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第三节第三节 概率的基本性质和运算法则概率的基本性质和运算法则概率的公理化定义指出了概率的本质概率的公理化定义指出了概率的本质.对于任意可列个互不相容事件对于任意可列个互不相容事件A1，A2，An，有有即概率具有即概率具有1.非负性非负性:2.规范性规范性:3.完全可加性完全可加性(也叫可列可加性）：也叫可列可加性）：性质性质1 不可能事件不可能事件 的概率等于的概率等于0，即，即 证：证：又又性质性质2 任意任意有限个有限个互不相容事件之和的概率，等互不相容事件之和的概率，等于它们概率的和：于它们概率的和：（概率的有限可加性（概率的有限可加性)证：证：即有限个互不相容事件和的概率等于它们概率的和即有限个互不相容事件和的概率等于它们概率的和 推论推论3 若若 ，则，则证：证：ABB-A推论推论2推论推论1 当当A、B互斥时，互斥时，而而A与与BA互斥，互斥，性质性质3 对于任意两个事件对于任意两个事件A与与B，有，有证：证：加法公式加法公式 AB而而A与与BAB互斥互斥又又加法公式可加法公式可推广到任意有限个事件推广到任意有限个事件(加奇减偶定理加奇减偶定理)P(A+B+C+D)P(A)P(B)P(C)+P(D)P(AB)P(AC)P(AD)P(BC)P(BD)P(CD)P(ABC)P(ABD)P(ACD)P(BCD)P(ABCD)性质性质4 如果可列个事件如果可列个事件A1，A2，An构构成一个完备事件组，则有成一个完备事件组，则有 .证证对于有限个事件构成的完备事件组，有同样的结果对于有限个事件构成的完备事件组，有同样的结果完备事件组的概率和等于完备事件组的概率和等于1性质性质1 P（）=0性质性质2 互不相容事件和的概率等于概率的和互不相容事件和的概率等于概率的和 性质性质3 加法公式：加法公式：P(A+B)P(A)P(B)(AB)性质性质4 完备事件组的概率和为完备事件组的概率和为1.推论推论1 A、B互斥，互斥，P(A+B)=P(A)+P(B)推论推论2推论推论3 A B，则，则 P（B-A）=P（B）-P（A）互斥互斥对立对立包含包含例例解解:设设A1=“一等品一等品”,A2=“二等品二等品”,合格品率为合格品率为废品率为废品率为 一批产品分一等品一批产品分一等品,二等品和废品二等品和废品,若一等品的若一等品的概率为概率为0.74,二等品的概率为二等品的概率为0.21,求这批产品的求这批产品的合格品的概率与废品的概率合格品的概率与废品的概率(即合格品率与废品即合格品率与废品率率).（A1与与A2互斥）互斥）P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.74+0.21=0.95 例例 如图所示的线路中如图所示的线路中,元件元件a发生故障的概率为发生故障的概率为0.08,元件元件b发生故障的概率为发生故障的概率为0.05,而元件而元件a与与b同时发同时发生故障的概率为生故障的概率为0.004,求线路中断的概率求线路中断的概率.解解:设设 A=“元件元件a发生故障发生故障”,B=“元件元件b发生故障发生故障”.则则 AB=“元件元件a与与b同时发生故障同时发生故障”,A+B=“元件元件a与与b至少一个发生故障至少一个发生故障”=“线路中断线路中断”.P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.08+0.05-0.004 =0.126ab例例 设某单位订有甲乙丙三种报纸设某单位订有甲乙丙三种报纸,据估计据估计,该单位职工中该单位职工中,有有20%读甲报读甲报,16%读乙报读乙报,14%读丙报读丙报;其中其中8%兼读甲乙报兼读甲乙报,5%兼读甲丙报兼读甲丙报,4%兼读乙丙报兼读乙丙报;又有又有2%兼读三种报兼读三种报,求该单求该单位职工至少读一种报纸的概率位职工至少读一种报纸的概率.解解:设设A1=“读甲报读甲报”,A2=“读乙报读乙报”,A3=“读丙报读丙报”,P(A1+A2+A3)=则则 A1 A2=“兼读甲乙报兼读甲乙报”,A1 A3=“兼读甲丙报兼读甲丙报”,A2 A3=“兼读乙丙报兼读乙丙报”,A1 A2 A3=“兼读甲乙丙报兼读甲乙丙报”,P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1 A2)-P(A1 A3)-P(A2 A3)+P(A1 A2 A3)=0.2+0.16+0.14-0.08-0.05-0.04+0.0 2=0.35AAB 例例 假设假设A发生的概率为发生的概率为0.6,A与与B都发生的概率为都发生的概率为0.1,A与与B都不发生的概率为都不发生的概率为0.15,求求 (1)A发生但发生但B不发生的概率不发生的概率.