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章1.向量及向量间的线性关系向量及向量间的线性关系一、一、n 维向量维向量1.定义定义由n个数组成的有序数组(a1,a2,an)称为一个n维向量（简称向量）。=(a1,a2,an)其中第 i 个数 (i=1,2,n)称为 n 维向量 的第 i 个分量或坐标。常用希腊字母表示向量2、n 维向量的线性运算维向量的线性运算设=(a1,a2,an)，=(b 1,b 2,b n)是数规定：规定：(1)加法：+=(a1+b1,a2+b2,an+bn)(2)数与向量的乘法：=(a1,a2,an)向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量的线性运算。规定：两个向量规定：两个向量 =(a1,a2,an),=(b 1,b 2,b n)相等，记相等，记 =ai=bi (i=1,2,n)3.向量的线性运算满足八条运算律向量的线性运算满足八条运算律(P77)(1)+(2)(+)+(+)(3)+0 (4)+()0设 、是 n 维向量，0 是 n 维零向量，k、l 是任意实数。(5)k(+)k +k (6)(k+l)=k +l(7)(k l)=k(l )(8)1 =1.零向量分量全为零向量分量全为0 的向量的向量0=(0,0,0)2.行向量行向量 =(a1,a2,an)列向量列向量注：所有的零向量都相等吗？即为行矩阵即为列矩阵3.矩阵的向量表示记则记则矩阵可以看作向量。矩阵和向量可以统一4.向量空间向量空间定义定义设 V 是 n 维向量的集合，如果 V 对向量的两种运算封闭，即 V 满足:(1),V，有有 +V(2)V，k R，有有 k V则称 V 是一个向量空间。例如例如(1)全体 n 维向量构成一个向量空间，称为 n 维向量空间：记作 Rn;二二.向量组的线性相关性向量组的线性相关性1、线性相关与线性无关的概念、线性相关与线性无关的概念非常重要！必须掌握！定义定义1.设1，2，m 是m个n维向量，若存在 m 个不全为0的数1，2，m，使得11+22+mm=0则称向量组1，2，m 线性相关，否则，称它们线性无关。注：注：1，2，m 线性无关线性无关11+22+mm=01=2=m=01、线性相关与线性无关的概念、线性相关与线性无关的概念例例1：考察 n 维向量组 解：设有一组数1，2，n。使得1e1+2e2+nen=0即：(1,0,0)+(0,2,0)+(0,0,n)=(1，2，n)=0 1=2=n =0所以 e1，e2，en 线性无关称 e1，e2，en 为 n 维基本单位向量组e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),en=(0,0,1)的线性相关性。结论请记住例例2.设设 1=(1,1,1)，2=(1,2,3)，3=(1,3,6)讨论其线性相关性。讨论其线性相关性。解：11+22+33=0设有一组数 1，2，3 使即：(1+2+3,1+22+33,1+32+63)=(0,0,0)有:1+2+3=01+22+33=01+32+63=0因为系数行列式所以方程组只有唯一的一组零解，1=2=3=0，故 1,2,3 线性无关。例例3.讨讨论论向向量量组组 1=(1,1,1),2=(2,0,2),3=(2,1,0)的的线线性性相相关性。关性。解：设有一组数1，2，3,使11+22+33=0即(1+22+23,13,122)=(0,0,0)有1+22+23=01 3 =0 1 22 =0方程组的系数行列式为所以方程组有非0解。想一想为什么？即存在不全为0 的数使得11+22+33=0成立所以，向量组1,2,3 线性相关。例4.设n 维向量线性无关，证明线性无关，设有一组数 1，2，3 使得证明：即整理得：线性无关，因为所以而该方程组的系数行列式为故方程组只有零解。即线性无关.所以证明:设有一组数使得因为而且于是有:左边=右边右边=0例5.设A是n阶方阵，若存在正整数k使得且 证明线性无关1998研于是(*)式成为:就是:于是(*)式成为:同理可得于是(*)式成为:但是即所以线性无关证毕这几个例子是判断向量组线性相关或线性无关的常见题型和常用方法，一定要掌握！