构建前后一致逻辑连贯的数学学习过程课件

使学生在前后一致逻辑连贯的使学生在前后一致逻辑连贯的数学学习过程中学会思考数学学习过程中学会思考人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃一、数学的育人功能在哪里？一、数学的育人功能在哪里？数学在基础教育课程体系中的特殊地位，数学在基础教育课程体系中的特殊地位，在于它是发展学生的智力、培养逻辑思维在于它是发展学生的智力、培养逻辑思维能力的主要学科。能力的主要学科。数学学科的最大用处是育人，它不仅能培数学学科的最大用处是育人，它不仅能培养学生的几何直观能力、运算能力、逻辑养学生的几何直观能力、运算能力、逻辑推理能力、数据处理能力等，而且在锻炼推理能力、数据处理能力等，而且在锻炼学生的心智、培育理性精神上也是不可替学生的心智、培育理性精神上也是不可替代的。代的。二、如何发挥数学的育人功能？二、如何发挥数学的育人功能？从数学和数学教育的内部寻找。从数学和数学教育的内部寻找。教学中，要以数学地认识问题和解决问题教学中，要以数学地认识问题和解决问题为核心任务，以数学知识的发生发展过程为核心任务，以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考。使他们在掌握数学知识的过程中学会思考。数学教育应该数学教育应该“取势、明道、优术取势、明道、优术”兼顾，兼顾，但目前只追求但目前只追求“术术”，把数学搞成解题术，把数学搞成解题术注重雕虫小技，而忘却了数学的根本。注重雕虫小技，而忘却了数学的根本。三、取势三、取势“势势”是方向，是方向，“取势取势”是是“顺势而为顺势而为”。回归数学教育的本来面目，发挥数学的内回归数学教育的本来面目，发挥数学的内在力量，实现数学育人的目标，这就是大在力量，实现数学育人的目标，这就是大势所趋。具体而言，就是要为学生的终生势所趋。具体而言，就是要为学生的终生发展考虑，着眼于学生的长期利益，充分发展考虑，着眼于学生的长期利益，充分挖掘数学所蕴含的价值观资源，以培育学挖掘数学所蕴含的价值观资源，以培育学生的理性精神、发展学生的逻辑思维能力生的理性精神、发展学生的逻辑思维能力为核心，使学生在掌握数学知识、学会数为核心，使学生在掌握数学知识、学会数学思考的过程中，成为善于认识问题、解学思考的过程中，成为善于认识问题、解决问题的人才。决问题的人才。四、明道四、明道明即明白、懂得，道即规律、原则。明即明白、懂得，道即规律、原则。数学教学首先要遵循数学教学首先要遵循“数学之道数学之道”，懂得数学，懂得数学研究的研究的“基本套路基本套路”。例如，。例如，“代数学的根源代数学的根源在于代数运算在于代数运算代数学要研讨的就是如何有代数学要研讨的就是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题效、有系统地解决各种各样的代数问题”，“数学推广过程要使得在原来范围内成立的规律数学推广过程要使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立在更大的范围内仍然成立”。学习数及其运算。学习数及其运算后，从后，从“运算运算”出发，通过类比，可以自然地出发，通过类比，可以自然地提出提出“代数式代数式”的研究任务、过程和方法。的研究任务、过程和方法。例例 数系扩充过程所体现的逻辑连贯性、数系扩充过程所体现的逻辑连贯性、数学思想方法的数学思想方法的一致性一致性。课例：三角函数起始课课例：三角函数起始课任意角任意角立意：让学生学会认识和解决问题的方法。立意：让学生学会认识和解决问题的方法。以数学概念的发生发展过程为载体，使学以数学概念的发生发展过程为载体，使学生经历完整的数学研究过程，包括：生经历完整的数学研究过程，包括：明确问题，获得对象，明确问题，获得对象，确定内容，选取方法，确定内容，选取方法，实施过程，获得结论。实施过程，获得结论。1 1如何如何“开篇开篇”本课是本课是“三角函数三角函数”的的“开篇开篇”，应发挥，应发挥“先行组织者先行组织者”的作用。