概率论数学期望课件

正如故乡是用来怀念的，青春就是用正如故乡是用来怀念的，青春就是用来追忆的，当你怀揣着它时，它一文不值，来追忆的，当你怀揣着它时，它一文不值，只有将它耗尽后，再回过头看，一切才有只有将它耗尽后，再回过头看，一切才有了意义了意义爱过我们的人和伤害过我们的爱过我们的人和伤害过我们的人，都是我们青春存在的意义。人，都是我们青春存在的意义。致青春致青春契比雪夫不等式契比雪夫不等式证明证明取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明.切比雪夫不等式切比雪夫不等式得得n n切比雪夫不等式的两种等价形式切比雪夫不等式的两种等价形式 切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。可对的概率分布进行估计。从切比雪夫不等式还可以看出从切比雪夫不等式还可以看出,对于给定的对于给定的 0,当方当方差越小时，事件差越小时，事件|X-E(X)|发生的概率也越小，即发生的概率也越小，即X的取值越集中在的取值越集中在E(X)附近这进一步说明方差确实是一附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量 当当D(X)已知时，切贝雪夫不等式给出了已知时，切贝雪夫不等式给出了X与与E(X)的偏的偏差小于差小于 的概率的估计值的概率的估计值 切比雪夫不等式的切比雪夫不等式的用途：用途：（1）证明大数定律；（）证明大数定律；（2）估计事件的概率。）估计事件的概率。若某班某次考试的平均分为若某班某次考试的平均分为80分，标准差分，标准差为为1010，试估计及格率至少为多少？，试估计及格率至少为多少？用随机变量用随机变量X表示学生成绩，则数学期望表示学生成绩，则数学期望E(X)=80，方差，方差D(X)=100，所以，所以P60 X 100=P|X 80|20所以及格率至少为所以及格率至少为75%已知已知n重伯努利试验中参数重伯努利试验中参数p=0.75，问至，问至少应做多少次试验，才能使试验成功的频率在少应做多少次试验，才能使试验成功的频率在0.74和和0.76之间的概率不低于之间的概率不低于0.90？设需做设需做n次试验，其中成功的次数为次试验，其中成功的次数为X，则则XB(n，p)，E(X)=np，D(X)=np(1 p)。因为因为根据契比谢夫不等式应有根据契比谢夫不等式应有解得解得 定义：定义：若存在常数若存在常数a,a,使对于任何使对于任何依概率收敛依概率收敛则称随机变量序列则称随机变量序列Xn依概率收敛于依概率收敛于a有有记：记：如如意思是意思是:当当a意思是意思是:时时,Xn落在落在内的概率越来越大内的概率越来越大.,当当而而皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊蒲蒲蒲蒲 丰丰丰丰 德德德德 摩根摩根摩根摩根实验者实验者实验者实验者罗曼诺夫斯基罗曼诺夫斯基罗曼诺夫斯基罗曼诺夫斯基发生的频率为发生的频率为发生的频率为发生的频率为则则则则正面朝上正面朝上正面朝上正面朝上“抛硬币抛硬币抛硬币抛硬币”试验试验试验试验 将一枚硬币连续抛将一枚硬币连续抛将一枚硬币连续抛将一枚硬币连续抛 次次次次,记记记记是随机变量列是随机变量列是随机变量列是随机变量列次试验中次试验中次试验中次试验中正面朝上正面朝上正面朝上正面朝上反面朝上反面朝上反面朝上反面朝上发生的次数发生的次数发生的次数发生的次数 例例2 2 测量一个长度测量一个长度a a的物体的物体,一次测量的结果一次测量的结果不见得就等于不见得就等于a,a,量了若干次量了若干次,其算术平均值仍其算术平均值仍不见得等于不见得等于a,a,但当测量的次数很多时但当测量的次数很多时,算术平算术平均值接近于均值接近于a a几乎是必然的几乎是必然的.例例1 1 掷一颗均匀的正六面体的骰子掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现出现1 1点的概率点的概率是是1/6,1/6,在掷的次数比较少时在掷的次数比较少时,出现出现1 1点的频率可能与点的频率可能与1/61/6相差得很大相差得很大.但是在掷的次数很多时但是在掷的次数很多时,出现出现1 1点的频点的频率接近率接近1/61/6几乎是必然的几乎是必然的.这两个例子说明这两个例子说明:在大量随机现象中在大量随机现象中,不仅看到了不仅看到了随机事件随机事件的频率具有稳定性的频率具有稳定性,而且还看到而且还看到大量测量值的大量测量值的平均结果也具有稳定性。