正交表构造方法教材课件

正交表的构造正交表的构造7/1/2024正交实验设计正交实验设计：讲：讲当析因设计要求的实验次数太多时，一个当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。因此就出现了分式析因设计因此就出现了分式析因设计(fractionalfactorialdesigns)，但是对于试验设计知识较但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。设计还是比较困难的。7/1/2024正交试验设计正交试验设计(Orthogonalexperimentaldesign)是研究是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了表性的点具备了“均匀分散，齐整可比均匀分散，齐整可比”的特点，正交的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口快速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按若按L9(3)3正交表按排实验，只需作正交表按排实验，只需作9次，按次，按L18(3)7正交正交表进行表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。7/1/2024二、正交表1、正交表的符号：正交表是运用组合数学理论在正交拉丁名的基础上构造的一种规格化的表格。符号：Ln(ji)其中：L正交表的符号n正交表的行数(试验次数，试验方案数)j正交表中的数码(因素的位级数)i正交表的列数(试验因素的个数)N=ji全部试验次数(完全因素位级组合数)7/1/20242、正交表的结构L8(27)L9(34)L8(4124)L18(237)3、正交表的正交性(1)整齐可比性：每个字码出现的机会是完全相等的。(2)均衡分散性：任意两列间横向组合的数字对搭配是均衡的。7/1/20241正交表讲正交表讲正交表是一整套规则的设计表格，用正交表是一整套规则的设计表格，用L为正交表的代为正交表的代号，号，n为试验的次数，为试验的次数，t为水平数，为水平数，c为列数，也就是可能为列数，也就是可能安排最多的因素个数。例如安排最多的因素个数。例如L9(34)，(表表11)，它表示需，它表示需作作9次实验，最多可观察次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为个因素，每个因素均为3水平。水平。一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如混合型正交表，如L8(424)(表表12)，此表的，此表的5列中，有列中，有1列为列为4水平，水平，4列为列为2水平。根据正交表的数据结构看出，水平。根据正交表的数据结构看出，正交表是一个正交表是一个n行行c列的表，其中第列的表，其中第j列由数码列由数码1，2，Sj 组成，这些数码均各出现组成，这些数码均各出现N/S次，例如表次，例如表11中，第二列的中，第二列的数码个数为数码个数为3，S=3，即由即由1、2、3组成，各数码均出现组成，各数码均出现次。次。7/1/2024正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。我们只介绍它的记号、特点和使用方法。我们只介绍它的记号、特点和使用方法。正交表的记号及含义讲正交表的记号及含义讲记号及含义记号及含义 正交表的列数正交表的列数（最多能安排的因素个数，（最多能安排的因素个数，包括交互作用、误差等）包括交互作用、误差等）正交表的行数正交表的行数（需要做的试验次数）（需要做的试验次数）各因素的水平数各因素的水平数（各因素的水平数相等）各因素的水平数相等）q正交表正交表的代号的代号7/1/2024如如 表示表示 表示各因素的表示各因素的水平数水平数为为2，做做8次试验次试验，最多考虑，最多考虑7个个因素因素（含交互作用）的（含交互作用）的正正交表交表。讲。讲7/1/2024正交表的特点正交表的特点1、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀 分布的（每个因素的各水平出现的次数相同）分布的（每个因素的各水平出现的次数相同）均衡分散性均衡分散性2、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数 对时，所有可能的数对出现的次数相同。对时，所有可能的数对出现的次数相同。