的作用。要充分重视构建本章的基本研究思路的教要充分重视构建本章的基本研究思路的教学，为整章学习做好准备。学，为整章学习做好准备。解决好两个问题：第一，为什么要学习本解决好两个问题：第一，为什么要学习本章内容；第二，从哪里入手。章内容；第二，从哪里入手。为什么要学习本章？为什么要学习本章？已有的函数模型不能解决已有的函数模型不能解决“周而复始周而复始”的的变化规律的刻画问题。变化规律的刻画问题。“周而复始周而复始”现象中，最本质的就是匀速现象中，最本质的就是匀速圆周运动。数学中，研究一类现象，往往圆周运动。数学中，研究一类现象，往往从简单而本质的情形入手。因此，可以进从简单而本质的情形入手。因此，可以进一步地把刻画单位圆上的匀速圆周运动作一步地把刻画单位圆上的匀速圆周运动作为研究为研究“周而复始周而复始”现象的起点。现象的起点。从哪里入手？从哪里入手？确定单位圆周上点的匀速运动的要素是什确定单位圆周上点的匀速运动的要素是什么？可用带有方向的角或带有方向的弧长么？可用带有方向的角或带有方向的弧长来刻画（这里可以类比来刻画（这里可以类比“相反意义的量相反意义的量”和和“负数的引入负数的引入”）。如果用同样的）。如果用同样的“单单位长度位长度”来度量角和弧长的话，两者就可来度量角和弧长的话，两者就可以统一。所以，把角作为原始变量，再用以统一。所以，把角作为原始变量，再用单位圆的弧长来度量角，就可为刻画匀速单位圆的弧长来度量角，就可为刻画匀速圆周运动提供必要的基础。这样，把角推圆周运动提供必要的基础。这样，把角推广到广到“任意角任意角”、引进、引进“弧度制弧度制”是需要是需要先做的事情。先做的事情。2 2如何获得如何获得“任意角任意角”概念概念角是角是“转转”出来的。出来的。类比：用正、负数表示具有相反意义的量，类比：用正、负数表示具有相反意义的量，以及确定一个以及确定一个“平面图形的旋转平面图形的旋转”的的“三三要素要素”，给定角的始边，只要确定了旋转，给定角的始边，只要确定了旋转的方向和旋转量，这个角就唯一确定了。的方向和旋转量，这个角就唯一确定了。为了表示旋转量超过一周的角，需要将角为了表示旋转量超过一周的角，需要将角的范围扩大；为了表示不同方向的角，需的范围扩大；为了表示不同方向的角，需要引进正角、零角、负角等概念；相关概要引进正角、零角、负角等概念；相关概念有角的顶点、始边、终边等。念有角的顶点、始边、终边等。具体教学时，可以采取如下过程：生活事具体教学时，可以采取如下过程：生活事例到数学抽象例到数学抽象类比（有理）数范围的类比（有理）数范围的扩充，概括共同特征扩充，概括共同特征定义定义关键词关键词辨析。辨析。这里需要强调这里需要强调“定义一个新概念的方法定义一个新概念的方法”，确定一个，确定一个“任意角任意角”的条件的条件旋转量旋转量和旋转方向。和旋转方向。任意角不仅是可以取任意大小的角，而且任意角不仅是可以取任意大小的角，而且还有方向，这很重要。还有方向，这很重要。3 3如何表示如何表示“任意角任意角”除用度数表示外，还可用除用度数表示外，还可用“形形”表示。类表示。类比数轴上的点表示实数，以比数轴上的点表示实数，以“没有正负的没有正负的0角角”为为“基准基准”，角的顶点与原点重合，角的顶点与原点重合，角的始边与角的始边与x轴的方向相同，在这个统一前轴的方向相同，在这个统一前提下，任意角就只与它的终边相关。由此提下，任意角就只与它的终边相关。由此可以让学生理解象限角定义的思想，而且可以让学生理解象限角定义的思想，而且其中渗透了标准化、简单化、对应等思想，其中渗透了标准化、简单化、对应等思想，在同一在同一“参照系参照系”下，可使角的讨论归结下，可使角的讨论归结为终边的问题，问题得到简化，并有效地为终边的问题，问题得到简化，并有效地表现出终边位置的表现出终边位置的“周而复始周而复始”4 4“象限角象限角”的性质的性质定义了一个数学对象，就要讨论它有哪些定义了一个数学对象，就要讨论它有哪些性质。性质有多种研究方向。