流体力学D课件第三章

流体力学流体运动学流体运动学描述流体运动的方法描述流体运动的方法流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程流体的运动微分方程流体的运动微分方程伯努利方程伯努利方程动量方程动量方程流体微团的运动分析流体微团的运动分析流流体体运运动动时时的的基基本本规规律律流体力学描述流体运动的方法描述流体运动的方法拉格朗日法拉格朗日法描述流体运动的方法描述流体运动的方法欧拉法欧拉法 由于流体的易变形和易流动性，相对于固体而言，其由于流体的易变形和易流动性，相对于固体而言，其运动形态更为复杂。运动形态更为复杂。在研究流体的运动情况时，如果考察的着眼点不在研究流体的运动情况时，如果考察的着眼点不同，那么相应采取的研究方法也有所不同。同，那么相应采取的研究方法也有所不同。流体力学描述流体运动的方法描述流体运动的方法拉格朗日法拉格朗日法 拉格朗日法：着眼于流体质点，力图描述出每个流体拉格朗日法：着眼于流体质点，力图描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。规律。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体对象如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体对象的运动状况也就确定了。的运动状况也就确定了。用拉格朗日法描述流体运动时，运动质点的位置坐用拉格朗日法描述流体运动时，运动质点的位置坐标标 x、y、z 是起始坐标是起始坐标 a、b、c 和时间和时间 t 的函数，即的函数，即弹性力学中即弹性力学中即采用拉格朗日采用拉格朗日法来描述物体法来描述物体的变形的变形 注意在拉格朗日法中的注意在拉格朗日法中的 a、b、c 是区别不同流体质是区别不同流体质点的标识，而非变量。点的标识，而非变量。流体力学描述流体运动的方法描述流体运动的方法 在拉格朗日观点中，质点的位置坐标在拉格朗日观点中，质点的位置坐标 x、y、z是时间和是时间和质点初始标号的函数。质点初始标号的函数。拉格朗日描述法中流体质点的速度和加速度：拉格朗日描述法中流体质点的速度和加速度：固定固定a、b、c改变改变t改变改变a、b、c固定固定t流体力学描述流体运动的方法描述流体运动的方法欧拉法欧拉法 欧拉法：着眼点不是流体质点，而是空间点，力图描欧拉法：着眼点不是流体质点，而是空间点，力图描述出空间中每个点处的流体运动随时间变化的情况。述出空间中每个点处的流体运动随时间变化的情况。如果流经每一点的流体运动状况都知道，那么整个流体对如果流经每一点的流体运动状况都知道，那么整个流体对象的运动状况也就确定了。象的运动状况也就确定了。注意在欧拉法中的注意在欧拉法中的 x、y、z 是空间中的位置坐标，是变量；是空间中的位置坐标，是变量；但对同一质点来说它们不是独立但对同一质点来说它们不是独立变量，而是时间变量，而是时间 t 的函数。的函数。什么物理量能够最直观的反映空间点上什么物理量能够最直观的反映空间点上流体运动的变化情况？流体运动的变化情况？速度速度流体力学描述流体运动的方法描述流体运动的方法 在欧拉观点中，空间点上流体质点的速度在欧拉观点中，空间点上流体质点的速度 ux、uy、uz（当然也可以是其它表征流体运动状况的物理量，如压（当然也可以是其它表征流体运动状况的物理量，如压强、密度、温度等）是空间坐标和时间的函数。强、密度、温度等）是空间坐标和时间的函数。欧拉描述法中流体质点的加速度：欧拉描述法中流体质点的加速度：固定固定x、y、z改变改变t改变改变x、y、z固定固定t迁移加速度迁移加速度局局部部加加速速度度流体力学描述流体运动的方法描述流体运动的方法两种方法的对比两种方法的对比拉格朗日法拉格朗日法欧拉法欧拉法直接描述结果全面直接描述结果全面给出运动轨迹给出运动轨迹反映时间历史反映时间历史表达式复杂表达式复杂实例：敌机追踪实例：敌机追踪间接描述结果有限间接描述结果有限给出瞬时参数给出瞬时参数反映空间分布反映空间分布表达式简单表达式简单实例：气象观测实例：气象观测流体力学最常用：流体力学最常用：机翼的空气动力学特性机翼的空气动力学特性两者可相互转换两者可相互转换拉格朗日观点重要性：拉格朗日观点重要性：定义物理学基本规律定义物理学基本规律流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念恒定流与非恒定流恒定流与非恒定流 根据流场中各运动要素是否随时间变化，可将流体根据流场中各运动要素是否随时间变化，可将流体运动分为恒定流和非恒定流两类。若流场中各运动要素运动分为恒定流和非恒定流两类。若流场中各运动要素均不随时间变化，则称这种流动为均不随时间变化，则称这种流动为恒定流恒定流，否则称之为，否则称之为非恒定流非恒定流。在恒定流中，一切运动要素都只是空间坐标在恒定流中，一切运动要素都只是空间坐标 x、y、z 的函数，而与时间的函数，而与时间 t 无关，故有无关，故有 在实际工程中，当非恒定流问题中所关注的运动要素随在实际工程中，当非恒定流问题中所关注的运动要素随时间变化非常缓慢时，即可将其近似作为恒定流处理。时间变化非常缓慢时，即可将其近似作为恒定流处理。各类稳定的自然流动各类稳定的自然流动流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念一元流、二元流与三元流一元流、二元流与三元流 根据流场中各运动要素与空间坐标的关系，可将流根据流场中各运动要素与空间坐标的关系，可将流体运动分为体运动分为一元流一元流、二元流二元流和和三元流三元流。实际的工程流体力学问题一般都属于三元流。然而由于三元流实际的工程流体力学问题一般都属于三元流。然而由于三元流的复杂性，在数学处理上存在相当大的困难，人们在研究时常常根的复杂性，在数学处理上存在相当大的困难，人们在研究时常常根据问题的具体性质将其简化为二元流或一元流处理。据问题的具体性质将其简化为二元流或一元流处理。