表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现 的次数相等的次数相等 整齐可比性整齐可比性这是设计正交试验表的基本准则这是设计正交试验表的基本准则 7/1/2024例：例：例例11为提高某化工产品的转化率，选择了三个为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关的因素进行条件试验，反应温度（有关的因素进行条件试验，反应温度（A），），反应反应时间（时间（B），），用碱量（用碱量（C），），并确定了它们的试验并确定了它们的试验范围：范围：A：80-90B：90-150MinC：5-7%试验目的是搞清楚因素试验目的是搞清楚因素A、B、C对转化率的影响，对转化率的影响，哪些是主要因素，哪些是次要因素，从而确定最优哪些是主要因素，哪些是次要因素，从而确定最优生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率提高。试制定试验方案。转化率提高。试制定试验方案。7/1/2024这里，对因素这里，对因素A、B、C在试验范围内分别选取在试验范围内分别选取三个水平三个水平A：A180、A285、A390B：B190Min、B2120Min、B3150MinC：C15%、C26%、C37%正交试验设计中，因素可以定量的，也可以定正交试验设计中，因素可以定量的，也可以定性的。而定量因素各水平间的距离可以相等也性的。而定量因素各水平间的距离可以相等也可以不等。可以不等。7/1/2024取三因素三水平，通常有两种试验方法：取三因素三水平，通常有两种试验方法：（1）全面实验法：）全面实验法：A1B1C1A2B1C1A3B1C1A1B1C2A2B1C2A3B1C2A1B1C3A2B1C3A3B1C3A1B2C1A2B2C1A3B2C1A1B2C2A2B2C2A3B2C2A1B2C3A2B2C3A3B2C3A1B3C1A2B3C1A3B3C1A1B3C2A2B3C2A3B3C2A1B3C3A2B3C3A3B3C3共有共有3=27次试验，如图所示，立方体包含次试验，如图所示，立方体包含了了27个节点，分别表示个节点，分别表示27次试验。次试验。7/1/2024A1A2A3B3B2B1C1C2C37/1/2024全面试验法的优缺点：全面试验法的优缺点：优点：对各因素于试验指标之间的关系剖析得比较优点：对各因素于试验指标之间的关系剖析得比较清楚清楚缺点：缺点：(1)试验次数太多，费时、费事，当因素水平试验次数太多，费时、费事，当因素水平比较多时，试验无法完成。比较多时，试验无法完成。(2)不做重复试验无法估计误差。不做重复试验无法估计误差。(3)无法区分因素的主次。无法区分因素的主次。例如选六个因素，每个因素选五个水平时，全面试例如选六个因素，每个因素选五个水平时，全面试验的数目是验的数目是5615625次。次。又如绪言里所提到的又如绪言里所提到的，1978年，七机部由于导弹设年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于素的水平数要多于10，此时靠全面试验法是无法完，此时靠全面试验法是无法完成的。成的。7/1/2024（2）简单比较法简单比较法变化一个因素而固定其它因素，如首先固定变化一个因素而固定其它因素，如首先固定B、C于于B1、C1，使，使A变化之，则：变化之，则：如果得出结果如果得出结果A3最好，则固定最好，则固定A于于A3，C还是还是C1，使，使B变化，则：变化，则：得出结果得出结果B2最好，则固定最好，则固定B于于B2，A于于A3，使，使C变化，变化，则：则：试验结果以试验结果以C3最好。于是得出最佳工艺条件为最好。于是得出最佳工艺条件为A3B2C2。A1B1C1A2A3(好结果好结果)B1A3C1B2(好结果好结果)B3C1A3B2C2(好结果好结果)C37/1/2024A1A2A3B3B2B1C1C2C3简单比较法的试验点7/1/2024简单比较法的优缺点：简单比较法的优缺点：优点：试验次数少优点：试验次数少缺点：缺点：（1）试验点不具代表性。考察的因素水平）试验点不具代表性。考察的因素水平仅局限于局部区域，不能全面地反映因素的全面仅局限于局部区域，不能全面地反映因素的全面情况。情况。（2）无法分清因素的主次。）无法分清因素的主次。（3）如果不进行重复试验，试验误差就估）如果不进行重复试验，试验误差就估计不出来，因此无法确定最佳分析条件的精度。计不出来，因此无法确定最佳分析条件的精度。（4）无法利用数理统计方法对试验结果进）无法利用数理统计方法对试验结果进行分析，提出展望好条件。行分析，提出展望好条件。7/1/2024正交试验的提出：正交试验的提出：考虑兼顾全面试验法和简单比较法的优点，利考虑兼顾全面试验法和简单比较法的优点，利用根据数学原理制作好的规格化表正交表用根据数学原理制作好的规格化表正交表来设计试验不失为一种上策。来设计试验不失为一种上策。用正交表来安排试验及分析试验结果，这种方用正交表来安排试验及分析试验结果，这种方法叫做正交试验法。法叫做正交试验法。事实上，正交最优化方法的优点不仅表现在试事实上，正交最优化方法的优点不仅表现在试验的设计上，更表现在对试验结果的处理上。验的设计上，更表现在对试验结果的处理上。7/1/2024正交试验法优点：正交试验法优点：（1）试验点代表性强，试验次数少。）试验点代表性强，试验次数少。（2）不需做重复试验，就可以估计试验误差。）不需做重复试验，就可以估计试验误差。（3）可以分清因素的主次。）可以分清因素的主次。