性质。性质有多种研究方向。象限角：给定一个角，存在唯一的终边与象限角：给定一个角，存在唯一的终边与之对应；但一条终边可以对应无数个角。之对应；但一条终边可以对应无数个角。既然这些角的始边相同，终边重合，数学既然这些角的始边相同，终边重合，数学素养好的学生自然会想，它们之间一定有素养好的学生自然会想，它们之间一定有内在联系，一个自然的问题是：终边相同内在联系，一个自然的问题是：终边相同的角之间有什么关系呢？的角之间有什么关系呢？小结小结本堂课立足于充分发挥数学的内在力量，本堂课立足于充分发挥数学的内在力量，发展学生数学思维能力，培育学生的理性发展学生数学思维能力，培育学生的理性精神，使学生逐步学会认识问题、解决问精神，使学生逐步学会认识问题、解决问题的方法，针对题的方法，针对“三角函数的开篇三角函数的开篇”的内的内容特点，先构建研究容特点，先构建研究“周而复始周而复始”运动变运动变化规律的整体框架，然后再从中找到研究化规律的整体框架，然后再从中找到研究问题的切入点问题的切入点角的概念的推广；角的概念的推广；以以“研究一个数学对象的基本套路研究一个数学对象的基本套路”为指为指导，让学生经历导，让学生经历“背景背景定义定义表示表示性性质质”的过程研究的过程研究“任意角任意角”。数学教学还要掌握学生的数学教学还要掌握学生的“思维之道思维之道”，按学生的认知规律教学。例如，按学生的认知规律教学。例如，“数列数列”的学习应该按照这种的学习应该按照这种“认知的规律认知的规律”，为，为学生构建一个研究学生构建一个研究“一列数一列数”的的“基本套基本套路路”，使学生经历研究一个数学对象的基，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。力。等差数列的理解与教学等差数列的理解与教学数列的概念和表示数列的概念和表示注意从函数的研究注意从函数的研究中得到启发；中得到启发；等差数列：概念、表示（通项公式）、性等差数列：概念、表示（通项公式）、性质（等差中项），等差数列的质（等差中项），等差数列的“原型原型”就就是自然数列是自然数列n；等差数列的前等差数列的前n项和公式：从概念和性质中项和公式：从概念和性质中推出的自然结果；推出的自然结果；应用应用作为知识的联结点。作为知识的联结点。等差数列的概念和通项公式等差数列的概念和通项公式如何教概念？如何教概念？问题问题 观察下列数列，你有什么发现？观察下列数列，你有什么发现？（1 1）0 0，5 5，1010，1515，；（2 2）5.55.5，7.57.5，9.59.5，11.511.5，；（3 3）0 0，2.52.5，5.05.0，7.57.5，追问：是相邻两项的差吗？从第二项起追问：是相邻两项的差吗？从第二项起这个问题能引出等差数列的概念吗？这个问题能引出等差数列的概念吗？问题不恰当，源于：问题不恰当，源于：（1 1）对概念理解不到位）对概念理解不到位“等差等差”是由运是由运算引发的！等差数列是一类特殊的数列，算引发的！等差数列是一类特殊的数列，“考察特例考察特例”是一种是一种“基本套路基本套路”；（2 2）对教材不理解）对教材不理解教材是这样开头的：教材是这样开头的：初中学了实数及其运算、性质。现在我们初中学了实数及其运算、性质。现在我们面对一列数（数列），能不能也像研究实面对一列数（数列），能不能也像研究实数一样，研究它的项与项的关系、运算和数一样，研究它的项与项的关系、运算和性质呢？我们先从一些特殊的数列入手；性质呢？我们先从一些特殊的数列入手；（3 3）对学生不理解）对学生不理解这些数列的共同特征这些数列的共同特征不只是不只是“等差等差”，没有从关系、运算等作，没有从关系、运算等作必要引导，学生的观察没有方向。必要引导，学生的观察没有方向。如何教通项公式？如何教通项公式？什么叫什么叫“通项公式通项公式”？研究一个数学对象的研究一个数学对象的“基本套路基本套路”是：是：获得对象（下定义）获得对象（下定义）表示对象表示对象研究性研究性质质建立与相关知识的联系。建立与相关知识的联系。