(2)B发生但发生但A不发生的概率不发生的概率.(3)A与与B至少有一个发生的概率至少有一个发生的概率.BA-B=A-AB解解:已知已知=0.40.15=0.25(3)事件事件“A和和B至少有一个发生至少有一个发生”的概率的概率:注注 此题也可以此题也可以 先求先求(3),再利用再利用 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)求出求出 P(B)=0.85-0.60.10.35 从而从而 P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.35-0.1=0.25(2)B发生但发生但A不发生的概率不发生的概率:已知已知或或例例(补充）补充）有有r 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件天的任何一天是等可能的，试求事件“至少至少有两人同生日有两人同生日”的概率的概率.为求为求P(A),先求先求P()解：令解：令 A=至少有两人同生日至少有两人同生日 =r 个人的生日都不同个人的生日都不同则则 美国数学家伯格米尼曾美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验经做过一个别开生面的实验:在一在一个盛况空前、人山人海的世界杯足个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看球赛赛场上，他随机地在某号看台台上上召召唤唤了了22个个球球迷迷，请请他他们们分分别别写写下下自自己己的生日，结果竟发现其中有两人同生日的生日，结果竟发现其中有两人同生日.用上面的公式可以计算出用上面的公式可以计算出22个球迷中个球迷中至少有两人同生日至少有两人同生日的概率为的概率为0.476.趣例趣例r 个人中至少有两人同生日个人中至少有两人同生日 人数人数 至少有两人至少有两人 同生日的概率同生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 当人数超过当人数超过23时，打赌说至时，打赌说至少有两人同生少有两人同生日是有利的日是有利的.讨论讨论:(配对问题）配对问题）n对夫妻参加假面舞会，男女对夫妻参加假面舞会，男女带不同的面具带不同的面具,男人从女人中找一个舞伴男人从女人中找一个舞伴,问问“至至少有两人恰为夫妻少有两人恰为夫妻”（事件（事件A）的概率是多少？）的概率是多少？正确的答案是：正确的答案是：比我们想像中的要小比我们想像中的要小!设表示第个男人挑到自己的妻子设表示第个男人挑到自己的妻子共共n个式子个式子共共 个式子个式子加法公式加法公式小结小结本节要重点掌握的是加法公式：本节要重点掌握的是加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当当A、B互斥时，有互斥时，有P(A+B)=P(A)+P(B)对任意事件对任意事件A，公式，公式有助于有助于求较复杂事件的概率。求较复杂事件的概率。当当A B时，时，P(BA)P(B)P(A)可用来求可用来求差的概率。差的概率。长江三峡之巫峡长江三峡之巫峡课间休息课间休息第四节第四节 条件概率条件概率 在解决许多概率问题时，往往需要在某些附在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加信息加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.一、条件概率一、条件概率1.条件概率的概念条件概率的概念例如在事件例如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概发生的概率，这个概率记作率，这个概率记作P(A|B)，称为，称为A对对B的条件概率的条件概率.一般一般 P(A|B)P(A)而而P(A)称为无条件概率或原概率称为无条件概率或原概率.例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点，求，求P(A)和和P(A|B)掷骰子掷骰子B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减的样本空间在缩减的样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数P(A)又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正品中件正品中有有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品.