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第二章 流体静力学 Fluid Statics 流体静力学是研究平衡流体流体静力学是研究平衡流体（包括：流体对地球无相对运动和流体对运动容器无相对运动）的力的力学规律及其应用学规律及其应用。由于平衡流体之间无相对运动，流体的粘性不起作用。所以，流体静力学中所得出的结论，对于理想流体和粘性流体都适用。理论不需要实验修正。本章内容本章内容:2.1 2.1 平衡流体上的作用力2.2 2.2 流体平衡微分方程式2.3 2.3 重力场中流体的平衡2.4 2.4 液体的相对平衡2.5 2.5 静止流体作用于壁面的总压力静止流体作用于壁面的总压力第二章 流体静力学 Fluid Statics2.1 平衡流体上的作用力按作用方式，平衡流体上的作用力有：质量力与表面力。一一一一 质量力质量力质量力质量力 Force on Body 与流体微团质量大小有关并与流体微团质量大小有关并且集中在微团质量中心上的且集中在微团质量中心上的力称为质量力。力称为质量力。如重力（G=mg）、惯性力（F=ma、F=m2r）、电磁力等。流体质点的质量力：例题：例题：封闭容器盛水，在地面上静止时水所受单封闭容器盛水，在地面上静止时水所受单位质量力为多少？封闭容器从空中自由下位质量力为多少？封闭容器从空中自由下落时，其单位质量力又为多少？落时，其单位质量力又为多少？答答:2.1 平衡流体上的作用力表面力按其作用方向可分为两种：沿沿表表面面内内法法线线方方向向的的压压力力和沿沿表表面面切切向向的的摩摩擦擦力力。对于处于平衡状态的流体，切向摩擦力为零，只有沿受压面内法线方向的流体静压力。二二二二 表面力表面力表面力表面力 Force on Surface 与表面面积有关而且分布作用在流体表面上的力称与表面面积有关而且分布作用在流体表面上的力称为表面力。为表面力。表面力是由与分离体相接触的其它物体的作用产生的表面力是由与分离体相接触的其它物体的作用产生的针对流体的作用力针对流体的作用力。2.1 平衡流体上的作用力2.1 平衡流体上的作用力三三三三 流体静压力及其特性流体静压力及其特性流体静压力及其特性流体静压力及其特性 流体静压力是处于平衡状态的流体中的流体质点所受流体静压力是处于平衡状态的流体中的流体质点所受到的应力。到的应力。平均流体静压强一点流体静压强流体静压力表明：流体静压力的大小是用微元面积乘以面上任何表明：流体静压力的大小是用微元面积乘以面上任何 一点的流体静压强。一点的流体静压强。1 1 1 1、静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向。、静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向。、静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向。、静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向。由流体的特性知，流体在平衡状态时只要有切应力作用，流体就会变形，引起流体质点间的相对运动，破坏流体的平衡。流体还不能承受拉力。所以，流体在平衡状态下只能承受垂直并指向作用面的压力。2 2 2 2、静压力的大小与作用面的方位无关。、静压力的大小与作用面的方位无关。、静压力的大小与作用面的方位无关。、静压力的大小与作用面的方位无关。流体静压力是各向同性的，它与受压面的方位无关，大小由质点所在的坐标位置确定。2.1 平衡流体上的作用力2.2 流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式 在在在在静静静静止止止止流流流流体体体体中中中中任任任任取取取取一一一一微微微微元元元元六六六六面面面面体体体体，其其其其边边边边长长长长分分分分别别别别为为为为dxdxdxdx，dydydydy，dzdzdzdz，坐标的选取如下图。坐标的选取如下图。坐标的选取如下图。坐标的选取如下图。