电磁场与电磁波(第四版之第一章矢量分析)

第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论本课程的目的本课程的目的u电磁场理论是无线通信、移动通信、微波通电磁场理论是无线通信、移动通信、微波通电磁场理论是无线通信、移动通信、微波通电磁场理论是无线通信、移动通信、微波通信的根底信的根底信的根底信的根底u后续课程有：后续课程有：后续课程有：后续课程有：u 微波技术微波技术微波技术微波技术u 天线技术天线技术天线技术天线技术u 光纤通信等光纤通信等光纤通信等光纤通信等u 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论uu必修课，共必修课，共3232学时，学时，2 2个学分个学分 uu成绩考核与评定成绩考核与评定 本课为考查课，期末总成绩：本课为考查课，期末总成绩：理论考试：理论考试：理论考试：理论考试：80%80%80%80%平时成绩：平时成绩：平时成绩：平时成绩：20%20%20%20%第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论第第 1 1 章章 矢量分析矢量分析l 矢量代数、常用坐标系矢量代数、常用坐标系 (1.11.2(1.11.2节节节节)l 标量场的标量场的 梯梯度度(1.3(1.3节节节节)l 矢量场的矢量场的通量通量 散度散度(1.4(1.4节节节节)l 矢量场的矢量场的环流环流 旋度旋度 (1.5(1.5节节节节)l 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 (1.8(1.8节节节节)主主要要内内容容矢量场标量场确定确定l 拉普拉斯运算与格林函数拉普拉斯运算与格林函数(1.7(1.7节节节节)l 无旋场与无散场无旋场与无散场 (1.6(1.6节节节节)第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论uu复习：矢量代数知识复习：矢量代数知识复习：矢量代数知识复习：矢量代数知识uu常用三个坐标系常用三个坐标系常用三个坐标系常用三个坐标系uu概念：场矢量场、标量场概念：场矢量场、标量场概念：场矢量场、标量场概念：场矢量场、标量场uu 散度散度散度散度uu 旋度旋度旋度旋度uu 梯度梯度梯度梯度uu定律：散度定律定律：散度定律定律：散度定律定律：散度定律uu斯托克斯定律斯托克斯定律斯托克斯定律斯托克斯定律uu亥姆霍兹定律亥姆霍兹定律亥姆霍兹定律亥姆霍兹定律本本章章要要求求掌掌握握的的主主要要内内容容数学表达式；数学表达式；物理意义重点重点第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论复习：复习：高等数学相关内容高等数学相关内容高等数学高等数学高等数学高等数学本教材本教材本教材本教材普通物理普通物理普通物理普通物理曲面积分曲面积分曲面积分曲面积分闭合曲面积分闭合曲面积分闭合曲面积分闭合曲面积分体积分体积分体积分体积分积分符号差异矢量表示差异第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 矢量的几何表示矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示用一条有方向的线段来表示 矢量的几何表示矢量的几何表示矢量可表示为：矢量可表示为：其中其中 为为模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小；为为单位矢量单位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向；说明：矢量书写时，说明：矢量书写时，印刷体印刷体为场量符号加粗，如为场量符号加粗，如 。教材。教材上的矢量符号即采用印刷体。上的矢量符号即采用印刷体。1.1 矢量代数矢量代数1.1.1 标量标量Scalar和矢量和矢量Vector 标量与矢量标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量标量：只有大小，没有方向的物理量(电压电压U U、电荷量、电荷量Q Q、能量、能量W W等等 矢量：既有大小，又有方向的物理量作用力，电、磁场强度矢量：既有大小，又有方向的物理量作用力，电、磁场强度 矢量的代数表示矢量的代数表示第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zxy第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.1.2 矢量代数运算矢量代数运算 矢量的加法和减法矢量的加法和减法说明：说明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交换律交换律和和结合律结合律：2 2、矢量相加和相减可用平行四边形法那么求解：、矢量相加和相减可用平行四边形法那么求解：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 矢量的乘法矢量的乘法 矢量与标量相乘矢量与标量相乘标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。矢量的标积点积矢量的标积点积dot productdot product说明：说明：1 1、矢量的点积符合交换律和分配律：、矢量的点积符合交换律和分配律：2 2、两个矢量的点积为标量两个矢量的点积为标量 3 3、第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 矢量的矢积叉积矢量的矢积叉积cross productcross product说明：说明：1 1、矢量的叉积、矢量的叉积不符合不符合交换律，但交换律，但符合符合分配律：分配律：2 2、两个矢量的叉积为矢量两个矢量的叉积为矢量 3 3、矢量运算恒等式见、矢量运算恒等式见P341P341附录附录qsinABq第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 三维空间任意一点的位置可通过三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点三条相互正交线的交点来来确定。确定。在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐直角坐标系标系、圆柱坐标系圆柱坐标系和和球坐标系球坐标系。三条正交线组成确实定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交线组成确实定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。标变量。