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北京邮电高校20242024学年第1学期概率论与随机过程试题期末考试试题答案考试留意事项：学生必需将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一、 填空题：（每空3分，共30分） 1 给定集合，则定义在上的包含的最小s-代数是 . 2 若是W上的两个非空集合类，是上的测度，若满意：（1） ;（2），则称是在上的扩张。 3 某集代数包含了全部的左开右闭区间（实数集上的）. 该集代数上有一个测度，对于随意可测集，其中，均有.将该测度扩张到某s-代数上记为.对单点集， . 04 设概率测度空间，两个简洁函数，则 ， .5 设为定义某概率空间上的随机变量，若的分布函数为，则数学期望的L-S积分形式为 .6 设三维随机变量听从正态分布，其中，则= 1 7 设随机过程为平稳二阶矩过程，且均方连续.设该过程的均值函数为，相关函数，均方积分记为随机变量. 则 .8 设为泊松过程,则条件概率 . 9. 设为参数为的维纳过程,则= .二.（8分）设A是系，证明A是单调类；若A也是系，证明A是s-代数。证明：由A是系，若A，n=1，2，且，则A.若，A，n=1，2，由A是系，A且，则A. 所以A.即 A，所以A是单调类。4分A是系，A对余集运算封闭且A，若A也是系， A对交集运算封闭，所以A是集代数。因为A是单调类，所以A是s-代数。 4分 三.（16分）设随机向量的概率密度为（1） 求边缘密度；（2） 求时条件密度；（3） 求.解（1），.4分（2）当时，=.4分（3）由（2）知 ，所以.，所以.= .8分四. （14分）设随机变量的分布列为 （1） 求随机变量的特征函数;（2）求.解 （1） . 8分 （2）易知 ，所以. 6分五. （14分）设随机过程，其中是两个独立同分布的随机变量.（1）若都以2/3和1/3的概率取值-1和2，证明为平稳过程; （2）若都听从标准正态分布，证明为高斯过程.（1）证明，所以，均值函数为常数，自相关函数只依靠于时间差，为平稳随机过程。7分（2）对于随意正整数，取随意时间点随意实数，因为相互独立且听从正态分布，的线性组合仍旧听从正态分布，所以听从一维正态分布。故为高斯过程。7分七. （18分）设马氏链的状态空间为，转移概率矩阵为(1)确定该链的状态分类；(2)各状态的周期；(3)求平稳分布；(4) 求, .解. （1）链可分, 32,6是不行分闭集, 状态空间,3,2,6正返态,1,4,5为特别返.6分 （2） 周期. 3分 （3） 设平稳分布为,则 解之得,其中.5分 （4） . 4分5
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