现从这现从这10件中任取一件，件中任取一件，求它是一等品的概率；如果已知取到的是正品，求它求它是一等品的概率；如果已知取到的是正品，求它是一等品的概率。是一等品的概率。B=取到正品取到正品设设 A=取到一等品取到一等品，P(A|B)B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数 在缩减的样本在缩减的样本 空间中空间中A所含所含 样本点个数样本点个数 以上两例中，计算以上两例中，计算P(A)是以整个样本空间为考是以整个样本空间为考虑背景的虑背景的 而在计算而在计算P(A|B)时，大背景没变，只是加上时，大背景没变，只是加上“事事件件B已发生已发生”这个新的条件这个新的条件.这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我们得以在，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题某个缩小了的范围内来考虑问题.由此由此,我们得出求条件概率的第一种方法，即我们得出求条件概率的第一种方法，即:根据事件的具体含义，在缩减了的样本空间中计算根据事件的具体含义，在缩减了的样本空间中计算.例例 某种动物活到某种动物活到10岁的概率为岁的概率为0.7，而活到，而活到12岁的岁的概率为概率为0.56.求现在年龄为求现在年龄为10岁的这种动物活到岁的这种动物活到12岁的概率岁的概率解解 设设A=活到活到10岁岁，B=活到活到12岁岁所求为所求为P(B|A).下面我们给出求条件概率的公式下面我们给出求条件概率的公式定理定理1.1证：证：仅以古典概型的情况证明（仅以古典概型的情况证明（1）式）式设试验设试验E的基本事件总数为的基本事件总数为n，事件事件B包含包含m个基本事件，个基本事件，事件事件AB包含包含r个基本事件，个基本事件，ABABrmn例例 某种动物活到某种动物活到10岁的概率为岁的概率为0.7，而活到，而活到12岁的岁的概率为概率为0.56.求现在年龄为求现在年龄为10岁的这种动物活到岁的这种动物活到12岁的概率岁的概率解解 设设A=活到活到10岁岁，B=活到活到12岁岁所求为所求为P(B|A).1、无条件概率、无条件概率P(A)实际上也是一种特殊的条实际上也是一种特殊的条件概率，它的条件是件概率，它的条件是即即P(A)=P(A|).注：注：、条件概率具有无条件概率所具有的所有性质、条件概率具有无条件概率所具有的所有性质.比如第三节学习的一些性质：比如第三节学习的一些性质：推论推论2推论推论1 当当A、B互斥时，互斥时，二、二、乘法公式乘法公式P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:例例4(P22)一批零件共一批零件共100件，其中次品件，其中次品10件，每件，每次任取一件，无放回地取三次，求次任取一件，无放回地取三次，求“第一、二次取第一、二次取到次品，第三次取到正品到次品，第三次取到正品”的概率的概率.解解 设设 表示第一次取得废品，表示第一次取得废品，表示第二次取得废品，表示第二次取得废品，表示第三次取得正品，表示第三次取得正品，则所求概率为则所求概率为乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜个与所抽出的球具有相同颜色的球色的球.这种手续进行四次，试求第一、这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概二次取到白球且第三、四次取到红球的概率率.（波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）b个白球个白球,r个红球个红球所求概率为所求概率为P(W1W2R3R4)解解:设设Wi=第第i次取到白球次取到白球,i=1,2,3,4 Rj=第第j次取到红球次取到红球，j=1,2,3,4b个白球个白球,r个红球个红球求第一、二次取到白球且第求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率三、四次取到红球的概率.当当 c 0 0 时，每次取出球后会增加下一次也取时，每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率到同色球的概率.这是一个这是一个传染病模型传染病模型.