1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.2.1 直角坐标系直角坐标系位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量点点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面）o x y z0 xx=（平面）（平面）0zz=（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论说明：说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：圆柱坐标系下矢量运算方法：加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.2.3 球面坐标系球面坐标系球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论说明：球面坐标系下矢量运算：说明：球面坐标系下矢量运算：加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.2.4 1.2.4 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标与与与与圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标圆柱坐标圆柱坐标圆柱坐标与与与与球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标与与与与球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系oxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系orz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论三种坐标系有不同适用范围：三种坐标系有不同适用范围：1 1、直角坐标系适用于场呈、直角坐标系适用于场呈面对称分布面对称分布的问题求解，如无限大的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。面电荷分布产生电场分布。2 2、柱面坐标系适用于场呈、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布轴对称分布的问题求解，如无限长的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。线电流产生磁场分布。3 3、球面坐标系适用于场呈、球面坐标系适用于场呈点对称分布点对称分布的问题求解，如点电荷的问题求解，如点电荷产生电场分布。产生电场分布。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.3 标量场的梯度标量场的梯度Gradientq如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。例如例如：流速场：流速场、重力场重力场、电场、磁场等。、电场、磁场等。q如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.3.1 1.3.1 标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线(面面)等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。等值面方程等值面方程：常数常数C C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。等值面的特点等值面的特点：意义意义:形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.3.2 1.3.2 方向导数方向导数方向导数方向导数表征空间表征空间某点处某点处标量场场值沿标量场场值沿特定方向特定方向变化率。变化率。方向导数定义：方向导数定义：的方向余弦。的方向余弦。方向导数物理意义：方向导数物理意义：，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向增加率；方向增加率；，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向减小率；方向减小率；，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向为等值面方向无改变方向为等值面方向无改变第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论方向导数既与方向导数既与点点M M0 0有关有关，也与，也与方向方向有关。有关。问题问题：在什么方向上变化率最大在什么方向上变化率最大?最大的变化率为多少？最大的变化率为多少？梯度梯度第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 梯度的定义梯度的定义式中：式中：为场量为场量 最大变化率最大变化率的方向上的单位矢量。的方向上的单位矢量。梯度的性质梯度的性质 标量场的梯度为标量场的梯度为矢量矢量，且是坐标位置的函数，且是坐标位置的函数 标量场梯度的幅度表示标量场的标量场梯度的幅度表示标量场的最大变化率最大变化率 标量场梯度的方向标量场梯度的方向垂直于垂直于等值面，为标量场等值面，为标量场增加最快增加最快的方向的方向 标量场在给定点沿任意方向的标量场在给定点沿任意方向的方向导数方向导数等于等于梯度在该方向投影梯度在该方向投影1.3.3 1.3.3 标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 梯度的运算梯度的运算 直角坐标系：直角坐标系：哈密顿算符 球面坐标系：球面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 梯度运算相关公式梯度运算相关公式式中：式中：为常数；为常数；为坐标变量函数；为坐标变量函数；第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1.1.矢量线矢量线 意义：意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。矢量线方程：矢量线方程：概念：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论矢量场的通量矢量场的通量 假设矢量场假设矢量场 分布于空间中，在分布于空间中，在空间中存在任意曲面空间中存在任意曲面S S，那么定义：，那么定义：为为矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面 S S 的通量的通量。