银行卡密码，共有种，而基本领件总数为，代入古典概型概率计算公式；其次问，写出离散型随机变量全部可能取值，并求取相应值的概率，写成分布列求期望即可确定离散型取值时，要科学兼顾其实际意义，做到不重不漏，计算出概率后要留意检验概率和是否为1，以便刚好矫正。 26.【2024高考新课标1，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需了解年宣扬费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣扬费和年销售量（=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.656.36.8289.81.61469108.8表中 ， =（）依据散点图推断，y=a+bx与y=c+d哪一个相宜作为年销售量y关于年宣扬费x的回来方程类型？（给出推断即可，不必说明理由）（）依据（）的推断结果及表中数据，建立y关于x的回来方程；（）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.依据（）的结果回答下列问题：()年宣扬费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？()年宣扬费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据,，,其回来线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【答案】（）适合作为年销售关于年宣扬费用的回来方程类型；（）（）46.24【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令，先求出建立关于的线性回来方程，即可关于的回来方程；（）()利用关于的回来方程先求出年销售量的预报值，再依据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（）依据（）的结果知，年利润z的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣扬费用.试题解析：（）由散点图可以推断，适合作为年销售关于年宣扬费用的回来方程类型. 2分故宣扬费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.12分【考点】非线性拟合；线性回来方程求法；利用回来方程进行预报预料；应用意识【点评】本题考查了非线性拟合及非线性回来方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再依据散点图选择合适的函数类型，设出回来方程，利用换元法将非线性回来方程化为线性回来方程，求出样本数据换元后的值，然后依据线性回来方程的计算方法计算变换后的线性回来方程系数，即可求出非线性回来方程，再利用回来方程进行预报预料，留意计算要细心，避开计算错误.【答案】（1），（2），（3）或【解析】试题分析：针对甲有7种状况，康复时间不少于14天有3种状况，概率为；假如，甲、乙随机各取一人有49种状况，用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的状况有10种，概率为，由于A组数据为10，11，12，13，14，15，16；B组数据调整为，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，由于，两组病人康复时间的方差相等，即波动相同，所以或.试题解析：()甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率；() 假如，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率.()把B组数据调整为，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，可见当或时，与A组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不须要)考点：1、古典概型；2、样本的方差【点评】本题考查古典概型和样本的方差，本题属于基础题，利用列举法精确列举事务的种数，求出概率.依据方差反应样本波动的大小，求出未知量.2024年（一）（4）某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（A） （B） （C） （D）【答案】B考点：几何概型【点评】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由：长度、面积、体积等.2024年（一）（19）（本小题满分12分）某公司支配购买2台机器,该种机器运用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器运用期间,假如备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年运用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求的分布列；（II）若要求,确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？【答案】（I）见解析（II）19（III）【解析】试题分析：（I）先确定X的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,再用相互独立事务概率模型求概率,然后写出分布列；（II）通过频率大小进行比较；（III）分别求出n=9,n=20的期望,依据时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,应选.所以的分布列为16171819202122（）由（）知,故的最小值为19.（）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当时,.当时,.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.考点：概率与统计、随机变量的分布列【点评】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有肯定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提示考生要重视数学中的阅读理解问题. 2024（二）（10）从区间随机抽取个数,，构成n个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.考点： 几何概型.【点评】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事务对应的面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解2024（二）18.（本题满分12分）某险种的基本保费为（单位：元），接着购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.851.251.51.752设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【答案】（）0.55；（）；（）.【解析】试题分析：（）依据互斥事务的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3，由条件概率公式求解；（）记续保人本年度的保费为，求的分布列，再依据期望公式求解.试题解析：（）设表示事务：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事务发生当且仅当一年内出险次数大于1，故（）设表示事务：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事务发生当且仅当一年内出险次数大于3，故又，故因此所求概率为考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.【点评】条件概率的求法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)，求P(B|A)；(2)基本领件法：当基本领件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事务A包含的基本领件数n(A)，再在事务A发生的条件下求事务B包含的基本领件数n(AB)，得P(B|A).求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)求X的每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值定义求出E(X)2024（三）（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温状况，绘制了一年中月平均最高气温柔平均最低气温的雷达图图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为下面叙述不正确的是（ ）(A)各月的平均最低气温都在以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于的月份有5个【答案】D考点：1、平均数；2、统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条相识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B2024（三）（18）（本小题满分12分）下图是我国2024年至2024年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回来模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（II）建立关于的回来方程（系数精确到0.01），预料2024年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：，2.646.参考公式：相关系数 回来方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】（）理由见解析；（）1.82亿吨试题解析：（）由折线图这数据和附注中参考数据得，因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回来模型拟合与的关系.考点：线性相关与线性回来方程的求法与应用【方法】（1）推断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观推断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后依据的大小进行推断求线性回来方程时在严格依据公式求解时，肯定要留意计算的精确性 .