一元流一元流管道流动管道流动渠道流动渠道流动二元流二元流三元流三元流流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念 在了解流体运动的两类基本描述方法后，可以此出在了解流体运动的两类基本描述方法后，可以此出发进一步探讨流体运动的几何表示，这有助于更直观形发进一步探讨流体运动的几何表示，这有助于更直观形象的分析流体运动。象的分析流体运动。迹线迹线 在拉格朗日方法中，是通在拉格朗日方法中，是通过描述各个流体质点运动规律的过描述各个流体质点运动规律的途径来描述整个流体运动。途径来描述整个流体运动。某个流体质点在某一时段内运动时所描绘出的空间某个流体质点在某一时段内运动时所描绘出的空间曲线称为曲线称为迹线迹线。迹线的概念是和拉格朗日迹线的概念是和拉格朗日观点相联系的，它是同一流体观点相联系的，它是同一流体质点运动规律的几何表示。质点运动规律的几何表示。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念 当流体运动是以欧拉描述的方式给出时当流体运动是以欧拉描述的方式给出时 此时要得到迹线的方程，必须先将欧拉描述转换为拉此时要得到迹线的方程，必须先将欧拉描述转换为拉格朗日描述，亦即迹线应满足的微分方程组。格朗日描述，亦即迹线应满足的微分方程组。其中其中 t 是自变量，是自变量，x、y、z 是时间是时间 t 的函数，的函数，积分后所得的表达式实积分后所得的表达式实质上是流体质点空间运质上是流体质点空间运动曲线（轨迹）的参数动曲线（轨迹）的参数方程。方程。陨石的下坠陨石的下坠线线流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念流线流线 许多空间位置上的流体质点在同一时刻的速度矢量所许多空间位置上的流体质点在同一时刻的速度矢量所描绘的曲线称为描绘的曲线称为流线流线。在欧拉方法中，是通过速度场来描述整个流体的运动。在欧拉方法中，是通过速度场来描述整个流体的运动。流线的概念是和欧拉观流线的概念是和欧拉观点相联系的，它是不同流体点相联系的，它是不同流体质点速度分布的几何表示。质点速度分布的几何表示。流线特点：不相交；流线特点：不相交；充满整个流场；疏密充满整个流场；疏密程度反映流速大小。程度反映流速大小。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念 根据定义，流线上任一点的切线方向即为该点的流速根据定义，流线上任一点的切线方向即为该点的流速方向，于是方向，于是 相应的分量形式为相应的分量形式为 此即流线应满足的微分方程组，其中此即流线应满足的微分方程组，其中 x、y、z 是相互独立是相互独立的空间变量，时间的空间变量，时间 t 是参数，在积分时当作常数处理。是参数，在积分时当作常数处理。机翼的绕流线机翼的绕流线示例：示例：课本例题课本例题 3-1作业：作业：课后习题课后习题 3-11、3-12流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念迹线和流线的对比迹线和流线的对比迹迹 线线流流 线线同一流体质点同一流体质点不同时刻不同时刻描绘轨迹描绘轨迹拉格朗日法拉格朗日法时间是变量时间是变量不同流体质点不同流体质点同一时刻同一时刻描绘分布描绘分布欧拉法欧拉法时间是参数时间是参数恒定流情况下恒定流情况下 两者相同两者相同流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念例例1 欧拉描述和拉格朗日描述的转换欧拉描述和拉格朗日描述的转换（由速度分布求质点轨迹）（由速度分布求质点轨迹）已知：已知：已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为求：求：在在 t=0 时刻位于点（时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。）的流体质点的运动轨迹。解：解：对某时刻对某时刻 t 位于坐标点上位于坐标点上(x,y)的质点，有的质点，有 求解该一阶常微分方程组，可得求解该一阶常微分方程组，可得c1，c2 为积分常数，由为积分常数，由t=0=0时刻流体质点位于时刻流体质点位于 可确定可确定 流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念例例1 欧拉描述和拉格朗日描述的转换欧拉描述和拉格朗日描述的转换（由速度分布求质点轨迹）（由速度分布求质点轨迹）代入前式，可得拉格朗日法表示的流体质点轨迹方程为代入前式，可得拉格朗日法表示的流体质点轨迹方程为讨论：讨论：本例说明，虽然题目给出的是速度分布式（欧拉法），即本例说明，虽然题目给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速度分量随时间的变化规律，但仍可由此求出各空间点上速度分量随时间的变化规律，但仍可由此求出指定流体质点在不同时刻所处的空间位置，即运动轨迹指定流体质点在不同时刻所处的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。通过本例可看到这两种描述方法在数学（拉格朗日法）。通过本例可看到这两种描述方法在数学上是如何相互转换的。上是如何相互转换的。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念例例2 非恒定流的迹线和流线。非恒定流的迹线和流线。求：求：（1）质点）质点A的迹线方程；（的迹线方程；（2）t=0 时刻过原点的流线方程；时刻过原点的流线方程；（3）t=1时刻质点时刻质点A的运动方向。的运动方向。解：解：此流场属于非恒定流场。此流场属于非恒定流场。上两式分别积分可得上两式分别积分可得已知：已知：设速度场为设速度场为u=t+1，v=1，t=0 时刻流体质点时刻流体质点A位于原点。位于原点。（1）由迹线方程式，本例的迹线方程组为由迹线方程式，本例的迹线方程组为t=0时质点时质点A位于位于x=0，y=0处处，得，得 c1=c2=0。质点质点A的的迹线方程为迹线方程为流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念例例2 非恒定流的迹线和流线。非恒定流的迹线和流线。