1.4.2 1.4.2 矢量场的通量矢量场的通量FluxFlux问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入引入通量通量的概念。的概念。假设假设S S 为闭合曲面为闭合曲面 物理意义：表示穿入和穿出闭合面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S S的通量的的通量的代数和代数和。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论3)3)1)1)面元矢量面元矢量 定义：面积很小的定义：面积很小的有向有向曲面。曲面。：面元面积，为微分量，：面元面积，为微分量，无限小无限小：面元法线方向，：面元法线方向，垂直于垂直于面元平面。面元平面。说明：说明：2)2)面元法向面元法向 确实定方法：确实定方法：对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法那么确定；手螺旋法那么确定；对闭合曲面：闭合面外法线方向对闭合曲面：闭合面外法线方向关于矢量场通量的说明关于矢量场通量的说明第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 假设假设 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的正源；发出矢量线的正源；假设假设 ，有净的矢量线进入，闭合面内有聚集矢量线的负，有净的矢量线进入，闭合面内有聚集矢量线的负源；源；假设假设 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为无源，或正源负源代数和为0 0。通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义：的通量的物理意义：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论、矢量场的散度、矢量场的散度DivergenceDivergence 散度的定义散度的定义 在场空间在场空间 中任意点中任意点M M 处作一个闭合曲面，所围的体积为处作一个闭合曲面，所围的体积为 ，那么定义场矢量，那么定义场矢量 在在M M 点处的散度为：点处的散度为：即流出单位体积元封闭面的通量，表达了点即流出单位体积元封闭面的通量，表达了点M处的通量源密度。处的通量源密度。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 散度的物理意义散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性(体密度体密度)；矢量场的矢量场的散度是标量散度是标量；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度值表征空间中某点处矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度通量源的密度。(正源正源)负负源源)(无源无源）假设假设 处处成立，那么该矢量场称为无处处成立，那么该矢量场称为无散场散场 假设假设 ，那么该矢量场称为有散场，那么该矢量场称为有散场，为源密度为源密度 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 在直角坐标系下：在直角坐标系下：在圆柱坐标系下：在圆柱坐标系下：在球面坐标系下：在球面坐标系下：散度的计算散度的计算第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 散度运算相关公式散度运算相关公式1.4.4 散度定理矢量场的高斯定理散度定理矢量场的高斯定理 该公式表明了矢量场该公式表明了矢量场 的散度在体积的散度在体积V内的积分等于矢量场穿内的积分等于矢量场穿过包围该体积的过包围该体积的边界面边界面S S的通量。的通量。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.5 矢量场的矢量场的环流环流 旋度旋度磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线磁场的环流：磁场的环流：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.5.1 1.5.1 矢量的环流矢量的环流在场矢量在场矢量 空间中，取一有向闭合空间中，取一有向闭合路径路径 ，那么称，那么称 沿沿 积分的结果积分的结果称为矢量称为矢量 沿沿 的环流。即：的环流。即：线元线元矢量矢量 ：长度趋近于：长度趋近于0 0，方向沿路径切线方向。，方向沿路径切线方向。环流意义：假设矢量场环流不为零，那么矢量场中存环流意义：假设矢量场环流不为零，那么矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。在产生矢量场的漩涡源。反映矢量场漩涡源分布情况反映矢量场漩涡源分布情况讨论：讨论：环量的定义第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.5.2 1.5.2 矢量的旋度矢量的旋度RotationRotation 环流面密度环流面密度称为矢量场称为矢量场 在在M M点处沿点处沿 方向的漩涡源密度方向的漩涡源密度。定义：定义：空间某点空间某点M M处单位面元边界闭合曲线的环流：处单位面元边界闭合曲线的环流：1)1)环流面密度大小与所选取的单位面元方向环流面密度大小与所选取的单位面元方向 有关。有关。2)任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 矢量场的矢量场的旋度旋度 矢量场在矢量场在M M点的旋度为该点处点的旋度为该点处环流面密度最大时环流面密度最大时对应的矢量，对应的矢量，模值等于模值等于M M点处最大环流面密度点处最大环流面密度，方向为，方向为环流密度最大的方向环流密度最大的方向，表，表示为示为 ，即：，即：式中：式中：表示矢量场旋度的方向；表示矢量场旋度的方向；旋度的物理意义旋度的物理意义 矢量的旋度为矢量的旋度为矢量矢量，是空间坐标的函数，是空间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度漩涡源密度第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 旋度的计算旋度的计算 直角坐标系：直角坐标系：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 柱面坐标系：柱面坐标系：球面坐标系：球面坐标系：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零 旋度计算相关公式：旋度计算相关公式：证明证明证明证明第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论讨论：散度和旋度比较讨论：散度和旋度比较 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.5.3 1.