注：一些很重要的结论，可以作为定理使用1.一个零向量线性相关一个零向量线性相关,一个非零向量线性无关一个非零向量线性无关2.两个向量线性相关两个向量线性相关分量对应成比例两个向量线性无关分量对应不成比例例1.设矩阵已知线性相关，求a线性相关 则对应分量成比例与解：则3.含有含有0向量的向量组一定线性相关向量的向量组一定线性相关4.部分向量组线性相关，原向量组一定线性相关部分向量组线性相关，原向量组一定线性相关即：向量组已知线性相关，则线性相关这是因为线性相关，则存在不全为0 的数使得成立于是所以线性相关5.线性无关向量组的部分组一定线性无关线性无关向量组的部分组一定线性无关6.按同样方法调换向量组中每一个向量的分量次序，按同样方法调换向量组中每一个向量的分量次序，所得新向量组的线性相关性不变所得新向量组的线性相关性不变7.设设称是的加长向量组。有下列结论：线性无关向量组的加长向量组线性无关。定义定义2.对于 m+1 个 n 维向量1，2，m 和，若存在m个数1，2，m，使得：=11+22+mm或称是1，2，m 的线性组合，1，2，m 称为组合系数。则称向量 可由向量组1，2，m线性表示，1.Rn 中的任一个向量中的任一个向量 =(x1,x2,xn)都可由都可由基本单位向量组基本单位向量组 线性表示。线性表示。=x1e1+x2e2+xnen例如：则所以可由线性表示注：2.零向量可以由任一向量组线性表示零向量可以由任一向量组线性表示3.向量组向量组中任一向量可以由该向量组线性表示线性相关与线性表示之间的区别与联系1.线性相关是一组向量内部之间的关系；而线性表示是一个向量与一组向量之间的关系2.线性相关中存在一组数要求不全为0，而线性表示中存在一组数没有要求。可以不全为0，可以全部为0，还可以全不为0。区别联系定理定理1.向量组 1，2，m (m 2)线性相关该向量组中至少有一个向量是其余 m1个向量的线性组合。证：必要性设1，2，m 线性相关11+22+mm=0不妨设 m 0，则则存在一组不全为零的数 ，使得已知条件往证该向量组中至少有一个向量是其余 m1个向量的线性组合。即：m是是 1，2，m1的线性组合。的线性组合。充分性：不妨设 是其余向量的线性组合有 1，2，m线性相关线性相关故即存在数 ，使得条件往证 1，2，m线性相关线性相关证毕定理定理2.如果线性无关，而线性相关。则可以由线性表示而且表示法唯一。证明：所以存在不全为0的数使得则必有为什么？为什么？如果（1）那么（1）式为而且不全为0 于是线性相关。矛盾！所以因此又设则线性无关由于所以即可以由线性表示而且表示法唯一证毕例1.设向量组线性相关，向量组线性无关，问：（1）能否由线性表示？证明你的结论（2）能否由线性表示？证明你的结论解：（1）能由线性表示。因为线性无关，所以线性无关。？而线性相关，所以能由线性表示。（2）不能由线性表示。（反证）假设能由线性表示。1992年研设由（1）知道所以即可以由线性表示。于是线性相关。这与线性无关矛盾！所以不能由线性表示。本节小结1.线性相关，线性无关和线性表示的概念2.线性相关，线性无关和线性表示的区别与联系3.证明线性相关，线性无关的方法与和一些重要结论2.向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩定义1.设1，2，r是某向量组 T 中的r个向量，如果：(1)1，2，r 线性无关；线性无关；(2)任取任取T，总有，总有 1,2,r,线性相关线性相关则称1,2,r 为向量组 T 的一个最大线性无关组。简称最大无关组。（一）.向量组的最大无关组一.向量组的秩例如：对于向量组例如：对于向量组 T：1=(1,2,1),2=(2,3,1),3=(4,1,1)1,2 线性无关线性无关 2,3;1,2,3线性相关，因为线性相关，因为 2 1+2 3=0 1,3 也是也是 T 的最大无关组。的最大无关组。为 T 的一个最大无关组;如何判断？注：2.线性无关向量组的最大无关组是其自身线性无关向量组的最大无关组是其自身3.零向量组没有最大无关组零向量组没有最大无关组1.一般向量组的最大无关组不唯一一般向量组的最大无关组不唯一4.基本单位向量组基本单位向量组是的一个最大无关组（二）等价向量组定义定义2.