消去参数消去参数 t 可得可得上式表明质点上式表明质点A的迹线是一条以的迹线是一条以（-1/2，-1）点为顶点，且通过）点为顶点，且通过原点的抛物线（见图）。原点的抛物线（见图）。（2）由流线微分方程式，本例的流线）由流线微分方程式，本例的流线方程组为方程组为积分可得（此处积分可得（此处 t 可当作常数处理）可当作常数处理）在在 t=0时刻，流线通过原点，即时刻，流线通过原点，即x=y=0，因此，因此C=0，相应的流，相应的流线方程为线方程为 上式表明初始时刻过原点的流线是上式表明初始时刻过原点的流线是一、三象限的角平分线（见图）。一、三象限的角平分线（见图）。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念例例2 非恒定流的迹线和流线。非恒定流的迹线和流线。（3）为了确定为了确定 t=1 时刻质点时刻质点A的运动方向，需求出此时过质点的运动方向，需求出此时过质点A所在位置的流线方程。由迹线方程式可知，所在位置的流线方程。由迹线方程式可知，t=1时刻质点时刻质点A位于位于x=3/2，y=1处处，代入流线方程，有，代入流线方程，有t=1时刻过流体质点时刻过流体质点A所在位置的所在位置的流线方程为流线方程为这是一条与流体质点这是一条与流体质点A的迹线相切于的迹线相切于（3/2，1）点处的斜直线，此时）点处的斜直线，此时A的运的运动方向为：沿该直线，动方向为：沿该直线，x,y 增大的方向。增大的方向。讨论：讨论：本例说明，非恒定流中，迹线与流线明显不相同。本例说明，非恒定流中，迹线与流线明显不相同。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念流束、元流、总流和流管流束、元流、总流和流管 在流场中，过任意指定区域的所有流线的总和称为在流场中，过任意指定区域的所有流线的总和称为流束。流束。流束可大可小，如果指定区域取得无限小，这种流束可大可小，如果指定区域取得无限小，这种情况下的流束称为微元流束，也称情况下的流束称为微元流束，也称元流；元流；如果指定区域如果指定区域到达流场周界，所得流束称为到达流场周界，所得流束称为总流总流。流束的外表面称为流束的外表面称为流管流管，由于流线不能相交，所以，由于流线不能相交，所以，在各个时刻流体质点都只能在流管内部或外部流动，而在各个时刻流体质点都只能在流管内部或外部流动，而不能穿越。不能穿越。这四个都是假想这四个都是假想的概念，对于直观理的概念，对于直观理解问题以及理论上处解问题以及理论上处理某些问题有帮助。理某些问题有帮助。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念过流断面、流量与平均流速过流断面、流量与平均流速 与流束中所有流线正交的截面称为与流束中所有流线正交的截面称为过流断面过流断面。过流。过流断面不一定是平面，其形状与流线的分布情况有关。断面不一定是平面，其形状与流线的分布情况有关。断面平均流速断面平均流速是一个假想的等效流速，是指在假想是一个假想的等效流速，是指在假想的均匀分布流速下，流体流经过流断面的流量与实际情的均匀分布流速下，流体流经过流断面的流量与实际情况相等。况相等。过流断面上各点的运动要素一般过流断面上各点的运动要素一般是不相同的。是不相同的。元流的元流的情况情况 单位时间内通过过流断面的流体量称为单位时间内通过过流断面的流体量称为流量流量，一般可分为体积流量和质量流量。，一般可分为体积流量和质量流量。引入断面平均流速后，引入断面平均流速后，有助于在某些情况简化问题。有助于在某些情况简化问题。不是过流断不是过流断面的情况面的情况流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念例例3 流量和平均流速流量和平均流速已知：已知：粘性流体在圆管（半径粘性流体在圆管（半径R）内作恒定流动时，设圆截面上的内作恒定流动时，设圆截面上的速度分布为抛物线分布。速度分布为抛物线分布。求：求：这种速度分布下的（这种速度分布下的（1）流量）流量 Q 的表达式；的表达式；（2）截面上平均速度）截面上平均速度V。解：解：（1 1）计算流量时可取）计算流量时可取dA=2rdr，抛物线分布的流量为，抛物线分布的流量为讨论：讨论：本例说明，抛物线速度分布情况下，截面本例说明，抛物线速度分布情况下，截面的平均速度为最大速度的一半。的平均速度为最大速度的一半。（2）抛物线分布的断面平均速度为）抛物线分布的断面平均速度为流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念均匀流与非均匀流、渐变流与急变流均匀流与非均匀流、渐变流与急变流 根据位于同一流线中各质点的流速是否随沿程变化，根据位于同一流线中各质点的流速是否随沿程变化，可将流体运动分为均匀流和非均匀流。若流场中同一流可将流体运动分为均匀流和非均匀流。若流场中同一流线上各质点的流速随沿程保持不变，这种流动称为线上各质点的流速随沿程保持不变，这种流动称为均匀均匀流流，否则称为，否则称为非均匀流非均匀流。均匀流中各流线是彼此平行的均匀流中各流线是彼此平行的直线，过流断面为平面且其上流速直线，过流断面为平面且其上流速分布沿程不变，无迁移加速度；但分布沿程不变，无迁移加速度；但不同流线上的流体质点速度可以不不同流线上的流体质点速度可以不相同。相同。R 实际工程中的流体运动大多为非均匀流。为了便于实际工程中的流体运动大多为非均匀流。为了便于研究，常常按流线变化的缓急程度，又将非均匀流分研究，常常按流线变化的缓急程度，又将非均匀流分为为渐变流渐变流和和急变流急变流。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念系统与控制体系统与控制体 从理论角度分析研究流体的运动规律时，要用到系统从理论角度分析研究流体的运动规律时，要用到系统和控制体的概念。和控制体的概念。所谓系统，就是包含确定不变的物质的集合。在工程所谓系统，就是包含确定不变的物质的集合。在工程流体力学中，流体力学中，系统系统就是指由确定的流体质点所组成的流就是指由确定的流体质点所组成的流体对象。显然，使用系统作为考察对象，意味着采用拉体对象。