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理由旋度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有斯托克斯定理的证明：得证！意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大方向相反大小相等抵消小相等抵消第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 假设矢量场假设矢量场假设矢量场假设矢量场 在某区域在某区域在某区域在某区域V V V V内，处处内，处处内，处处内，处处 ，但在某些位，但在某些位，但在某些位，但在某些位置或整个空间内，有置或整个空间内，有置或整个空间内，有置或整个空间内，有 ，那么称在该区域，那么称在该区域，那么称在该区域，那么称在该区域V V V V内，场内，场内，场内，场 为无旋场。为无旋场。为无旋场。为无旋场。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.6.1 1.6.1 无旋场无旋场结论：结论：结论：结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩涡源无漩涡源无漩涡源无漩涡源)。重要性质重要性质：无旋场的旋度始终为无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数可引入标量辅助函数表征矢量场，即表征矢量场，即例如：静电场例如：静电场第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.6.2 1.6.2 无散场无散场 假设矢量场假设矢量场假设矢量场假设矢量场 在某区域在某区域在某区域在某区域V V V V内，处处内，处处内，处处内，处处 ，但在某些位，但在某些位，但在某些位，但在某些位置或整个空间内，有置或整个空间内，有置或整个空间内，有置或整个空间内，有 ，那么称在该区域，那么称在该区域，那么称在该区域，那么称在该区域V V V V内，场内，场内，场内，场 为无源有旋场。为无源有旋场。为无源有旋场。为无源有旋场。结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零无散度源。结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零无散度源。结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零无散度源。结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零无散度源。重要性质：重要性质：无散场的散度始终为无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场，可引入矢量函数的旋度表示无散场例如，恒定磁场例如，恒定磁场第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论3 3无旋、无散场无旋、无散场 源在所讨论的区域之外源在所讨论的区域之外4 4有散、有旋场有散、有旋场这样的场可分解为两局部：无旋场局部和无散场局部这样的场可分解为两局部：无旋场局部和无散场局部无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.7 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量场的拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：式中：称为拉普拉斯算符。称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：在直角坐标系中：在圆柱坐标系中：在圆柱坐标系中：在球面坐标系中：在球面坐标系中：(1.7.3)(1.7.3)第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 矢量场的拉普拉斯运算矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：在直角坐标系中：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件即矢量场在有限区域边界上的分布唯一确定，且任意矢量场可即矢量场在有限区域边界上的分布唯一确定，且任意矢量场可表示为：表示为：说明：说明：矢量场可分解一个矢量场可分解一个矢量场可分解一个矢量场可分解一个有源无旋场有源无旋场有源无旋场有源无旋场和和和和无源有旋场无源有旋场无源有旋场无源有旋场之和，即：之和，即：之和，即：之和，即：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论已知已知矢量矢量F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电、磁场散度电、磁场散度电、磁场旋度电、磁场旋度场域边界条件场域边界条件亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线研究电磁场的一条主线。假设矢量场假设矢量场假设矢量场假设矢量场 在某区域在某区域在某区域在某区域V V V V内，处处有：内，处处有：内，处处有：内，处处有：和和和和 那么那么那么那么 由其在边界面上的场分布确定。由其在边界面上的场分布确定。由其在边界面上的场分布确定。由其在边界面上的场分布确定。注意：注意：注意：注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论散度定理的证明：散度定理的证明：从散度定义，可以得到：从散度定义，可以得到：那么在一定体积那么在一定体积V V内的总的通量为：内的总的通量为：体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论重要的矢量恒等式的证明：重要的矢量恒等式的证明：返回返回第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论重要的矢量恒等式的证明：重要的矢量恒等式的证明：返回返回第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论习习 题题一、关于矢量代数一、关于矢量代数1.3;1.5二、关于矢量分析二、关于矢量分析 1.27C)