概率论与数理统计第1章课件

第第1章章 随机事件及其概率随机事件及其概率1.1 随机事件随机事件1.4 全概率公式与逆概率公式全概率公式与逆概率公式1.3 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性1.2 随机事件的概率随机事件的概率2 概率论概率论与与数理统计数理统计以随机现象的统计规律以随机现象的统计规律 性为研究对象，其最终目的在于用随机现象性为研究对象，其最终目的在于用随机现象的规律性指导我们的实践。的规律性指导我们的实践。概率论概率论是研究随机现象的数量规律的数学是研究随机现象的数量规律的数学分支，从近代博弈论逐步发展起来；分支，从近代博弈论逐步发展起来；数理统计数理统计以概率论为工具研究统计资料的收集、整理，以概率论为工具研究统计资料的收集、整理，并依据收集现象的规律性作出科学的分析和推并依据收集现象的规律性作出科学的分析和推断。断。3456781.1 随机事件随机事件一、随机试验一、随机试验二、二、样本空间样本空间三、三、随机随机事件及其发生事件及其发生四、事件之间的关系和运算四、事件之间的关系和运算在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象或的现象称为确定性现象或 决定性现象。决定性现象。“太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,(1)确定性现象确定性现象“同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象:确定性现象确定性现象 随机现象随机现象在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.(2)随机现象随机现象 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果结果有可能为结果有可能为:1,2,3,4,5 或或 6.实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数.实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察弹落点的情况观察弹落点的情况.结果结果:弹落点会各不相同弹落点会各不相同.实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为:正品正品 、次品次品.实例实例5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯.实例实例6 出生的婴儿可出生的婴儿可能是能是男男,也可能是也可能是女女.实例实例7 明天的天气可明天的天气可能是能是晴晴,也可能是也可能是多云多云或或雨雨.随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果(2)随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶偶然性然性,但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中,这种结果的出现具这种结果的出现具有一定的有一定的统计统计规律性规律性,概率论就是研究随机现象概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科规律性的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明(1)随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系联系,其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.一、随机试验一、随机试验 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为把具有以下三个特征的试验称为随机随机试验试验。（1）可以在相同的条件下重复地进行）可以在相同的条件下重复地进行(可重复性）可重复性）；（2）每次试验的可能结果不止一个）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试并且能事先明确试验的所有可能结果（可预见性）验的所有可能结果（可预见性）；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现（随机性）（随机性）。说明说明 (1)随机试验简称为试验随机试验简称为试验,是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的也包括对客观事物进行的“调查调查”、“观察观察”或或“测量测量”等等.(2)随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察察正面、反面正面、反面出现的情况出现的情况”.分析分析(1)试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;(2)试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面、反面反面;(3)进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现.故为随机试验故为随机试验.(1)抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.(2)从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.(3)记录某公共汽车站记录某公共汽车站某时刻的等车人数某时刻的等车人数.(4)考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.