显然，使用系统作为考察对象，意味着采用拉格朗日方法来研究流体运动。格朗日方法来研究流体运动。所谓所谓控制体控制体，在工程流体力学中，是指相对于某个坐，在工程流体力学中，是指相对于某个坐标系而言，有流体流过的固定不变的空间区域，控制体标系而言，有流体流过的固定不变的空间区域，控制体的边界面称为控制面，它总是封闭的。由此可见，使用的边界面称为控制面，它总是封闭的。由此可见，使用控制体作为考察对象，是与欧拉方法相对应的研究手段。控制体作为考察对象，是与欧拉方法相对应的研究手段。形状改变形状改变追踪的流体质点不变追踪的流体质点不变形状不变形状不变内部的流体质点改变内部的流体质点改变流体力学流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程 流体运动的连续性方程是质量守恒定律在流体运动中流体运动的连续性方程是质量守恒定律在流体运动中的数学表示。的数学表示。首先，质量守恒定律的数学表达式是首先，质量守恒定律的数学表达式是 在流场中取体积为在流场中取体积为 V，边长为，边长为 dx、dy、dz 的微元体为系统，考虑的微元体为系统，考虑经经 dt 时间后微元体发生的体积变化。时间后微元体发生的体积变化。教材上采用的是取控制体的方法推导连续性方程，教材上采用的是取控制体的方法推导连续性方程，为便于对比，本课件采用取系统的方法进行推导。为便于对比，本课件采用取系统的方法进行推导。流体力学流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程 由于系统左右两侧面上的流体质点存在速度差，由于系统左右两侧面上的流体质点存在速度差，dt 时时间后，两侧面间的距离间后，两侧面间的距离 dx 将发生改变，改变量为将发生改变，改变量为 同理有同理有 于是于是略去高阶微量，可简化为略去高阶微量，可简化为流体力学流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程 将将 dV 代入前述表达式，有代入前述表达式，有 进一步有进一步有 由此可见，流场中某点的速度分布决定了该点处流体由此可见，流场中某点的速度分布决定了该点处流体微元的体积变化情况（微元的体积变化情况（速度散度速度散度=相对体积变化率相对体积变化率）。）。相对体积变化量相对体积变化量相对体积变化率相对体积变化率流体力学流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 上式等价于上式等价于 流体运动的连续性方程，流体运动的连续性方程，是任何可能存在的流体运动是任何可能存在的流体运动必须满足的条件必须满足的条件，即质量守恒条件。，即质量守恒条件。恒定不可压缩恒定不可压缩流体简单情形流体简单情形示例：示例：课本例题课本例题 3-2物物理理意意义义流体力学流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程例例4 不可压缩流动的连续性方程不可压缩流动的连续性方程已知：已知：不可压缩平面流动沿不可压缩平面流动沿 x 方向的流速分布为方向的流速分布为求：求：沿沿 y 方向流速分布。方向流速分布。解：解：由不可压缩流动的连续性方程，有由不可压缩流动的连续性方程，有 代入具体的速度分布式，可得代入具体的速度分布式，可得讨论：讨论：本例说明，对于不可压缩流动，流场中任一点本例说明，对于不可压缩流动，流场中任一点的速度分量不能是任意的，而是受到连续性方程的的速度分量不能是任意的，而是受到连续性方程的的制约。从定性角度来看，流体在流动过程中必须的制约。从定性角度来看，流体在流动过程中必须保持连续，而不能发生堆叠或撕裂。保持连续，而不能发生堆叠或撕裂。弹性力学中的变弹性力学中的变形协调条件形协调条件流体力学积分形式的连续性方程积分形式的连续性方程 取如图所示的总流为控制体，应用连续性方程有取如图所示的总流为控制体，应用连续性方程有流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程 微分形式的连续性方程是针对流场微分形式的连续性方程是针对流场中任取的一个微元体建立的，这一结论中任取的一个微元体建立的，这一结论自然也适用于总流。自然也适用于总流。元元流流任意任意体积体积流束流束 结合高斯定理，第二项的结合高斯定理，第二项的体积分可改写为面积分，有体积分可改写为面积分，有物物理理意意义义流体力学恒定不可压缩总流的连续性方程恒定不可压缩总流的连续性方程 对于恒定、不可压缩总流，前式可简化为对于恒定、不可压缩总流，前式可简化为流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程 因总流控制体的侧表面上因总流控制体的侧表面上无流量（流量沿程不变），无流量（流量沿程不变），则上式可写成则上式可写成过任意两个截面的流量相等过任意两个截面的流量相等 引入断面平均流速后，有引入断面平均流速后，有流体力学 若沿程有多个流动出、入口时，则相应的总流连续性若沿程有多个流动出、入口时，则相应的总流连续性方程为方程为流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程示例：示例：课本例题课本例题 3-3例例5 主动脉弓流动主动脉弓流动已知：已知：所有管截面均为圆形，所有管截面均为圆形，d1=2.5cm，d2=1.1cm，d3=0.7cm，d4=0.8cm，d5=2.0cm，平均流量分别为平均流量分别为 Q1=6 L/min，Q 3=0.07Q1，Q4=0.04Q1，Q 5=0.78Q1。求：求：Q2 及各管的平均速度。及各管的平均速度。流体力学流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程例例5 主动脉弓流动主动脉弓流动解：解：取图中虚线所示部分为控制体，其上有多个流动出入口，将血液取图中虚线所示部分为控制体，其上有多个流动出入口，将血液近似为不可压缩流体，应用总流连续性方程，有近似为不可压缩流体，应用总流连续性方程，有可得可得各管的平均流速为各管的平均流速为流体力学流体微团的运动分析流体微团的运动分析流体运动流体运动平移平移转动转动变形变形速度速度相互关联相互关联流体微团的运动分析流体微团的运动分析流场中邻近两点的速度关系流场中邻近两点的速度关系流体力学 前式可写成矩阵形式前式可写成矩阵形式 ，其中，其中 F 称为称为速度梯度矩阵。