“通项公式通项公式”等差数列的一种表示，等差数列的一种表示，就像函数的解析式一样，要回答的是就像函数的解析式一样，要回答的是“第第n项项an与序号与序号n的关系的关系”。“求通项公式求通项公式”从定义出发。从定义出发。等差数列的性质等差数列的性质运算中出现的规律性运算中出现的规律性有了运算，数的有了运算，数的力量无限。力量无限。最简单的等差数列：三项最简单的等差数列：三项“等差中项等差中项”；如何看如何看“等差中项等差中项”？平均数！平均数！当当m+n=p+q时，时，am+an=ap+aq；前前n项和公式的教学设计项和公式的教学设计作为自然数列性质的自然延伸、一般化作为自然数列性质的自然延伸、一般化将将a1=1，d=1一般化。一般化。如何看如何看1+2+3+n=？有多种角度：有多种角度：“平均数平均数”，不同数求和化归为，不同数求和化归为相同数求和，等；相同数求和，等；“平均数平均数”本质上是等差数列的性质：本质上是等差数列的性质：am+an=ap+aq，当，当m+n=p+q时时这是这是“倒序求和倒序求和”技巧的源头。技巧的源头。教科书的设计思路教科书的设计思路总体思想：希望学生领悟到总体思想：希望学生领悟到“倒序求和倒序求和”技巧的技巧的来源。来源。问题问题1高斯是如何求出高斯是如何求出1+2+100的？的？问题问题2如果从数列的角度看，你认为他利用了数列如果从数列的角度看，你认为他利用了数列1，2，3，的什么特性？的什么特性？问题问题3你能用高斯的方法求你能用高斯的方法求1+2+101吗？吗？问题问题4如何用高斯的方法求如何用高斯的方法求1+2+n？问题问题5一般地，设公差为一般地，设公差为d的等差数列的等差数列an，你能，你能求出求出Sn=a1+a2+an吗？（什么叫求吗？（什么叫求Sn？）？）回到概念去，回到基本性质去回到概念去，回到基本性质去返璞归真，返璞归真，至精至简，以简驭繁，大巧若拙。至精至简，以简驭繁，大巧若拙。“倒序求和倒序求和”是雕虫小技！是雕虫小技！关于关于“递推数列递推数列”的教学的教学常见做法常见做法归纳题型，总结技巧：归纳题型，总结技巧：1利用利用a1=S1，an=SnSn-12an+1=k an+b型，分型，分k=1和和k1讨论，讨论，k1 时，时，设设an+1+m=k（an+m），），3an+1=kan+f(n)型，分型，分k=1、f(n)是否可求和，是否可求和，k1、f(n)=an+b，f(n)=qn(q 0，1)，等；，等；4an+1=f(n)an型；型；5.an+2=pan+1+qan(p、q为常数为常数)型；型；题型套题型，题型何其多，没有思想方法作为题型套题型，题型何其多，没有思想方法作为主线，杂乱无章。主线，杂乱无章。an+1=p an+q型通项公式的教学设计型通项公式的教学设计核心思想：通过代数变形，将其他数列化归为核心思想：通过代数变形，将其他数列化归为等差、等比数列。等差、等比数列。求求an+1=p an+q型数列通项公式问题，一般地，型数列通项公式问题，一般地，抽象问题具体化、一般问题特殊化是研究问题抽象问题具体化、一般问题特殊化是研究问题的基本策略。的基本策略。问题问题1 已知已知a1=1，an+1=2an+1（n1），求通），求通项公式。项公式。问题问题2 已知已知a1=1，an+1=2an+3（n1），求通），求通项公式。项公式。问题问题3 已知已知a1=1，an+1=2an+t（n1），求通项），求通项公式。公式。问题问题4已知已知a1=1，an+1=3an+1（n1），求），求通项公式。通项公式。问题问题1、2可以可以“凑凑”，但问题，但问题4不能，怎么不能，怎么办？注意观察前两个问题的解决过程，转办？注意观察前两个问题的解决过程，转化得到的结构有什么共性？对解决问题化得到的结构有什么共性？对解决问题4有有什么启发？什么启发？结论：都转化为结论：都转化为an+1+t=2(an+t)的形式。的形式。问题问题4 一般地，对于一般地，对于a1=a，an+1=pan+1+q，如何求通项公式？