平均结果也具有稳定性。大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并并论证了它成立的条件论证了它成立的条件,即从理论上阐述了这种大量的、即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳定性定性.（伯努利大数定律伯努利大数定律伯努利大数定律伯努利大数定律）设设设设 是是是是 次独立重复试次独立重复试次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件验中事件验中事件 发生的次数发生的次数发生的次数发生的次数,且且且且则则则则 有有有有令令令令第第第第 次试验次试验次试验次试验 发生发生发生发生第第第第 次试验次试验次试验次试验 不发生不发生不发生不发生则则则则相互独立相互独立相互独立相互独立从而从而从而从而如何证明如何证明如何证明如何证明机变量机变量机变量机变量列列列列,且具有相同的数学期望和方差且具有相同的数学期望和方差且具有相同的数学期望和方差且具有相同的数学期望和方差,记记记记（切比雪夫大数定切比雪夫大数定切比雪夫大数定切比雪夫大数定律律律律）设设设设 为相互独立的随为相互独立的随为相互独立的随为相互独立的随则则则则 有有有有 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 的方差的方差的方差的方差 存在存在存在存在,则则则则 有有有有 概率论历史上的第一个大概率论历史上的第一个大概率论历史上的第一个大概率论历史上的第一个大数定律，由雅可比数定律，由雅可比数定律，由雅可比数定律，由雅可比 伯努利伯努利伯努利伯努利于于于于17131713年发表的著作年发表的著作年发表的著作年发表的著作猜测术猜测术猜测术猜测术中中中中提出提出提出提出.伯努利大数定律伯努利大数定律伯努利大数定律伯努利大数定律、切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律均要求随机均要求随机均要求随机均要求随机列变量列的方差存在列变量列的方差存在列变量列的方差存在列变量列的方差存在,该条件可用该条件可用该条件可用该条件可用 “同分布同分布同分布同分布”来代替来代替来代替来代替 或或或或（辛钦大数定律辛钦大数定律辛钦大数定律辛钦大数定律）设设设设 是独立同分布是独立同分布是独立同分布是独立同分布r.vr.vr.vr.v列列列列,存在，则存在，则存在，则存在，则 服从大数定律服从大数定律服从大数定律服从大数定律,即即即即有有有有该定理通常称为该定理通常称为该定理通常称为该定理通常称为独立同分布大数定律独立同分布大数定律独立同分布大数定律独立同分布大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法提供了通过试验来确定事件概率的方法提供了通过试验来确定事件概率的方法提供了通过试验来确定事件概率的方法.是数理统计中参数估计的重要理论依据之一是数理统计中参数估计的重要理论依据之一是数理统计中参数估计的重要理论依据之一是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.给出了给出了给出了给出了“频率稳定性频率稳定性频率稳定性频率稳定性”的严格数学解释的严格数学解释的严格数学解释的严格数学解释.在现实中为什么很多数量指标都服从或近在现实中为什么很多数量指标都服从或近在现实中为什么很多数量指标都服从或近在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布似服从正态分布似服从正态分布似服从正态分布 研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综合影响而成综合影响而成综合影响而成综合影响而成,即即即即近似近似近似近似当当当当 时时时时,在什么情况下在什么情况下在什么情况下在什么情况下的极限分布是的极限分布是的极限分布是的极限分布是的极限分布是的极限分布是的极限分布是的极限分布是中心极限定理同分布的同分布的同分布的同分布的 r.v r.v 列，其数学期望和方差分别为列，其数学期望和方差分别为列，其数学期望和方差分别为列，其数学期望和方差分别为则则则则 服从中心极限定理服从中心极限定理服从中心极限定理服从中心极限定理的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数 