再将速度梯度矩阵分解为一个速度梯度矩阵。再将速度梯度矩阵分解为一个对称对称矩阵矩阵和一个和一个反对称反对称矩阵之和，有矩阵之和，有将其代入前述速度关系式，整理得将其代入前述速度关系式，整理得流体微团的运动分析流体微团的运动分析速度分解定理速度分解定理 任意矩阵均可任意矩阵均可作此分解。类比：作此分解。类比：将函数分解为奇函将函数分解为奇函数和偶函数之和。数和偶函数之和。流体力学 取流场中的一个矩形微元（取流场中的一个矩形微元（ABCD）为考察对象，其）为考察对象，其上各点的瞬时速度如图所示。上各点的瞬时速度如图所示。流体微团的运动分析流体微团的运动分析流体微团运动的组成分析流体微团运动的组成分析 以以 A 为基准为基准点，分析经过点，分析经过 dt 时间后流体微元时间后流体微元的位置和形状变的位置和形状变化。化。流体力学平移运动平移运动：因各点均有相同的速度部分因各点均有相同的速度部分 ux、uy，经过时间，经过时间 dt 后，后，流体微团流体微团 ABCD 将随基准点将随基准点 A 平移至平移至 A1B1C1D1。流体微团的运动分析流体微团的运动分析流体力学拉伸变形拉伸变形：线元：线元 dx、dy 分别沿分别沿 x、y 方向的局部相对方向的局部相对伸长速率。伸长速率。相对面积变化率相对面积变化率相对体积变化率相对体积变化率（三维）（三维）流体微团的运动分析流体微团的运动分析流体力学剪切变形剪切变形：线元：线元 dx、dy 分别沿分别沿 y、x 方向的局部相对方向的局部相对剪切速率。剪切速率。流体微团的运动分析流体微团的运动分析同理可得同理可得流体力学流体微团的运动分析流体微团的运动分析 由图可见，上述剪切变形是非对称的（两个方向的剪切速由图可见，上述剪切变形是非对称的（两个方向的剪切速率不一样），为了和速度分解表达式中的各项系数相对应，可率不一样），为了和速度分解表达式中的各项系数相对应，可将其分解为将其分解为一个对称剪切变形一个对称剪切变形和一和一个旋转变形个旋转变形的组合。的组合。对称剪切变形的速率为对称剪切变形的速率为流体力学旋转变形旋转变形：线元：线元 dx、dy 在在 xOy 平面内绕平面内绕 z 轴的旋转角轴的旋转角速率。速率。该物理量称为该物理量称为旋度旋度。流体微团的运动分析流体微团的运动分析速度分解表达式的物理意义速度分解表达式的物理意义平移速率平移速率变形速率变形速率旋转速率旋转速率拉伸拉伸剪切剪切弹性力学中的弹性力学中的几何方程几何方程流体力学流体微元的运动分析流体微元的运动分析例例6 拉伸变形与面积扩张拉伸变形与面积扩张已知：已知：平面流场的流速分布为平面流场的流速分布为 ，其中，其中 k k 为正常数。为正常数。（1）拉伸变形速率、）拉伸变形速率、面积扩张率；面积扩张率；求：求：（2）设）设 k=1，且，且 t=0 时刻单位边长的正方形流体面时刻单位边长的正方形流体面 abcd 位于图中位于图中所示位置，求当点所示位置，求当点 a 到达点到达点 a 时流体面时流体面 abcd 的位置和形状。的位置和形状。流体力学流体微元的运动分析流体微元的运动分析例例7 剪切变形与旋转剪切变形与旋转已知：已知：平面流场的流速分布为平面流场的流速分布为 ，其中，其中 k k 为正常数。为正常数。试分析该流场的试分析该流场的运动学特征。运动学特征。求：求：对于这种平行板间流动，由第对于这种平行板间流动，由第一章内容可知，根据牛顿粘性一章内容可知，根据牛顿粘性定律能够测定其流体粘度，但定律能够测定其流体粘度，但这里仅考虑它的运动学特征。这里仅考虑它的运动学特征。解：解：两个方向的拉伸变形、剪两个方向的拉伸变形、剪切变形速率分别为：切变形速率分别为：旋转角速率为：旋转角速率为：面积扩张率为：面积扩张率为：流体力学流体微团的运动分析流体微团的运动分析有旋流与无旋流有旋流与无旋流 若流场中各流体微元均不存在旋转运动，称这种流若流场中各流体微元均不存在旋转运动，称这种流动为动为无旋流无旋流，否则称之为，否则称之为有旋流有旋流。在平面无旋流动中，流体微元的旋度处处为零，即在平面无旋流动中，流体微元的旋度处处为零，即应满足应满足示例：示例：课本例题课本例题 3-12作作业业：课课后后习习题题 3-15、3-16、3-20、3-37、3-38、3-39流体力学流体微元的运动分析流体微元的运动分析例例8 刚体旋转流动刚体旋转流动已知：已知：平面流场的流速分布为平面流场的流速分布为 ，其中，其中 k k 为正常数。为正常数。试分析该流场的试分析该流场的运动学特征。运动学特征。求：求：该问题的物理来源是盛水圆筒绕中心轴该问题的物理来源是盛水圆筒绕中心轴作等角速度旋转运动。由第二章内容可作等角速度旋转运动。由第二章内容可知，此即为流体的相对静止状态，但这知，此即为流体的相对静止状态，但这里仅考虑它的运动学特征。里仅考虑它的运动学特征。解：解：两个方向的拉伸变形、剪两个方向的拉伸变形、剪切变形速率分别为：切变形速率分别为：旋转角速率为：旋转角速率为：面积扩张率为：面积扩张率为：说明无剪切变形说明无剪切变形流体力学流体微元的运动分析流体微元的运动分析例例9 看似看似“有旋有旋”的无旋流的无旋流已知：已知：平面流场的流速分布为平面流场的流速分布为试分析该流场的运动学特征。试分析该流场的运动学特征。求：求：该问题的流动特征与前例类似，该问题的流动特征与前例类似，但流速的分布形式有所不同但流速的分布形式有所不同 （与半径成反比）。（与半径成反比）。解：解：旋转角速率为：旋转角速率为：讨论：讨论：本例说明，判断流体运动是否有旋，必须看流本例说明，判断流体运动是否有旋，必须看流体微团是否存在局部的自转，而不是看它是否绕中体微团是否存在局部的自转，而不是看它是否绕中心轴作整体圆周运动。换言之，流体的有旋或无旋心轴作整体圆周运动。换言之，流体的有旋或无旋是局部性质的体现。是局部性质的体现。流体力学无粘无旋不可压缩平面流动无粘无旋不可压缩平面流动 前节在流体微元运动分析的基础上，将流体运动分为有旋流动前节在流体微元运动分析的基础上，将流体运动分为有旋流动和无旋流动两种类型。