（4）可以使用数理统计的方法处理试验结果，）可以使用数理统计的方法处理试验结果，提出展望好条件。提出展望好条件。正交试验（表）法的特点：正交试验（表）法的特点：（1）均衡分散性代表性。）均衡分散性代表性。（2）整齐可比性可以用数理统计方法对）整齐可比性可以用数理统计方法对试验结果进行处理。试验结果进行处理。7/1/2024用正交表安排试验时，对于例用正交表安排试验时，对于例11：A1A2A3B3B2B1C1C2C3123654789用正交试验法安排试验只需要用正交试验法安排试验只需要9次试验次试验7/1/2024正交试验设计的基本步骤正交试验设计的基本步骤1.确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平；确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平；2.选用合适的正交表；选用合适的正交表；3.按选定的正交表设计表头，确定试验方案；按选定的正交表设计表头，确定试验方案；4.组织实施试验；组织实施试验；5.试验结果分析。试验结果分析。7/1/20247/1/20247/1/2024正交表具有以下两项性质：正交表具有以下两项性质：(1)每一列中，不同的数字出现的次数相等。例如在两每一列中，不同的数字出现的次数相等。例如在两水平正交表中，任何一列都有数码水平正交表中，任何一列都有数码“1”与与“2”，且任，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列，且在任一列的出现数均相等。的出现数均相等。(2)任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。例如在任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。例如在两水平正交表中，任何两列两水平正交表中，任何两列(同一横行内同一横行内)有序对子共有有序对子共有4种：种：(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。每种对数出现。每种对数出现次数相等。在三水平情况下，任何两列次数相等。在三水平情况下，任何两列(同一横行内同一横行内)有有序对共有序对共有9种，种，1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每对出现数也均相等，且每对出现数也均相等7/1/2024以上两点充分的体现了正交表的两大优越性，即以上两点充分的体现了正交表的两大优越性，即“均均匀分散性，整齐可比匀分散性，整齐可比”。通俗的说，每个因素的每个。通俗的说，每个因素的每个水平与另一个因素各水平各碰一次，这就是正交性。水平与另一个因素各水平各碰一次，这就是正交性。2.交互作用表交互作用表每一张正交表后都附有相应的交互作每一张正交表后都附有相应的交互作用表，它是专门用来安排交互作用试验。表用表，它是专门用来安排交互作用试验。表14就是就是L8(27)表的交互作用表。表的交互作用表。7/1/20247/1/2024安排交互作用的试验时，是将两个因素的交互作用当安排交互作用的试验时，是将两个因素的交互作用当作一个新的因素，占用一列，为交互作用列，从表作一个新的因素，占用一列，为交互作用列，从表14中可查出中可查出L8(27)正交表中的任何两列的交互作用列。正交表中的任何两列的交互作用列。表中带表中带()的为主因素的列号，它与另一主因素的交的为主因素的列号，它与另一主因素的交互列为第一个列号从左向右，第二个列号顺次由下向互列为第一个列号从左向右，第二个列号顺次由下向上，二者相交的号为二者的交互作用列。例如将上，二者相交的号为二者的交互作用列。例如将A因因素排为第素排为第(1)列，列，B因素排为第因素排为第(2)列，两数字相交为列，两数字相交为3，则第，则第3列为列为AB交互作用列。又如可以看到第交互作用列。又如可以看到第4列列与第与第6列的交互列是第列的交互列是第2列，等等。列，等等。7/1/20243正交实验的表头设计正交实验的表头设计表头设计是正交设计的关键，表头设计是正交设计的关键，它承担着将各因素及交互作用合理安排到正交表的各列它承担着将各因素及交互作用合理安排到正交表的各列中的重要任务，因此一个表头设计就是一个设计方案。中的重要任务，因此一个表头设计就是一个设计方案。表头设计的主要步骤如下：表头设计的主要步骤如下：(1)确定列数确定列数根据试验目的，选择处理因素与不可忽根据试验目的，选择处理因素与不可忽略的交互作用，明确其共有多少个数，如果对研究中的略的交互作用，明确其共有多少个数，如果对研究中的某些问题尚不太了解，列可多一些，但一般不宜过多。某些问题尚不太了解，列可多一些，但一般不宜过多。当每个试验号无重复，只有当每个试验号无重复，只有1个试验数据时，可设个试验数据时，可设2个或个或多个空白列，作为计算误差项之用。多个空白列，作为计算误差项之用。(2)确定各因素的水平数确定各因素的水平数根据研究目的，一般二水平根据研究目的，一般二水平(有、无有、无)可作因素筛选用；也可适用于试验次数少、分可作因素筛选用；也可适用于试验次数少、分批进行的研究。