(5)从一批灯泡中任从一批灯泡中任取一只取一只,测试其寿命测试其寿命.现代集合论为表述随机试验提供了一个现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具方便的工具.二、样本空间二、样本空间 我们把随机试验的每个基本结果称为我们把随机试验的每个基本结果称为样本点样本点，记作，记作e 或或.全体样本点的集合称为全体样本点的集合称为样本空间样本空间.样本空间用样本空间用表示表示.样本点样本点e.实例实例1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观察正面观察正面,反面出现的情况反面出现的情况.实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.实例实例3 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出记录出 现正品与次品的情况现正品与次品的情况.实例实例4 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只,测试其寿命测试其寿命.实例实例5 记录某城市记录某城市120 急急 救电话台一昼夜接救电话台一昼夜接 到的呼唤次数到的呼唤次数.2.同一试验同一试验,若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样则对应的样 本空本空 间也不同间也不同.例如例如 对于同一试验对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面若观察正面 H、反面反面 T 出现的情况出现的情况,则样本空间则样本空间为为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数,则样本空间为则样本空间为说明说明 1.试验不同试验不同,对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.说明说明 3.建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现事实上就是建立随机现 象的数学模型象的数学模型.因此因此,一个样本空间可以一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题概括许多内容大不相同的实际问题.例如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间它它既既可可以以作作为为抛抛掷掷硬硬币币出出现现正正面面或或出出现现反反面面的的模模型型,也也可可以以作作为为产产品品检检验验中中合合格格与与不不合合格格的的模模型型,又又能能用用于于排排队队现现象象中中有有人人排排队队与与无无人人排排队队的模型等的模型等.在在具具体体问问题题的的研研究究中中,描描述述随随机机现现象象的的第第一一步步就就是是建立样本空间建立样本空间.随机事件：随机事件：三、三、随机随机事件及其发生事件及其发生通俗地讲通俗地讲随机事件是指随机试验中可能发生也随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的可能不发生的结果结果。根据这个说法不难发现根据这个说法不难发现随机事件和样本空间的随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！子集有一一对应关系！它们分别可以对应了样本空间它们分别可以对应了样本空间=1,2,3,4,5,6 的的子集子集1,2,3,4和和2,4,6 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.“点数不大于点数不大于4 4”,“点数为偶数点数为偶数”等都为随机事件等都为随机事件.反过来，反过来，的每个子集都对应了该试验的一个随的每个子集都对应了该试验的一个随机事件机事件随机事件的定义随机事件的定义 当且仅当子集当且仅当子集中某个样本点出现时，中某个样本点出现时，称事件称事件发生发生 随机试验随机试验 E E 的样本空间的样本空间 的子集的子集称为称为 E E 的随机事件的随机事件,简称事件简称事件.实例实例 上述试验中上述试验中“点数不大于点数不大于6”就是必然事件就是必然事件.必然事件必然事件 随机试验中必然发生的事件随机试验中必然发生的事件不可能事件不可能事件 随机试验中不可能发生的事件随机试验中不可能发生的事件.实例实例 上述试验中上述试验中“点数大于点数大于6”就是不可能事件就是不可能事件.实例实例 “出现出现1点点”,“出现出现2点点”,“出现出现6点点”.基本事件基本事件由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集特别地：特别地：实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.几点说明几点说明例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.可设可设 A=“点数不大于点数不大于4”,B=“点数为奇数点数为奇数”等等等等.1)随机事件可简称为事件随机事件可简称为事件,并以大写英文字母并以大写英文字母 A,B,C,来表示事件来表示事件空集不含任何样本点表示空集不含任何样本点表示不可能事件不可能事件2)随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间,样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.