理论研究表明，无旋流动只可能在无粘性的和无旋流动两种类型。理论研究表明，无旋流动只可能在无粘性的理想流体中形成。实际流体都有粘性，严格来讲都是有旋流动，但理想流体中形成。实际流体都有粘性，严格来讲都是有旋流动，但在某些情况下可将其近似为无粘无旋问题处理。在某些情况下可将其近似为无粘无旋问题处理。本节简要介绍无粘无旋平面流动的基本求解方法。本节简要介绍无粘无旋平面流动的基本求解方法。速度势速度势 对于平面无旋流动，有对于平面无旋流动，有 ，由，由格林公式知，这是使格林公式知，这是使 成为某一函数全成为某一函数全微分的充要条件，即微分的充要条件，即相应有相应有速度势函数速度势函数流体力学无粘无旋不可压缩平面流动无粘无旋不可压缩平面流动 在不可压缩情形下，流体运动还应满足不可压缩连在不可压缩情形下，流体运动还应满足不可压缩连续性方程，将速度势函数代入可得续性方程，将速度势函数代入可得 以上分析表明，对不可压缩无旋平面流动，从速度势函数的角以上分析表明，对不可压缩无旋平面流动，从速度势函数的角度而言，问题归结为求解特定边界条件下的拉普拉斯方程，而这在度而言，问题归结为求解特定边界条件下的拉普拉斯方程，而这在二阶偏微分方程理论中已是研究较多的成熟问题。二阶偏微分方程理论中已是研究较多的成熟问题。示例：示例：课本例题课本例题 3-13流函数流函数 速度势函数是对于无旋平面流动建立的，若直接考速度势函数是对于无旋平面流动建立的，若直接考察不可压缩流动，将其连续性方程的形式改写为察不可压缩流动，将其连续性方程的形式改写为流体力学 同理可知，这是使同理可知，这是使 成为某一函数成为某一函数全微分的充要条件，即全微分的充要条件，即相应有相应有无粘无旋不可压缩平面流动无粘无旋不可压缩平面流动 在无旋情况下，流体运动还应满足旋度为零条件，在无旋情况下，流体运动还应满足旋度为零条件，将流函数代入可得将流函数代入可得流函数流函数 由此可见，对不可压缩无旋平面流动，从流函数的角度而由此可见，对不可压缩无旋平面流动，从流函数的角度而言，问题仍然归结于求解拉普拉斯方程。言，问题仍然归结于求解拉普拉斯方程。流体力学无粘无旋不可压缩平面流动无粘无旋不可压缩平面流动速度势和流函数的对比速度势和流函数的对比速度势速度势无旋流动无旋流动 等势线方程为等势线方程为 ，由此得，由此得流函数流函数不可压缩流动不可压缩流动 等流函数线方程等流函数线方程 ，由此得由此得 说明等流函数线处处与流速方向说明等流函数线处处与流速方向重合，它就是流线。重合，它就是流线。说明等势线处处与流速方向说明等势线处处与流速方向垂直，它是过流断面线。垂直，它是过流断面线。流体力学无粘无旋不可压缩平面流动无粘无旋不可压缩平面流动 由此可知，由此可知，流场中的等势线流场中的等势线与等流速线处处正交与等流速线处处正交，它们构成，它们构成的正交网格称为流网。的正交网格称为流网。在流函数值不同的两条流线间作任在流函数值不同的两条流线间作任意曲线意曲线 AB，并在，并在 AB 上任取微元弧线上任取微元弧线段段 ds（其法向量为（其法向量为 n），则通过），则通过 ds 的的单宽流量为单宽流量为 从而有从而有物理意义物理意义流体力学无粘无旋不可压缩平面流动无粘无旋不可压缩平面流动均流均流全流场以等速（全流场以等速（U）做平行直线流动做平行直线流动速度分布速度分布势函数势函数流函数流函数流体力学无粘无旋不可压缩平面流动无粘无旋不可压缩平面流动点源和点汇点源和点汇点源点源：流体从一点：流体从一点均匀的流向各方。均匀的流向各方。点汇点汇：流体从各方：流体从各方均匀的流入一点。均匀的流入一点。速度分布速度分布速度势速度势流函数流函数示例：示例：课本例题课本例题 3-14 其中的常数其中的常数 k 称称为平面点源（点汇）为平面点源（点汇）强度，可由流量确定。强度，可由流量确定。流体力学无粘无旋不可压缩平面流动无粘无旋不可压缩平面流动平面势流的叠加平面势流的叠加 速度势和流函数应满速度势和流函数应满足的拉普拉斯方程是线性足的拉普拉斯方程是线性微分方程，故也满足叠加微分方程，故也满足叠加原理。对于较复杂的平面原理。对于较复杂的平面流动，可将其看作基本简流动，可将其看作基本简单流动的组合。单流动的组合。示例：示例：课本例题课本例题 3-15 将均匀直线流动和点源流动进行叠加，叠加后将均匀直线流动和点源流动进行叠加，叠加后的流动为的流动为流体力学即在无穷远处，通过驻点的两条流线趋于平行。即在无穷远处，通过驻点的两条流线趋于平行。无粘无旋不可压缩平面流动无粘无旋不可压缩平面流动 首先找出流速为零的点首先找出流速为零的点（驻点）（驻点）即图中的即图中的 A 点。点。简单分析上式可发现简单分析上式可发现 由于流线互不相交，因此过驻点的两条流线相当于将流场分为互由于流线互不相交，因此过驻点的两条流线相当于将流场分为互不影响的内外的两部分，只关注外部流动时，可将驻点流线以内的部不影响的内外的两部分，只关注外部流动时，可将驻点流线以内的部分设想为固体区域，通常称为半体。分设想为固体区域，通常称为半体。均匀直线流和点源的叠加相当于均匀直线流和点源的叠加相当于半体的绕流，叠加后的速度势和流函数就是半体的绕流，叠加后的速度势和流函数就是半体绕流半体绕流的解。的解。其次考虑其次考虑通过驻点的流线，方程为通过驻点的流线，方程为流体力学理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程 理想流体是忽略粘性的流体，因此，作用在其上的表面力与静理想流体是忽略粘性的流体，因此，作用在其上的表面力与静止流体一样，只有法向力而无切向力。只是在建立理想流体的运动止流体一样，只有法向力而无切向力。只是在建立理想流体的运动微分方程时，相比于静力平衡方程，还需计及因加速度而产生的惯微分方程时，相比于静力平衡方程，还需计及因加速度而产生的惯性力，其它都完全类似。性力，其它都完全类似。静静 止止运运 动动注意量纲注意量纲注意方向注意方向流体力学理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程 将加速度项展开为欧拉法表达式，有将加速度项展开为欧拉法表达式，有 理想流体的运动微分方程又称理想流体的运动微分方程又称欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程，它只适，它只适用于理想流体。