设有向量组设有向量组，向量组，向量组如果向量组中的每一个向量都可以由线性表示，称向量组可以由线性表示；如果向量组 可由向量组 线性表示，向量组 也可由向量组 线性表示，称这两个向量组等价。记为 例1.设n维向量组证明：向量组与n维基本单位向量组等价注：等价具有（1）反身性任一向量组与自身等价（3）传递性 ，则 （2）对称性 则 证明：显然可以由基本单位向量组线性表示Why？而所以 与 等价定理：设向量组可以由向量组线性表示，而且线性无关，则表示无关组，个数非少数！注：自己证明2.向量组的任意两个最大无关组等价向量组的任意两个最大无关组等价3.一个向量组的所有最大无关组含有的向量个数都相等。一个向量组的所有最大无关组含有的向量个数都相等。1.向量组与其最大无关组等价向量组与其最大无关组等价定义定义3.向量组 T 的最大无关组所含向量的个数r称为向量组 T 的秩。（三）向量组的秩注：一些非常重要的结论。1.线性无关向量组的秩等于它所含的向量个数线性无关向量组的秩等于它所含的向量个数4.如果向量组的秩为如果向量组的秩为r，则向量组的任意，则向量组的任意r个线性无关个线性无关的向量一定是它的一个最大无关组的向量一定是它的一个最大无关组5.的秩为的秩为n，任意，任意n个线性无关的向量都是个线性无关的向量都是 的一个最大无关组的一个最大无关组最常用的一个最大无关组2.向量组线性无关的充要条件是秩等于向量个数向量组线性无关的充要条件是秩等于向量个数 3.向量组线性相关的充要条件是秩小于向量个数向量组线性相关的充要条件是秩小于向量个数 没啥说的，记住！6.m(mn)个个n维向量线性相关维向量线性相关7.设向量组设向量组和向量组和向量组的秩分别为的秩分别为，而且向量组可以由向量组线性表示，则8.等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等例例:1=(1,3,7 ),2=(2,0,6),3=(3,1,1)，4=(2,4,5)解:由于向量组的个数大于向量的维数，所以1,2,3,4 线性相关。例2.如果n维基本单位向量组可以由n维向量组线性表示，证明：向量组线性无关。证明：向量组与等价。Why?所以向量组的秩等于nWhy?所以向量组线性无关。证毕例3.n维列向量组线性无关，则n维列向量组线性无关的充要条件是（）（A)可以由线性表示（B)可以由线性表示（C)与等价（D)矩阵与矩阵等价D2000年研例4.设向量组:可由向量组：线性表示，则（）2003年研（A)当 时，向量组 必线性相关；（B)当 时，向量组 必线性相关；（C)当 时，向量组 必线性相关；（D)当 时，向量组 必线性相关；D定义定义4将每一行看成一个向量i=(ai1 ai2 ain)(i=1,2,m)称为 A 的行向量，行向量组的秩称为A的行秩。对于矩阵二.矩阵的秩将A的每一列也可看成一个向量(j=1,2,n)称为 A 的列向量，列向量组的秩称为A的列秩设 A 是 mn 矩阵，规定 A的行秩=A的列秩=A的秩.定理定理.利用秩来判断向量组的线性相关性同时求向量组的一个最大无关组如果矩阵A 的秩为r,则不为0的r 阶子式所在的r 个行(列)向量就是矩阵A 的行(列)向量组的一个最大无关组.例例2 利用矩阵的秩判定下列向量组的利用矩阵的秩判定下列向量组的线性相关性线性相关性,(1).1=(1,2,1 ),2=(2,1,1),3=(7,4,0)解：记而|A|=5 0因此 1,2,3 线性无关,最大无关组为其自身.所以A的秩为3并求一个最大无关组(2)解:记B有一个二阶子式而B含的三阶子式有4个而且全为0故r(B)=24 所以该向量组的秩为24.从而该向量组线性相关,而且 为其一个最大无关组解：因为例例3.设向量组与向量组有相同的秩，而且可由 线性表示，求a，b2000年研所以线性无关，故则于是又 可由 线性表示，从而可由 线性表示 故线性相关。于是有：线性无关。所以的秩为2。故向量组的秩也是2。