样本空间样本空间作为自身最大的子集包含所有的样作为自身最大的子集包含所有的样本点（基本事件），表示本点（基本事件），表示必然事件必然事件1事件的包含事件的包含事件发生事件发生事件发生事件发生设、设、为两个事件，如果中的基本事件都是为两个事件，如果中的基本事件都是的基本事件，则称的基本事件，则称包含于，记为，或包包含于，记为，或包含，记为含，记为 .四、事件之间的关系和运算四、事件之间的关系和运算实例实例 A=“长度不合格长度不合格”必然导致必然导致 B=“产品不合格产品不合格”所以所以事件事件之间之间的关系的关系2.事件的相等事件的相等=若两个事件和相互包若两个事件和相互包含，则称这两个事件相等，含，则称这两个事件相等，记为记为 .和同时发生或者同时不发生和同时发生或者同时不发生3.事件的和（并）事件的和（并）将事件的基本事件和的基本事件合在一起组成的将事件的基本事件和的基本事件合在一起组成的一个新事件，称为一个新事件，称为 和的和事件，记为，可和的和事件，记为，可读成并或加读成并或加.有时也可记为有时也可记为 .实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定是否合格所决定,因此因此 C=“产品不合格产品不合格”是是A=“长度不长度不合格合格”与与B=“直径不合格直径不合格”的并的并.即即4.事件的积（交）事件的积（交）将事件的和共有基本事件合在一起组成的一个新将事件的和共有基本事件合在一起组成的一个新事件，称为和的和事件，记为，可读成事件，称为和的和事件，记为，可读成交或乘交或乘.有时也可记为有时也可记为.实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定是否合格所决定,设设“产品合格产品合格”,“长度合长度合格格”,“直径合格直径合格”和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质5.事件的差（减）事件的差（减）从事件中将属于事件的基本事件除去从事件中将属于事件的基本事件除去,剩下的基本剩下的基本事件组成的新事件称为和的差事件事件组成的新事件称为和的差事件,记为记为 .事件发生而事件不发生事件发生而事件不发生实例实例 设设“长度合格但直长度合格但直径不合格径不合格”,“长度合格长度合格”,“直径合格直径合格”.事件、事件、不可能同时发生不可能同时发生6.事件的互斥（互不相容）事件的互斥（互不相容）若事件和没有共同的基本事件，则称和互斥，若事件和没有共同的基本事件，则称和互斥，也称互不相容，记为也称互不相容，记为 .注意注意 基本事件是两两互斥的基本事件是两两互斥的.7.事件的逆（对立事件）事件的逆（对立事件）称必然事件和事件的差为的逆事件，记称必然事件和事件的差为的逆事件，记为为 ，如果和互逆，则也可称和互为对立事件如果和互逆，则也可称和互为对立事件事件不发生事件不发生实例实例 “骰子出现骰子出现1点点”“骰子不出现骰子不出现1点点”对立对立事件的运算规律事件的运算规律由由集合的运算律，集合的运算律，易给出易给出事件间的运算律事件间的运算律.设设为为同一随机试验同一随机试验中的事件，中的事件，则有则有(1)交换律交换律(2)结合律结合律(3)分配律分配律(4)自反律自反律(5)对偶律对偶律注：注：上述各运算律可推广到上述各运算律可推广到件的件的情形情形.有限个或可数个事有限个或可数个事(6)吸收律吸收律(7)替换律替换律例例1甲甲,乙乙,丙三人各射一次靶丙三人各射一次靶,记记 “甲中靶甲中靶”,“乙中靶乙中靶”,“丙中靶丙中靶”,则可用上述三则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件个事件的运算来分别表示下列各事件:(1)(3)(4)(2)“甲未中靶甲未中靶”“甲中靶而乙未中靶甲中靶而乙未中靶”“三人中只有丙未中靶三人中只有丙未中靶”“三人中恰好有一人中靶三人中恰好有一人中靶”(5)“三人中至少有一人中靶三人中至少有一人中靶”或或(10)(9)(8)“三人中至少有两人中靶三人中至少有两人中靶”“三人中均未中靶三人中均未中靶”“三人中至多一人中靶三人中至多一人中靶”(11)“三人中至多两人中靶三人中至多两人中靶”或或(6)(7)“三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”“三人中恰有两人中靶三人中恰有两人中靶”或或注注:用其它事件的运算来表示一个事件用其它事件的运算来表示一个事件,方法往往方法往往不唯一不唯一,如如本例中的本例中的(6)(6)和和(11)(11)实际上是同一事件实际上是同一事件,大家应学会大家应学会特别在解决特别在解决具体问题时具体问题时,往往要更具需要往往要更具需要方法方法.用不同方法表达同一事件用不同方法表达同一事件,选择一种恰当的表示选择一种恰当的表示(6)“三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”(11)“三人中至多两人中靶三人中至多两人中靶”49作业作业P19 练习1.1 3 4 5一、概率的统计意义一、概率的统计意义三、概率的公理化定义三、概率的公理化定义二、概率的古典定义二、概率的古典定义1.2 随机事件的概率随机事件的概率四、概率的性质四、概率的性质 研究随机现象，不仅关心试验中会出研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！一、概率的统计意义一、概率的统计意义定义定义显然显然次数为次数为频率频率.若在相同条件下进行若在相同条件下进行 次试验，次试验，其中其中 发生的发生的则称则称为事件为事件 发生的发生的试验试验序号序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次,各做各做 7 遍遍,观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.