对于实际流体，需进一步考虑切应力的作用，用于理想流体。对于实际流体，需进一步考虑切应力的作用，因其推导过程较为复杂，本课程不作要求。因其推导过程较为复杂，本课程不作要求。流体力学欧拉运动微分方程的特殊形式欧拉运动微分方程的特殊形式 欧拉运动微分方程和连续性方程，是反映理想流体运动欧拉运动微分方程和连续性方程，是反映理想流体运动规律的基本方程。由于它们是四个微分方程构成的一阶非规律的基本方程。由于它们是四个微分方程构成的一阶非线性偏微分方程组，很难求出统一的通解，至今只找到了线性偏微分方程组，很难求出统一的通解，至今只找到了几种特殊情况下的特解。几种特殊情况下的特解。本课程仅介绍其中最常见的本课程仅介绍其中最常见的伯努利积分伯努利积分，它是在下述四，它是在下述四个限定条件下，上述方程组的积分结果。个限定条件下，上述方程组的积分结果。理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程恒定流恒定流不可压缩不可压缩质量力有势质量力有势沿流线积分沿流线积分流体力学伯努利积分伯努利积分 对欧拉运动微分方程作一定的变形对欧拉运动微分方程作一定的变形理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程质量力有势质量力有势 dW恒定流恒定流 dp不可压缩流体不可压缩流体沿流线沿流线流体力学理想流体沿流线的伯努利方程理想流体沿流线的伯努利方程 对于质量力仅有重力的恒定不可压缩流体，将重力势函对于质量力仅有重力的恒定不可压缩流体，将重力势函数带入伯努利积分，整理得数带入伯努利积分，整理得 考虑流场中两个不同的位置点时，有考虑流场中两个不同的位置点时，有伯努利方程伯努利方程物理意义物理意义几何意义几何意义 伯努利方程是能量守恒定律在工程流体力学中的数学表达伯努利方程是能量守恒定律在工程流体力学中的数学表达式，它形式简单、意义明确，在工程流体力学中有着广泛应用。式，它形式简单、意义明确，在工程流体力学中有着广泛应用。流体力学伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义伯努利方程伯努利方程实际流体沿流线的伯努利方程实际流体沿流线的伯努利方程 实际流体具有粘性，在流动过程中不可避免的会产实际流体具有粘性，在流动过程中不可避免的会产生粘性切应力作功带来的能量损失，因此实际流体的生粘性切应力作功带来的能量损失，因此实际流体的流动机械能将沿程减少。流动机械能将沿程减少。速度水头速度水头 压强水头压强水头 位置水头位置水头 总水头总水头 测测压压管管水水头头流体力学 同样根据能量守恒，可得实际流体沿流线的伯努利方程同样根据能量守恒，可得实际流体沿流线的伯努利方程为为由此可见，实际流体的总水头线是沿程下降的。由此可见，实际流体的总水头线是沿程下降的。伯努利方程伯努利方程 相应的，实际流体总水相应的，实际流体总水头线和测压管水头线的下头线和测压管水头线的下降快慢程度可用降快慢程度可用水力坡度水力坡度来表示来表示实际总水头线实际总水头线流体力学伯努利方程伯努利方程例例10 平托测速管平托测速管用液位差用液位差 h 表示的流速表示的流速 u。求：求：解：解：设流动符合不可压缩理想流体的恒定流动条件。设流动符合不可压缩理想流体的恒定流动条件。对对 A、O 两点应用理想流体沿流线的伯努利方程两点应用理想流体沿流线的伯努利方程已知：已知：设皮托管正前方的流速保持为设皮托管正前方的流速保持为 u，静压强为静压强为 p，流体密度为流体密度为，U 形管中液体密度为形管中液体密度为m。考虑到考虑到 O 点为驻点，流速点为驻点，流速为零，且两点位置差可忽略。为零，且两点位置差可忽略。分析分析A、B 点及点及 1 至至 6 点的压强关系，可得点的压强关系，可得示例：示例：课本例题课本例题 3-4流体力学已知：已知：图示一敞口水箱，小孔与液面图示一敞口水箱，小孔与液面的垂直距离为的垂直距离为 h，设流动过程中水箱设流动过程中水箱水位不变。水位不变。伯努利方程伯努利方程例例11 恒定水位小孔出流恒定水位小孔出流孔口出流速度孔口出流速度 u。求：求：解：解：设流动符合不可压缩理想流体的恒定流动条件。设流动符合不可压缩理想流体的恒定流动条件。从自由液面上任选点从自由液面上任选点 1 到小到小孔出流点孔出流点 2，列伯努利方程，列伯努利方程液液面面的的速速度度可可近近似似取取为为零零，u1=0，液液面面和和孔孔口口外外均均为为大大气气压压强，强，p1=p2=0（相对压强），于是可得（相对压强），于是可得托里切利公式托里切利公式流体力学伯努利方程伯努利方程例例12 三角堰流量计三角堰流量计已知：已知：设三角堰孔口角为设三角堰孔口角为，定常流动，定常流动时上游水面距角尖的淹深保持为时上游水面距角尖的淹深保持为 h 求：求：三角堰流量三角堰流量 Q 的表达式。的表达式。取取 z 轴从自由面垂直向下轴从自由面垂直向下解：解：由前例结果（托里切利公式），有由前例结果（托里切利公式），有流量流量流体力学实际流体恒定总流的努利方程实际流体恒定总流的努利方程伯努利方程伯努利方程 将沿流线的伯努利方程在过流断面上积分，得到单位将沿流线的伯努利方程在过流断面上积分，得到单位时间内通过两过流断面的时间内通过两过流断面的能量关系能量关系 前面得到的是实际流体沿流线（即元流）的伯努利方程，如何前面得到的是实际流体沿流线（即元流）的伯努利方程，如何将这一结果推广至总流？将这一结果推广至总流？断面一上的总能量断面一上的总能量损失的总能量损失的总能量断面二上的总能量断面二上的总能量流体力学动能积分动能积分：由于过流断面上的流速分布一般较为复杂，难以确定，由于过流断面上的流速分布一般较为复杂，难以确定，在工程实际中为了方便，一般使用断面平均流速来代替在工程实际中为了方便，一般使用断面平均流速来代替计算。计算。伯努利方程伯努利方程水头损失积分水头损失积分：水头损失积分是单位时间内总流由过流断面一至过流水头损失积分是单位时间内总流由过流断面一至过流断面二的能量损失，也可用平均值来近似代替。