从而向量组 线性相关或（或（）注：关于秩的一些很有用的结论注：关于秩的一些很有用的结论n阶方阵阶方阵A：A不可逆A可逆A的行、列向量组线性相关A的行、列向量组线性无关矩阵矩阵 （假设（假设 ：A的行、列向量组线性相关，而且A的行、列向量组必有r个向量线性无关A的行向量组线性无关，而A的列向量组线性相关向量组：向量组：n个向量线性相关向量组的秩n个向量线性无关向量组的秩n个n维向量线性相关向量组成的矩阵，该矩阵的行列式为0n个n维向量线性无关向量组成的矩阵，该矩阵的行列式不为0这两种特别适合个数较少维数较少的具体向量线性相关性的判断。作业订正P67.25.设A是n阶方阵，如果对任一n维列向量都有AX=0.证明：A0证明：设因为对任一n维列向量都有AX=0.分别取则有如此类推：所以A=0或：或：对于可逆n阶矩阵B，设为n维列向量由题意知：所以：P100.12设均为n维向量，证明向量组线性相关。证明：设有一组数 使得：成立。即：整理得：如果 线性无关。则该方程组的系数行列式为：方程组有非零解。故 不全为零。所以 线性相关。如果 线性相关。则有一组不全为零。那么：必有一组 不全为零。否则如果 全为零，则 必全为零！所以：线性相关。或：或：所以：线性相关。3.矩阵的初等变换的矩阵的初等变换的应用应用矩阵的初等变换矩阵的初等变换对对矩矩阵阵施施行行下下列列三三种种变变换换称称为为矩矩阵阵的的初等行（列）变换初等行（列）变换(1)互换两行（列）互换两行（列）(2)以数以数 0 乘以某一行（列）乘以某一行（列）(3)将将第第 j 行行（列列）各各元元素素乘乘以以数数 后后加加到到第第 i 行行（列）的对应元素上去（列）的对应元素上去 回忆注:1.矩阵的初等行,列变换统称为矩阵的初等变换2.矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B,称A,B等价.记为:定理定理:设矩阵A 经过有限次的初等行 变换得到矩阵B则:1.A的行 向量组与B 的行 向量组等价2.矩阵A 的秩等于矩阵B 的秩,即r(A)=r(B)3.矩阵B 的列 向量组与A的列 向量组或部分组具有相同的线性相关性.3的另一说法-矩阵的行变换不改变列向量组的线性相关性;(列列)(列列)(列列)(行行)(行行)矩阵的列变换不改变行向量组的线性相关性定理说明:1.可以利用矩阵的初等变换求矩阵的秩;2.可以利用矩阵的初等变换求向量组的秩;判断向量组的线性相关性;并求向量组的一个最大无关组.回忆：矩阵的初等变换的应用之一-求矩阵的秩例1.已知求r(A)解:0969-50963-40969-5=BB 有一个三阶子式而含有该子式的所有四阶子式全为0所以r(B)=3故r(A)=3=B注:1.形如例形如例1中的中的B 称称为行最简形为行最简形其特征为:非0行向量的第一个非0元素是1,而且含这些1的列的其他元素全为0.2.矩阵的秩等于行最简形中非零行向量的个数矩阵的秩等于行最简形中非零行向量的个数矩阵的初等变换应用之二-判断向量组的线性相关性并求一个最大无关组传说-期末考试必考题型例例2.判断向量组的线性相关性判断向量组的线性相关性,求一个最大无关组求一个最大无关组.解:记是矩阵A的行向量,进行行还是列变换?只能是列变换!并将其它向量用最大无关组表示B有一个3阶子式而含这个3阶子式的4阶子式全为0所以,r(B)=3 故r(A)=34因此线性相关,而且是它的一个最大无关组.而且如果记则是矩阵A 的列向量组,判断它的线性相关性只能用行初等变换!例3.设向量组（1）问 为何值时，向量组线性相关？（2）求此时向量组的秩以及一个最大无关组，并将其余的向量用最大无关组表示1999研解：记当 时，向量组线性相关此时，向量组的秩为3。是一个最大无关组,且练习：判断向量组的线性相关性，并求最大无关组，并将其余向量用最大无关组表示Key:线性相关；最大无关组线性相关；最大无关组矩阵的初等变换用法小结:1.求矩阵的逆矩阵-只能用矩阵的行行初等变换2.求矩阵的秩-可以行变换,也可以列变换,还可以行列变换同时进行.建议建议:先行变换到行最简形,再进行列变换到标准形;标准形中1的个数就是矩阵的秩3.求向量组的秩,从而判断向量组的线性相关性,并求一个最大无关组；将其余向量用最大无组表示(1)如果将向量组排成排成矩阵的行行向量组,只能用列初等变换!(2)如果将向量组排成排成矩阵的列列向量组,只能用行初等变换!
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