每次发现每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W1W2R3R4)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)例例5(P22)假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则击假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率为落乙机的概率为0.2，若乙机未被击落，就进行还击，若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为击落甲机的概率为0.3；若甲机亦未被击落，再次进攻；若甲机亦未被击落，再次进攻乙机，击落乙机的概率为乙机，击落乙机的概率为0.4，在这几个回合中，分别，在这几个回合中，分别计算甲、乙被击落的概率。计算甲、乙被击落的概率。解解甲甲 0.2 乙乙0.30.4已知已知甲甲 0.2 乙乙0.30.4已知已知 监狱看守通知三个囚犯监狱看守通知三个囚犯,在他们中要随机在他们中要随机地选出一个处决地选出一个处决,而把另外两个释放而把另外两个释放.囚犯囚犯甲请求看守秘密地告诉他甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中另外两个囚犯中谁将获得自由谁将获得自由.NO！因为我已经知道他们两人中因为我已经知道他们两人中至少有一人要获得自由，所至少有一人要获得自由，所以你泄露这点消息是无妨的以你泄露这点消息是无妨的.趣例趣例如果你知道了你的同伙中谁如果你知道了你的同伙中谁将获释，那么，你自己被处将获释，那么，你自己被处决的概率就由决的概率就由1/3增加到增加到1/2,因为你就成了剩下的两个囚因为你就成了剩下的两个囚犯中的一个了犯中的一个了.对于看守的上述理由对于看守的上述理由,你是怎么想的你是怎么想的?解：看守说得不对解：看守说得不对.理由如下：理由如下：在这个问题里在这个问题里,在三个囚犯中要随机地选在三个囚犯中要随机地选出一个处决出一个处决,而把另外两个释放，由于随而把另外两个释放，由于随机性，每人被处决的概率是相同的。均为机性，每人被处决的概率是相同的。均为1/3,这是客观存在的事实。这是客观存在的事实。不论看守泄露消不论看守泄露消息与否，囚犯甲被处决的概率不变。息与否，囚犯甲被处决的概率不变。看守看守所说的实际上是一个条件概率。所说的实际上是一个条件概率。请回答请回答.显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,事件事件B的发生的发生,并不影响事件并不影响事件A发生发生的概率的概率1、两个事件的独立性、两个事件的独立性B=第一次掷出第一次掷出6点点，A=第二次掷出第二次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设将一颗均匀骰子连掷两次，设(三三)事件的独立性事件的独立性则则 P(A)=P(A|B)=,这时称事件这时称事件A对事件对事件B独立独立.定义定义1.5 如果事件如果事件B的发生，不影响事件的发生，不影响事件A发生的概率，即发生的概率，即 P(A|B)=P(A)则称事件则称事件A对对B独立。独立。事件事件A对事件对事件B独立独立:P(A|B)=P(A)事件事件B对事件对事件A独立独立:P(B|A)=P(B)如果如果A对对B独立，那么反过来独立，那么反过来B对对A是否也是否也独立呢？独立呢？即即B对对A也独立。也独立。因此，事件因此，事件A与事件与事件B是是相互独立相互独立的。的。P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(B)定理定理1.4 若两事件若两事件A、B具有正概率，具有正概率，则则A、B相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 P(AB)=P(A)P(B)当事件当事件A、B独立时，有独立时，有P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B)用用 P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性，比用刻划独立性，比用 P(A|B)=P(A)或或 P(B|A)=P(B)更方便。更方便。在更多的教科书上在更多的教科书上,用用P(AB)=P(A)P(B)定义独立性定义独立性.由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的概率，的概率，故认为故认为A、B独立独立.例如例如 甲、乙两人向同一目标射击，记甲、乙两人向同一目标射击，记 A=甲甲命中命中,B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？在实际应用中在实际应用中,往往根据往往根据问题的实际意义去判断问题的实际意义去判断两事件是否相互独立两事件是否相互独立.一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的,则则A1与与A2独立独立.