三水平可观察变化趋势，选择最佳搭配；批进行的研究。三水平可观察变化趋势，选择最佳搭配；多水平能以一次满足试验要求。多水平能以一次满足试验要求。7/1/2024(3)选定正交表选定正交表根据确定的列数根据确定的列数(c)与水平数与水平数(t)选选择相应的正交表。例如观察择相应的正交表。例如观察5个因素个因素8个一级交互作个一级交互作用，留两个空白列，且每个因素取用，留两个空白列，且每个因素取2水平，则适宜水平，则适宜选选L16(215)表。由于同水平的正交表有多个，如表。由于同水平的正交表有多个，如L8(27)、L12(211)、L16(215)，一般只要表中列数比考一般只要表中列数比考虑需要观察的个数稍多一点即可，这样省工省时。虑需要观察的个数稍多一点即可，这样省工省时。7/1/2024(4)表头安排表头安排应优先考虑交互作用不可忽略的处理因素，应优先考虑交互作用不可忽略的处理因素，按照不可混杂的原则，将它们及交互作用首先在表头排按照不可混杂的原则，将它们及交互作用首先在表头排妥，而后再将剩余各因素任意安排在各列上。例如某项妥，而后再将剩余各因素任意安排在各列上。例如某项目考察目考察4个因素个因素A、B、C、D及及AB交互作用，各因素交互作用，各因素均为均为2水平，现选取水平，现选取L8(27)表，由于表，由于AB两因素需要观察两因素需要观察其交互作用，故将二者优先安排在第其交互作用，故将二者优先安排在第1、2列，根据交互列，根据交互作用表查得作用表查得AB应排在第应排在第3列，于是列，于是C排在第排在第4列，由于列，由于AC交互在第交互在第5列，列，BC交互作用在第交互作用在第6列，虽然未考查列，虽然未考查AC与与BC，为避免混杂之嫌，为避免混杂之嫌，D就排在第就排在第7列。列。7/1/2024(5)组织实施方案组织实施方案根据选定正交表中各因素占有列的水平根据选定正交表中各因素占有列的水平数列，构成实施方案表，按实验号依次进行，共作数列，构成实施方案表，按实验号依次进行，共作n次实验，次实验，每次实验按表中横行的各水平组合进行。例如每次实验按表中横行的各水平组合进行。例如L9(34)表，若表，若安排四个因素，第一次实验安排四个因素，第一次实验A、B、C、D四因素均取四因素均取1水平，水平，第二次实验第二次实验A因素因素1水平，水平，B、C、D取取2水平，水平，第九次实第九次实验验A、B因素取因素取3水平，水平，C因素取因素取2水平，水平，D因素取因素取1水平。实验水平。实验结果数据记录在该行的末尾。因此整个设计过程我们可用一结果数据记录在该行的末尾。因此整个设计过程我们可用一句话归纳为：句话归纳为：“因素顺序上列、水平对号入座，实验横着作因素顺序上列、水平对号入座，实验横着作”。7/1/20244二水平有交互作用的正交实验设计与方差分二水平有交互作用的正交实验设计与方差分析析例例8某研究室研究影响某试剂回收率的三个某研究室研究影响某试剂回收率的三个因素，包括温度、反应时间、原料配比，每个因素，包括温度、反应时间、原料配比，每个因素都为二水平，各因素及其水平见表因素都为二水平，各因素及其水平见表16。选。选用用L8(27)正交表进行实验，实验结果见表正交表进行实验，实验结果见表17。7/1/20247/1/2024首先计算首先计算Ij 与与IIj，Ij为第为第j列第列第1水平各试验结果取值之和，水平各试验结果取值之和，IIj为第为第j列第列第2水平各试验结果取值之和。然后进行方差分水平各试验结果取值之和。然后进行方差分析。过程为：析。过程为：求：总离差平方和求：总离差平方和各列离差平方和各列离差平方和SSj=本例各列离均差平方和见表本例各列离均差平方和见表10最底部一行。即各空列最底部一行。即各空列SSj之和。即误差平方和之和。即误差平方和自由度自由度v为各列水平数减为各列水平数减1，交互作用项的自由度为相交，交互作用项的自由度为相交因素自由度的乘积。因素自由度的乘积。分析结果见表分析结果见表18。7/1/20247/1/2024从表从表18看出，在看出，在0.05水准上，只有水准上，只有C因素与因素与AB交交互作用有统计学意义，其余各因素均无统计学意义，互作用有统计学意义，其余各因素均无统计学意义，A因素影响最小，考虑到交互作用因素影响最小，考虑到交互作用AB的影响较大，且它的影响较大，且它们的二水平为优。在们的二水平为优。在C2的情况下，的情况下，有有B1A2和和B1，A1两种两种组合状况下的回收率最高。考虑到组合状况下的回收率最高。考虑到B因素影响较因素影响较A因素影因素影响大些，而响大些，而B中选中选B1为好，故选为好，故选A2B1。这样最后决定最这样最后决定最佳配方为佳配方为A2B1C2，即即80，反应时间，反应时间2.5h，原料配比为原料配比为1.2:1。如果使用计算机进行统计分析，在数据是只需要输入如果使用计算机进行统计分析，在数据是只需要输入试验因素和实验结果的内容，交互作用界的内容不用输试验因素和实验结果的内容，交互作用界的内容不用输入，然后按照表头定义要分析的模型进行方差分析。入，然后按照表头定义要分析的模型进行方差分析。7/1/2024