【2024课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是ABCD【答案】B【解析】【考点】几何概型【点评】对于几何概型的计算，首先确定事务类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本领件区域的几何度量和事务A区域的几何度量，最终计算. 2.【2024课标3，理3】某城市为了解游客人数的改变规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2024年1月至2024年12月期间月接待游客量（单位万人）的数据，绘制了下面的折线图中华.资*源%库 ziyuanku 依据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，改变比较平稳【答案】A【解析】【考点】 折线图【点评】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延长半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律.3.【2024浙江，8】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1pi，i=1，2 若0p1p2，则A，BC，【答案】A【解析】试题分析，选A【考点】 两点分布【点评】求离散型随机变量的分布列，首先要依据详细状况确定的取值状况，然后利用排列，组合与概率学问求出取各个值时的概率对于听从某些特别分布的随机变量，其分布列可以干脆应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数由已知本题随机变量听从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得A正确6.【2024课标II，理13】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 。【答案】【考点】 二项分布的期望与方差【点评】推断一个随机变量是否听从二项分布，要看两点一是是否为n次独立重复试验。在每次试验中事务A发生的概率是否均为p。二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事务发生的次数。且表示在独立重复试验中，事务A恰好发生k次的概率。8.【2024课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位cm）依据长期生产阅历，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸听从正态分布（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异样状况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值推断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附若随机变量听从正态分布，则，【解析】 【考点】正态分布，随机变量的期望和方差.【点评】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反应随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事务的构成与性质，确定离散型随机变量的全部取值，然后依据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最终求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原则. 9.【2024课标II，理18】海水养殖场进行某Ziyuanku 水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位kg）某频率分布直方图如下（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事务“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2） 填写下面列联表，并依据列联表推断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3） 依据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附 【答案】(1)；(2) 有的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3)。【解析】，故的估计值为0。66因此，事务A的概率估计值为。（2）依据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量箱产量旧养殖法6238新养殖法3466由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关。【考点】 独立事务概率公式；独立性检验原理；频率分布直方图估计中位数。【点评】利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预料。独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为精确地给出这种推断的可信度，随机变量的观测值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大。利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注Ziyuanku 中/华-资*源%库意三点最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。10.【2024北京，理17】为了探讨一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；（）试推断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）【答案】（）0.3；（）详见解析；（）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.【解析】（）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人A和C.所以的全部可能取值为0,1,2.所以的分布列为012 故的期望.（）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.【考点】1.古典概型；2.超几何分布；3.方差的定义.【点评】求分布列的三种方法1由统计数据得到离散型随机变量的分布列；2由古典概型求出离散型随机变量的分布列；3由互斥事务的概率、相互独立事务同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列12.【2024课标3，理18】某超市支配按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温（单位）有关.假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购支配，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【答案】(1)分布列略；(2) n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.【解析】试题分析(1) 全部的可能取值为200,300,500，利用题意求得概率即可得到随机变量的分布列；(2)由题中所给条件分类探讨可得n=300时，Y的数学期望达到最大值520元.试题解析（1）由题意知，全部的可能取值为200,300,500，由表格数据知，.因此的分布列为0.20.40.4【考点】 离散型随机变量的分布列；数学期望；【点评】离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特别的概率分布两点分布与超几何分布；并擅长敏捷运用两性质一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1检验分布列的正误. WWW.ziyuanku 13. 【2024江苏，23】 已知一个口袋有个白球,个黑球(),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉.123 （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率; （2）随机变量表示最终一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,是的数学期望,证明【答案】（1）（2）见解析【解析】解(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为 .(2)随机变量X的概率分布为 XP随机变量X的期望为【考点】古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望【点评】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为第一步是“推断取值”，即推断随机变量的全部可能取值，以及取每个值所表示的意义；其次步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事务的概率和公式、独立事务的概率积公式，以及对立事务的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并留意用分布列的性质检验所求的分布列或某事务的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，假如能够断定它听从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可干脆利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度. 24.【2024江苏，3】 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件.【答案】18【解析】所求人数为，故答案为18【考点】分层抽样【点评】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即niNinN. 童静华 2024年12月5日33