断面二的能量损失，也可用平均值来近似代替。动能修正系数动能修正系数流体力学势能积分势能积分：为了确定势能积分，需确定过为了确定势能积分，需确定过流断面上各点的压强分布规律，流断面上各点的压强分布规律，为此，取沿流线法线方向（过流为此，取沿流线法线方向（过流断面方向）的微元体进行考察。断面方向）的微元体进行考察。沿流线法线列运动微分方程沿流线法线列运动微分方程伯努利方程伯努利方程曲率曲率半径半径流体力学 上式沿流线法向（即在过流断面上）积分，有上式沿流线法向（即在过流断面上）积分，有伯努利方程伯努利方程当流线趋于直线时，当流线趋于直线时，以上结果说明，对于渐变流，以上结果说明，对于渐变流，过流断面上的测压管水头分布接近于过流断面上的测压管水头分布接近于常数，等同于静压强情形。常数，等同于静压强情形。在总流中选取渐变流作为过流断面，计算势能积在总流中选取渐变流作为过流断面，计算势能积分，可得分，可得 上式说明，在将沿流线的伯努利方程推广到总流上式说明，在将沿流线的伯努利方程推广到总流情形时，必须选取渐变流作为过流断面。情形时，必须选取渐变流作为过流断面。流体力学 将前述三类能量积分汇总，并注意到恒定流时总流将前述三类能量积分汇总，并注意到恒定流时总流流量不变，流量不变，整理后得，整理后得总流伯努利方程总流伯努利方程的应用要点的应用要点伯努利方程伯努利方程不可压缩恒定流动不可压缩恒定流动质量力只有重力质量力只有重力过流断面取渐变流，但之间可为急变流过流断面取渐变流，但之间可为急变流基准面基准面过流断面过流断面计算点计算点流体力学伯努利方程伯努利方程例例13 文丘里流量计文丘里流量计已知：已知：文丘里流量计如图所示。文丘里流量计如图所示。求：求：管内流量管内流量 Q。设流动符合不可压缩无粘性流体设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件。截面为定常流动条件。截面为 A 1、A 2，平均速，平均速度为度为 V 1、V 2，流体密度为，流体密度为。解：解：整理可得整理可得取取由沿总流的伯努利方程由沿总流的伯努利方程示例：示例：课本例题课本例题 3-7流体力学伯努利方程伯努利方程 由于由于 A1、A2 截面上为渐变流，截面上的压强分布规律与截面上为渐变流，截面上的压强分布规律与U形管形管内静止流体相同。设内静止流体相同。设U形管内液体的密度为形管内液体的密度为m，液位差为，液位差为h，由，由压强公式可得压强公式可得将上两式代入前式，并利用等压面关系式将上两式代入前式，并利用等压面关系式 p3=p5 及高度关系及高度关系 ，有，有流体力学伯努利方程伯努利方程 由连续性方程由连续性方程结合前述结果，整理后可得入口段的平均速度为结合前述结果，整理后可得入口段的平均速度为其中其中k 称为流速系数，文丘利管的流量公式为称为流速系数，文丘利管的流量公式为 讨论：讨论：当当、m确定后确定后,Q 与与h 的关系仅取决于文丘里管的面积比的关系仅取决于文丘里管的面积比 A1/A2，且与管子的倾斜角，且与管子的倾斜角无关。无关。A1、A2截面之间存在收缩截面之间存在收缩段急变流并不影响应用伯努利方程。段急变流并不影响应用伯努利方程。示例：示例：课本例题课本例题 3-5、3-6、3-8作业：作业：课后习题课后习题 3-22、3-24、3-27或或流体力学动量方程动量方程 动量定理是物理学中的基本原理之一，自然也适用于流体。流动量定理是物理学中的基本原理之一，自然也适用于流体。流体对象的动量定理反映了流体运动过程中动量变化与其上作用力之体对象的动量定理反映了流体运动过程中动量变化与其上作用力之间的关系，因此，可以用它来方便的解决急变流中流体与边界面之间的关系，因此，可以用它来方便的解决急变流中流体与边界面之间的相互作用力问题。间的相互作用力问题。传统意义上的动量方程是针对系统，即采用拉格朗日传统意义上的动量方程是针对系统，即采用拉格朗日观点建立的。观点建立的。在工程流体力学中常采用欧拉法研究问题，因此需结在工程流体力学中常采用欧拉法研究问题，因此需结合控制体及控制面的概念，将拉格朗日型动量方程转换合控制体及控制面的概念，将拉格朗日型动量方程转换为欧拉型动量方程。为欧拉型动量方程。系统：流体质点速度系统：流体质点速度控制体：流场速度控制体：流场速度流体力学动量方程动量方程 在流场中选择一个控制体，选定后其形状、体积、位在流场中选择一个控制体，选定后其形状、体积、位置相对于坐标系均保持不变。置相对于坐标系均保持不变。设设 t 时刻流体系统与控制时刻流体系统与控制体体 V 重合，系统此时的动量重合，系统此时的动量可表示为可表示为 其次，经过其次，经过 t 时间，系时间，系统从虚线位置运动到实线统从虚线位置运动到实线位置，形状、体积也有所位置，形状、体积也有所改变，其动量不能简单表改变，其动量不能简单表示为示为 应结合控制体和控制面作进一应结合控制体和控制面作进一步具体分析。步具体分析。流体力学动量方程动量方程 对对 t+t 时刻的流体系统作具体分析，其动量可表示时刻的流体系统作具体分析，其动量可表示为三部分的组合：为三部分的组合：t+t 时刻控制体时刻控制体 V 中所中所有流体质点的动量有流体质点的动量 减去减去原非流体系统经控制原非流体系统经控制面面 A1 流入的动量（即图中流入的动量（即图中 I 部分）部分）第二、三部分实际上反映的是第二、三部分实际上反映的是流体质点经控制体边界（即控制面）流体质点经控制体边界（即控制面）流入、流出造成的动量改变。流入、流出造成的动量改变。加上加上原流体系统经控制面原流体系统经控制面 A2 流出的动量（即图中流出的动量（即图中 II 部分）部分）流体力学动量方程动量方程 整理前述结果，可得整理前述结果，可得 由此得由此得流体系统的动量定理流体系统的动量定理为为流入为流入为内法向内法向局部、迁移导数局部、迁移导数流出为流出为外法向外法向流体力学恒定不可压缩总流的动量方程恒定不可压缩总流的动量方程动量方程动量方程 取总流为控制体时，总流当取总流为控制体时，总流当中只有两过流断面中只有两过流断面 A1、A2 上有上有动量交换。此外，当流动为恒动量交换。此外，当流动为恒定不可压缩时，流体动量方程定不可压缩