分分分分析析析析x x x x方方方方向向向向的的的的受受受受力力力力平平平平衡衡衡衡情情情情况况况况：作作作作用用用用于于于于微微微微元元元元体体体体上上上上的的的的质质质质量量量量力力力力在在在在x x x x方方方方向向向向的的的的投投投投影影影影为为为为 ，设设设设六六六六面面面面体体体体形形形形心心心心处处处处的的的的静静静静压压压压强为强为强为强为p p p p，则作用在左面则作用在左面则作用在左面则作用在左面ABCDABCDABCDABCD上的总压力为上的总压力为上的总压力为上的总压力为 作用在右面作用在右面作用在右面作用在右面EFGHEFGHEFGHEFGH上的总压力为上的总压力为上的总压力为上的总压力为 因此作用在该微元体因此作用在该微元体因此作用在该微元体因此作用在该微元体x x x x方向的表面力为：方向的表面力为：方向的表面力为：方向的表面力为：建立建立建立建立x x x x方向受力平衡关系式方向受力平衡关系式方向受力平衡关系式方向受力平衡关系式 上式除以微元体质量上式除以微元体质量上式除以微元体质量上式除以微元体质量 ，得：，得：，得：，得：同理从同理从同理从同理从y y y y、z z z z方向建立受力平衡关系式有：方向建立受力平衡关系式有：方向建立受力平衡关系式有：方向建立受力平衡关系式有：（1 1 1 1）上式即为静止流体平衡微分方程，也称欧拉平衡微上式即为静止流体平衡微分方程，也称欧拉平衡微上式即为静止流体平衡微分方程，也称欧拉平衡微上式即为静止流体平衡微分方程，也称欧拉平衡微分方程。分方程。分方程。分方程。将（将（将（将（1 1 1 1）中三个方程交叉求导得：（不可压缩均质流）中三个方程交叉求导得：（不可压缩均质流）中三个方程交叉求导得：（不可压缩均质流）中三个方程交叉求导得：（不可压缩均质流体体体体 ）（2 2 2 2）（2 2 2 2）式表明存在势函数）式表明存在势函数）式表明存在势函数）式表明存在势函数W W W W（x x x x、y y y y、z z z z）满足：满足：满足：满足：将（将（将（将（1 1 1 1）式中三个方程分别乘以）式中三个方程分别乘以）式中三个方程分别乘以）式中三个方程分别乘以dxdxdxdx、dydydydy、dzdzdzdz再相加得：再相加得：再相加得：再相加得：所以：所以：所以：所以：（3 3 3 3）这就是流体平衡压强分布规律的基本微分关系式。由这就是流体平衡压强分布规律的基本微分关系式。由这就是流体平衡压强分布规律的基本微分关系式。由这就是流体平衡压强分布规律的基本微分关系式。由（3 3 3 3）式可以看出静止流体的一些特性：）式可以看出静止流体的一些特性：）式可以看出静止流体的一些特性：）式可以看出静止流体的一些特性：对于等压面而言对于等压面而言对于等压面而言对于等压面而言等压面也是等势面。等压面也是等势面。等压面也是等势面。等压面也是等势面。等压面与质量力正交。等压面与质量力正交。等压面与质量力正交。等压面与质量力正交。等压面微分方程等压面微分方程2.3 流体静力学基本方程流体静力学基本方程 2.3.12.3.12.3.12.3.1 质量力只有重力时静力学基本方程质量力只有重力时静力学基本方程质量力只有重力时静力学基本方程质量力只有重力时静力学基本方程 在在在在实实实实际际际际应应应应用用用用中中中中，作作作作用用用用在在在在平平平平衡衡衡衡流流流流体体体体上上上上的的的的质质质质量量量量力力力力常常常常常常常常只只只只有重力，以下就讨论重力场中静止流体的压强分布规律。有重力，以下就讨论重力场中静止流体的压强分布规律。有重力，以下就讨论重力场中静止流体的压强分布规律。有重力，以下就讨论重力场中静止流体的压强分布规律。对静止流体，因：对静止流体，因：对静止流体，因：对静止流体，因：由（由（由（由（3 3 3 3）式有）式有）式有）式有 时，将上式积分得：时，将上式积分得：时，将上式积分得：时，将上式积分得：（4 4 4 4）对于静止流体中任意两点，有对于静止流体中任意两点，有对于静止流体中任意两点，有对于静止流体中任意两点，有 （5 5 5 5）（4 4 4 4）（）（）（）（5 5 5 5）两式均为不可压缩流体静力学基本方程。）两式均为不可压缩流体静力学基本方程。）两式均为不可压缩流体静力学基本方程。）两式均为不可压缩流体静力学基本方程。由边界条件，由边界条件，由边界条件，由边界条件，Z=0Z=0Z=0Z=0时，时，时，时，P=PP=PP=PP=P0 0 0 0代入，有代入，有代入，有代入，有P=PP=PP=PP=P0 0 0 0-Z,PZ,PZ,PZ,P0 0 0 0为液面压强，若选为液面压强，若选为液面压强，若选为液面压强，若选取取取取h h h h的坐标方向与的坐标方向与的坐标方向与的坐标方向与Z Z Z Z轴反向，则静轴反向，则静轴反向，则静轴反向，则静止流体基本方程可改写为：止流体基本方程可改写为：止流体基本方程可改写为：止流体基本方程可改写为：P=PP=PP=PP=P0 0 0 0+h h h h，可得出两点结论：，可得出两点结论：，可得出两点结论：，可得出两点结论：1 1 1 1）液液液液体体体体内内内内任任任任一一一一点点点点静静静静水水水水压压压压强强强强P P P P由由由由两两两两部部部部分分分分组组组组成成成成：一一一一部部部部分分分分是是是是自自自自由由由由液液液液面面面面上上上上的的的的表表表表面面面面压压压压强强强强P P P P0 0 0 0，另另另另一一一一部部部部分分分分是是是是单单单单位位位位面面面面积积积积上上上上垂垂垂垂直直直直液液液液注注注注重重重重量量量量h h h h。