对任意对任意对任意对任意 满足满足满足满足设设设设 为独立为独立为独立为独立,即标准化即标准化即标准化即标准化r.vr.vr.vr.v对于均值为对于均值为对于均值为对于均值为 方差方差方差方差 的独立同分布的的独立同分布的的独立同分布的的独立同分布的 r.vr.vr.vr.v 列列列列有有有有近似近似近似近似即或即或即或即或近似近似近似近似这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到在实际问题中在实际问题中在实际问题中在实际问题中,如果某数量指标满足如果某数量指标满足如果某数量指标满足如果某数量指标满足该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成则这个数量指标近似地服从正态分布则这个数量指标近似地服从正态分布则这个数量指标近似地服从正态分布则这个数量指标近似地服从正态分布突出的作用突出的作用突出的作用突出的作用 由独立同分布的中心极限定理由独立同分布的中心极限定理由独立同分布的中心极限定理由独立同分布的中心极限定理,有有有有设设设设 为服为服为服为服从从从从参数为参数为参数为参数为的的的的 二项分布二项分布二项分布二项分布r.vr.vr.vr.v列列列列,则则则则对任意对任意对任意对任意 有有有有其中其中其中其中为独立同分布的为独立同分布的为独立同分布的为独立同分布的(0-1)(0-1)分布分布分布分布r.v,r.v,r.v,r.v,且且且且因二项分布产生于因二项分布产生于因二项分布产生于因二项分布产生于 重伯努利试验重伯努利试验重伯努利试验重伯努利试验,故故故故 可分解为可分解为可分解为可分解为 该该该该定定定定理理理理是是是是概概概概率率率率论论论论历历历历史史史史上上上上第第第第一一一一个个个个中中中中心心心心极极极极限限限限定定定定理理理理,由由由由棣棣棣棣莫莫莫莫弗弗弗弗于于于于1730173017301730年给出年给出年给出年给出到到到到时时时时的的的的证证证证明明明明,几几几几十十十十年年年年后后后后经经经经拉拉拉拉普普普普拉拉拉拉斯斯斯斯推推推推广广广广的一般情形的一般情形的一般情形的一般情形.对于一列二项分布对于一列二项分布对于一列二项分布对于一列二项分布r.v r.v r.v r.v ，有，有，有，有近似近似近似近似近似近似近似近似的图形为的图形为的图形为的图形为于是当于是当于是当于是当 充分大时，可以认为充分大时，可以认为充分大时，可以认为充分大时，可以认为 近似近似近似近似标准化标准化 某某某某单单单单位位位位电电电电话话话话交交交交换换换换机机机机接接接接有有有有500500500500部部部部电电电电话话话话,在在在在所所所所有有有有通通通通话话话话中中中中有有有有96%96%96%96%次次次次通通通通话话话话是是是是在在在在各各各各分分分分机机机机内内内内进进进进行行行行的的的的.假假假假定定定定每每每每部部部部分分分分机机机机是是是是否否否否需需需需要要要要打打打打外外外外线线线线是是是是相相相相互互互互独独独独立立立立的的的的,问问问问要要要要配配配配备备备备多多多多少少少少条条条条外外外外线线线线才才才才能能能能以以以以95%95%95%95%的的的的概概概概率保证每个分机要用外线时不必等候？率保证每个分机要用外线时不必等候？率保证每个分机要用外线时不必等候？率保证每个分机要用外线时不必等候？近似近似近似近似设共需要设共需要设共需要设共需要 条外线才能满足要求，则应有条外线才能满足要求，则应有条外线才能满足要求，则应有条外线才能满足要求，则应有故至少应配备故至少应配备故至少应配备故至少应配备28282828条外线才能满足要求条外线才能满足要求条外线才能满足要求条外线才能满足要求.查正态分布表得查正态分布表得查正态分布表得查正态分布表得练习练习2：对于一个学生而言对于一个学生而言,来参加家长会的家来参加家长会的家长人数是一个随机变量长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加设各学生参加会议的家长数相互独立会议的家长数相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数求参加会议的家长数X超过超过450的概率的概率;(2)求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解33写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal