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第七章 窄带随机过程 若随机过程的功率谱是限带的,而且满足：称为窄带过程。1.单边谱信号:只含正频率域部分的信号单边谱信号。单边谱信号的傅里叶变换为：单边谱信号在时域是复信号则预备知识实信号S()是信号s(t)的频谱，当时，有单边频谱被称为实信号 的解析信号，或 的预包络。7.1 窄带随机过程的一般概念窄带过程的数学模型:窄带过程数学模型的另一表述形式:其中:(7.1.1)(7.1.2)7.2 希尔伯特变换7.2.1 希尔伯特变换和解析信号的定义：希尔伯特变换和解析信号的定义：1.希尔伯特变换：对实信号x(t)，它的希尔伯特变换记为：或(7.2.1)(7.2.2)经积分变量替换后有：(7.2.3)(7.2.4)n x(t)的希尔伯特变换为x(t)与1/t的卷积。因此，可以把希尔伯特变换看作是信号通过一个冲激响应为1/t的线性时不变系统的输出。n1/t的傅氏变换即传输函数：为符号函数(7.2.5)相应这个系统的传输函数H()，其幅频特性和相频特性如图。n结 论：n希尔伯特变换器本质上是一个的理想的900移相器。2.解析信号解析信号 由实信号x(t)作实部，x(t)的希尔伯特变换 作虚部，构成的复信号j(t)称为x(t)的解析信号。由于 是x(t)与 的卷积。则：则解析信号j(t)的频谱 为：(7.2.6)(7.2.7)由此，解析信号j(t)的实部包含了实信号x(t)的全部信息，虚部则与实部有着确定的关系。解析信号仅有单边谱，即仅在正频域有值，且为实信号x(t)频谱正频率分量的两倍。(7.2.8)7.2.2 7.2.2 希尔伯特变换的性质希尔伯特变换的性质性质1:的希尔伯特变换为-x(t);性质2:若 ,则y(t)的希尔伯特变换:性质3:与x(t)的能量及平均功率相等,即:(7.2.9)(7.2.10)(7.2.11)性质4:平稳随机过程X(t)的希尔伯特变换 的统计自相关函数 和时间自相关函数 分别等于X(t)自相关函数 和时间自相关函数 ,即:(7.2.13)(7.2.12)性质5:平稳随机过程X(t)与其希尔伯特变换 的统计互相关函数 和时间互相关函数 ,分别等于X(t)统计自相关函数的希尔伯特变换和时间自相关函数的希尔伯特变换,即:(7.2.14)(7.2.15)性质6 设具有有限带宽 的信号a(t)的付氏变换为 ,假定 ,则有:(7.2.17)(7.2.16)7.3 窄带随机过程的性质7.3.1 窄带随机过程的性质：窄带随机过程：令Z(t)是任意的窄带、宽平稳、实平稳随机过程，具有零均值且功率谱密度满足：性 质：性质1 X(t)和Y(t)各自单独宽平稳且联合宽平稳;性质2 性质3 性质4 性质5 性质6 性质7 (7.3.1)(7.3.2)(7.3.3)(7.3.4)(7.3.5)(7.3.6)(7.3.7)性质8 性质9 性质10 性质11 性质12 (7.3.8)(7.3.9)(7.3.10)(7.3.11)(7.3.12)7.3.2 窄带随机过程性质的证明窄带随机过程性质的证明n见教材p146_p1487.4 窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布7.4.1 窄带高斯随机过程包络和相位的一维概率分布：窄带高斯随机过程包络和相位的一维概率分布：设Z(t)为零均值、平稳、窄带高斯过程，其方差为X(t)和Y(t)均为高斯过程，且具有零均值并与原过程Z(t)有相同的方差。联合概率密度:通过二维随机变量的函数变换可以求得 和 的联合概率密度函数。(7.4.1)(7.4.2a)(7.4.2b)包络B(t)和相位(t)的一维概率密度函数为：(7.4.3)(7.4.4)(7.4.5)结论：1、窄带高斯过程包络的一维概率分布为瑞利分布；2、窄带高斯过程相位的一维概率分布为均匀分布；3、窄带高斯过程的包络和相位在同一时刻的状态（或取样），是两个统计独立的随机变量。但这两个高斯过程并不互相统计独立。(7.4.6)7.4.2 窄带高斯过程包络平方的概率分布包络的平方：由式 求出 ，得到包络平方的概率密度为：(7.4.7)(7.4.8)7.5 余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布设随相余弦信号：式中，是（0，2）上均匀分布的随机变量。加性噪声为零均值，方差为2的平稳窄带高斯过程，可表示为：7.5.1 余弦信号与窄带高斯过程之和的包络和相位的概率分布合成信号的包络为:令:(7.5.1)(7.5.2)由于XN(t)、YN(t)都是零均值高斯分布，且相互独立，因而对于给定的值，X(t)和Y(t)也必然是高斯分布的，而且相互独立，同时有：(7.5.3)随机变量Xt和Yt的联合概率密度:随机变量Bt和t的联合概率密度:(7.5.4)(7.5.5)称为莱斯密度函数或广义瑞利函数。(7.5.6)(7.5.7)1、当x1时，该分布趋于瑞利分布；2、当x1时，该分布趋于高斯分布；(7.5.8)（式中 ）7.5.2 余弦信号与窄带高斯过程包络平方的概率分布(7.5.10)(7.5.9)
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