液重压强与液面以下的深度成线性关系。液重压强与液面以下的深度成线性关系。液重压强与液面以下的深度成线性关系。液重压强与液面以下的深度成线性关系。2 2 2 2）表面压强与液重压强无关。）表面压强与液重压强无关。）表面压强与液重压强无关。）表面压强与液重压强无关。即即即即表表表表面面面面压压压压强强强强P P P P0 0 0 0上上上上升升升升P P P P0 0 0 0,则则则则液液液液体体体体内内内内部部部部各各各各点点点点压压压压强强强强也也也也同同同同时时时时上上上上升升升升P P P P0 0 0 0。著名的著名的著名的著名的帕斯卡原理帕斯卡原理帕斯卡原理帕斯卡原理。工程应用于水压机、水力蓄能机等水力机械。工程应用于水压机、水力蓄能机等水力机械。工程应用于水压机、水力蓄能机等水力机械。工程应用于水压机、水力蓄能机等水力机械。=g g为流体的重度，为流体的重度，为流体的重度，为流体的重度，水水水水=1000kg/m=1000kg/m3 3 水水水水=9800N/m=9800N/m3 3=9.8kN/m=9.8kN/m3 3 其其其其中中中中 和和和和 均均均均具具具具有有有有长长长长度度度度量量量量纲纲纲纲，表表表表示示示示某某某某点点点点所所所所在在在在的的的的位位位位置置置置距基准面的垂直高度称为距基准面的垂直高度称为距基准面的垂直高度称为距基准面的垂直高度称为位置水头位置水头位置水头位置水头，称为称为称为称为压强水头压强水头压强水头压强水头，称为称为称为称为测压管水头测压管水头测压管水头测压管水头。由静力学基本方程。由静力学基本方程。由静力学基本方程。由静力学基本方程 可可可可以以以以看看看看出出出出静静静静止止止止流流流流体体体体中中中中各各各各点点点点位位位位置置置置水水水水头头头头和和和和压压压压力力力力水水水水头头头头可可可可以以以以相相相相互互互互转转转转换换换换，但但但但各各各各点点点点测测测测压压压压管管管管水水水水头头头头相相相相等等等等并并并并为为为为一一一一水水水水平平平平线线线线，如如如如图图图图1 1、2 2两两两两点点点点的测压管液位在同一位置高度。的测压管液位在同一位置高度。的测压管液位在同一位置高度。的测压管液位在同一位置高度。一 静压强的计算标准真空度真空度:当压力比当地大气压低时，流体压力与当地大 气压的差值称为真空度。2.3.2 静压强的计算与测量以当地大气压为计算标准表示的压力。计示压强计示压强(表压强表压强)绝对压强：绝对压强：以绝对真空为起点表示的压力。2.3.2 静压强的计算与测量p绝对真空绝对真空绝对真空绝对真空 p=0p=0绝对压强当地大气压当地大气压当地大气压当地大气压 p pa a表压强真空度ppappa 时绝对压强=当地大气压-真空度真空度=当地大气压-绝对压力当pPz沉底沉底重力和浮力之间的关系：重力和浮力之间的关系：G=Pz可处处平衡可处处平衡(潜水艇、鱼类潜水艇、鱼类)GPz浮出水面，直到浮出水面，直到G=Pz.特例特例潜体和浮体潜体和浮体潜体和浮体潜体和浮体习习习习 题题题题 课课课课例题例题例题例题1.1.如如如如 图图图图 所所所所 示示示示 盛盛盛盛 水水水水U U 形形形形 管，管，管，管，静静静静 止止止止 时，时，时，时，两两两两 支支支支 管管管管 水水水水 面面面面 距距距距 离离离离 管管管管 口口口口 均均均均 为为为为h h，当当当当U U 形形形形 管管管管 绕绕绕绕OZOZ 轴轴轴轴 以以以以 等等等等 角角角角 速速速速 度度度度 旋旋旋旋 转转转转 时，时，时，时，求求求求 保保保保 持持持持 液液液液 体体体体 不不不不 溢溢溢溢 出出出出 管管管管 口口口口 的的的的 最最最最 大大大大 角角角角 速速速速 度度度度maxmax 。解：由解：由 液液 体体 质质 量量 守守 恒恒 知，知，管管 液液 体体 上上 升升 高高 度度 与与 管管 液液 体体 下下 降降 高高 度度 应应 相相 等，且等，且 两两 者者 液液 面面 同同 在在 一一 等等 压压 面面 上，上，满满 足足 等等 压压 面面 方方 程：程：液液 体体 不不 溢溢 出，出，要要 求求 以以r1=a,r2=b 分分 别别 代代 入入 等等 压压 面面 方方 程程 得：得：
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