因为第二次抽取的结果受到因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响第一次抽取的影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立.例例(补充补充)从一副不含大小王的扑克牌中任取从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记一张，记 A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见,P(AB)=P(A)P(B)由于由于 P(A)=4/52=1/13,说明事件说明事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解解P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2也可以通过计算条件概率去判断也可以通过计算条件概率去判断:A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的P(A)=1/13P(A|B)=2/26=1/13P(A)=P(A|B)说明事件说明事件A、B独立独立.=P(A)1-P(B)=P(A)P()=P(A)-P(AB)P(A )=P(A-A B)故故A与与 独立独立.=P(A)-P(A)P(B)仅证仅证A与与 独立：独立：推论推论 若若两事件两事件A、B独立，则独立，则 也相互独立也相互独立.例例2（P24）甲乙两射手同时独立地向某一目标各甲乙两射手同时独立地向某一目标各射击一次射击一次,命中目标的概率分别为命中目标的概率分别为 0.9和和0.8,求下求下列事件的概率列事件的概率:(1)两人同时命中两人同时命中;(2)甲中乙不中甲中乙不中;(3)甲与乙恰有一人命中甲与乙恰有一人命中;(4)至少有一人命中至少有一人命中.解解 设设A=“甲命中目标甲命中目标”,B=“乙命中目标乙命中目标”则则P(A)=0.9 P(B)=0.8（1）P(AB)=P(A)P(B)=0.90.8=0.72(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72=0.98甲中乙不中甲中乙不中 乙中甲不中乙中甲不中 甲乙都中甲乙都中 甲乙都不中甲乙都不中 一位老战士向新伙伴介绍经验；一位老战士向新伙伴介绍经验；“当当敌人向我们的阵地打炮时，你最好滚到新敌人向我们的阵地打炮时，你最好滚到新弹坑里藏身弹坑里藏身.因为短时间内不大可能有两因为短时间内不大可能有两发炮弹落到同一个地点！发炮弹落到同一个地点！”他说得对吗？他说得对吗？不对！不对！因为他没有认识到独立事件的因为他没有认识到独立事件的“独立独立”性性.一发炮弹落在什么地方，和另一发一发炮弹落在什么地方，和另一发炮弹之间没有关系，它们是相互独立的炮弹之间没有关系，它们是相互独立的.条件概率条件概率:1.用定义式计算用定义式计算2.在缩减后的样本空间中计算在缩减后的样本空间中计算计算方法：计算方法：P(AB)=P(B)P(A|B)乘法公式乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)P(A1A2An)=多个事件的乘法公式多个事件的乘法公式:P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)P(An|A1A2An-1)复习复习两个两个事件的独立性：事件的独立性：P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(AB)=P(A)P(B)定义定义1.6 如果如果n个事件个事件A1、A2、An中的任一事中的任一事件发生的概率，都不受其它一个或几个事件发生的影件发生的概率，都不受其它一个或几个事件发生的影响，那么就称事件响，那么就称事件 A1，A2，An相互独立相互独立.1、n个事件中任意两个相互独立个事件中任意两个相互独立,即两两独立；即两两独立；二、二、n个事件的独立性个事件的独立性n个事件相互独立个事件相互独立 n个事件两两独立。个事件两两独立。定义定义1.6包含两层涵义：包含两层涵义：2、n个事件中任意一个与其余事件中任意个事件中任意一个与其余事件中任意k个事件的积个事件的积 事件都相互独立；事件都相互独立；n个事件的独立性的等价定义：个事件的独立性的等价定义：设设A1,A2,An 是是 n个个事件，如果对于其事件，如果对于其中的任意中的任意 k(1k n)个不同事件个不同事件,等式等式 都成立，则称都成立，则称 n个事件相互独立个事件相互独立.即任意即任意k个不同事件的乘积的概率等于其个不同事件的乘积的概率等于其概率的乘积概率的乘积4个事件相互独立：个事件相互独立：4个事件两两独立：个事件两两独立：两两独立是相互独立的必要但不充分条件两两独立是相互独立的必要但不充分条件相互独立一定相互独立一定两两独立两两独立两两独立不一定相互独立两两独立不一定相互独立定理定理1.5 三个事件三个事件A、B、C相互独立的相互独立的充要条件是充要条件是 P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)两两两两独独立立相相互互独独立立 多个事件相互独立常由其具体意义来多个事件相互独立常由其具体意义来判断。判断。例例3（P25）一个袋内装有一个袋内装有4个球，其中全红全黑全白色的球各一个，另一个球，其中全红全黑全白色的球各一个，另一个是涂有红、黑、白三色的彩球，从中任取一球，记事件个是涂有红、黑、白三色的彩球，从中任取一球，记事件A、B、C分别表示取到的球上涂有红色、黑色、白色，判断三分别表示取到的球上涂有红色、黑色、白色，判断三事件的独立性事件的独立性.解解:P(A)=P(B)=P(C)=1/2 P(AB)=1/4=P(A)P(B)所以，不能认为这三事件相互独立所以，不能认为这三事件相互独立.P(AC)=1/4=P(A)P(C)P(BC)=1/4=P(B)P(C)P(ABC)=1/4P(A)P(B)P(C)=1/8定理定理1.7 n个事件相互独立，则下式成立个事件相互独立，则下式成立因此因此定理定理1.7的逆命题的逆命题不成立。不成立。即上式是即上式是n个事件相互独立的必要条件，而个事件相互独立的必要条件，而不是充分条件。不是充分条件。定理定理1.6 如果如果 n 个事件相互独立，则把个事件相互独立，则把其中任意一个或几个事件换成其其中任意一个或几个事件换成其对立事件对立事件后，得到的后，得到的 n 个事件仍是相互独立的。个事件仍是相互独立的。例例4 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？将密码译出的概率是多少？解：将三人编号为解：将三人编号为1,2,3，记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 P(A1+A2+A3)三、三、n个独立事件和的概率个独立事件和的概率n个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:设设事件事件 相互独立相互独立,则则 P(A1+An)也就是说，也就是说，n个独立事件个独立事件至少有一个发生至少有一个发生的概率的概率等于等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.“n个事件个事件至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为类似可以得出：类似可以得出：例例5（P27）八门高射炮各自独立地射击，每门炮击中敌机八门高射炮各自独立地射击，每门炮击中敌机的概率都是的概率都是0.4，今一敌机入侵，今一敌机入侵,八门炮同时各发八门炮同时各发射一次，求敌机被击中的概率射一次，求敌机被击中的概率.例例6（P26）甲、乙、丙三部机床独立工作，在同一时甲、乙、丙三部机床独立工作，在同一时间内它们不需要工人照管的概率分别为间内它们不需要工人照管的概率分别为0.7,0.8,0.9，求，求在这段时间内，最多只有一台机床需人照管的概率在这段时间内，最多只有一台机床需人照管的概率.解：解：A1“甲机床需人照管甲机床需人照管”，A2“乙机床需人照管乙机床需人照管”，A3“丙机床需人照管丙机床需人照管”，Bi“共有共有i台机床需人照管台机床需人照管”，i0,1已知已知所求为所求为 昨天从香港飞往纽约的飞机是否失事，昨天从香港飞往纽约的飞机是否失事，与今天从北京飞往上海的飞机是否安全与今天从北京飞往上海的飞机是否安全它们是相互独立的事件它们是相互独立的事件.头胎生女生男与二胎生男生女彼此独头胎生女生男与二胎生男生女彼此独立的立的.独立性和我们的生活关系密切独立性和我们的生活关系密切小小 结结本节介绍了条件概率、乘法公式和事件的独立性。本节介绍了条件概率、乘法公式和事件的独立性。对条件概率，要注意所给的条件，分清条件概对条件概率，要注意所给的条件，分清条件概率和乘积的概率。率和乘积的概率。乘法公式用来求乘积的概率。乘法公式用来求乘积的概率。要深刻理解事件独立性的概念，利用事件的要深刻理解事件独立性的概念，利用事件的独立性求概率。独立性求概率。巫峡之神女峰巫峡之神女峰神女应无恙，神女应无恙，当惊世界殊。当惊世界殊。毛泽东毛泽东课间休息课间休息
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