如何求通项公式？因为推广到了因为推广到了“同同类事物类事物”，所以要注意，所以要注意“完备性完备性”，细节、，细节、特例的追究。特例的追究。加强认识和解决问题方法的教学加强认识和解决问题方法的教学如何获得研究对象；如何获得研究对象；构建研究数学对象的基本线索；构建研究数学对象的基本线索；发现和提出值得研究的具体问题；发现和提出值得研究的具体问题；掌握研究问题的基本掌握研究问题的基本方法方法。五、优术五、优术“术术”的基本解释是方法、技艺，如技术、的基本解释是方法、技艺，如技术、艺术、学术、战术、心术等，是知识、经艺术、学术、战术、心术等，是知识、经验、技术、方法、手段等的集合体，也是验、技术、方法、手段等的集合体，也是解决问题的流程和策略。解决问题的流程和策略。“术术”是是“明道明道”后转化而来的具体操作方法，是可以提后转化而来的具体操作方法，是可以提高办事效果和效率的技巧。高办事效果和效率的技巧。“优术优术”即提即提升方法、技艺的水平，积累实用的策略，升方法、技艺的水平，积累实用的策略，总结经验并从中发现规律（经验之中有规总结经验并从中发现规律（经验之中有规律）等等。律）等等。例：例：“基本不等式基本不等式”的的教学思考教学思考。让学生解让学生解“好题好题”好题的标准：反映数学本质，与重要的数好题的标准：反映数学本质，与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，解题方法自然、多样，具有发展性，性，解题方法自然、多样，具有发展性，表述形式简洁、流畅且好懂，等等。表述形式简洁、流畅且好懂，等等。做题目，为什么？做题目，为什么？现状：现状：解题教学占据大部分时间。认为解题教学占据大部分时间。认为“会解题会解题”最重要，解题速度快就是灵活，最重要，解题速度快就是灵活，会解难题就是数学水平高。因此，数学教会解难题就是数学水平高。因此，数学教学中，为追求速度而搞大运动量刺激学中，为追求速度而搞大运动量刺激-反应反应训练，为解难题而挖空心思地玩技巧等现训练，为解难题而挖空心思地玩技巧等现象司空见惯，至于解题目的，太多老师疏象司空见惯，至于解题目的，太多老师疏于思考。解一辈子题不知道于思考。解一辈子题不知道“为什么为什么”，乃至教一辈子数学不知道教什么的老师大乃至教一辈子数学不知道教什么的老师大有人在。有人在。解题解题的的目的目的加深理解加深理解概念，牢固概念，牢固掌握双基；掌握双基；加强概念的联系性，从联系中获得灵活运加强概念的联系性，从联系中获得灵活运用知识的灵感；用知识的灵感；学会思考，培养和发展能力；学会思考，培养和发展能力；查漏补缺；查漏补缺；培养学习培养学习（解题）（解题）习惯。习惯。解题教学的要诀解题教学的要诀习题要精选习题要精选，题量要适度题量要适度；题目要有典型性和多样性，要有一定数量题目要有典型性和多样性，要有一定数量的基本题的基本题；由单一到综合，循序渐进，由浅入深由单一到综合，循序渐进，由浅入深；培养培养“回到概念去回到概念去”、“从联系中寻找新从联系中寻找新思路思路”的习惯；的习惯；一定要有解题后的反思环节一定要有解题后的反思环节一类题目的一类题目的解法。解法。课例：点到直线的距离课例：点到直线的距离公式公式六、取势明道优术的辩证关系六、取势明道优术的辩证关系取势务虚，明道求实，虚实结合，方可行取势务虚，明道求实，虚实结合，方可行事；道为术之魂，术为道之体，以道统术、事；道为术之魂，术为道之体，以道统术、以术得道才能相得益彰，道不明，术再优以术得道才能相得益彰，道不明，术再优也难免功亏一篑。取势，远见也；明道，也难免功亏一篑。取势，远见也；明道，真知也；优术，实效也。取势明道优术并真知也；优术，实效也。取势明道优术并重，则数学育人可如愿成功。重，则数学育人可如愿成功。结束语 数学育人数学育人使学生在数学学习中使学生在数学学习中树立自信，坚定正念，树立自信，坚定正念，增强定力，激励精进，增强定力，激励精进，启迪智慧，净化心灵。启迪智慧，净化心灵。感谢倾听感谢倾听敬请提出宝贵意见敬请提出宝贵意见