随随n的增大的增大,频率频率 fn(H)呈现出稳定性呈现出稳定性从从上述数据可得上述数据可得(2)抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时,频率频率fn(A)的随机波动的随机波动幅度较大幅度较大,但但随随 n 的增大的增大,频率频率fn(A)呈现出稳定呈现出稳定性性.即当即当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率fn(A)总是在总是在 0.5 附近附近摆动摆动,且逐渐稳定于且逐渐稳定于 0.5.(1)频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n,所得所得的的fn(A)不一定相同不一定相同;实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005重要结论重要结论当实验次数当实验次数 n 较小时较小时,事件事件发生的频发生的频率波动幅度比较大率波动幅度比较大,当当 n 逐渐增大时逐渐增大时,频率趋频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小在试验中出现可能性的大小.它就是事件的它就是事件的概概率率概率的统计定义概率的统计定义定义定义在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验次重复试验,若事件若事件A发生的频率发生的频率 随着试验次数随着试验次数n的增大而的增大而稳定地在某个常数稳定地在某个常数P P附近摆动附近摆动,则称则称P为事件为事件A的的概概率，率，记为记为P(A).我我们们首首先先引引入入的的计计算算概概率率的的数数学学模模型型，是是在在概概率率论论的的发发展展过过程程中中最最早早出出现现的的研研究究对象，通常称为对象，通常称为古典概型古典概型二、概率的古典定义二、概率的古典定义 假定某个试验有有限个可能的结果假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如例如 ei，比任一其它结果比任一其它结果ej,更有优势，则我更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即出现机会，即1/N的出现机会的出现机会.e1,e2,，eN,2 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同个大小、形状完全相同的球的球.将球编号为将球编号为110.把球搅匀，蒙上眼睛，从把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球中任取一球.因为抽取时这些球是因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理完全平等的，我们没有理由认为由认为10个球中的某一个个球中的某一个会比另一个更容易取得会比另一个更容易取得.也就是说，也就是说，10个球中的任个球中的任一个被取出的机会是相等一个被取出的机会是相等的，均为的，均为1/10.1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 3479108615 我们用我们用 i 表示取到表示取到 i号球，号球，i=1,2,10.称这样一类随机试验称这样一类随机试验为为古典概型古典概型.34791086152且每个样本点且每个样本点(或者说或者说基本事件基本事件)出现的可能出现的可能性相同性相同.=1,2,10 则该试验的样本空间则该试验的样本空间如如i=2 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.称这种试验模型为称这种试验模型为等可能概型等可能概型或或古典概型古典概型.称此概率为称此概率为古典概率古典概率,这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为古典方法古典方法.这就把求古典概率的问题转化为对基这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题本事件的计数问题.古典概型中事件概率的计算古典概型中事件概率的计算设古典型随机试验设古典型随机试验E E的样本空间为的样本空间为则定义则定义对任意事件对任意事件 ,若若事件事件 发生的概率发生的概率基本计数原理基本计数原理 这里我们先简要复习一下计算古典概率这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的所用到的1.加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,；第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1+n2+nm 种方法种方法.基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.2.乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,；第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，加法原理和乘法原理是两个很重要加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础组合公式的基础.k=n时称全排列时称全排列3.排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式1、排列、排列:从从n个不同元素取个不同元素取 k 个个()的不同排列总数为：的不同排列总数为：4.组合组合:从从n个不同元素取个不同元素取k个个（1 k n)的不同组合总数为：的不同组合总数为：有时记作有时记作,称为称为组合系数组合系数.排列和组合的区别排列和组合的区别:顺序不同的排列视为不同的排列顺序不同的排列视为不同的排列,而组合与顺而组合与顺序无关序无关.例例1一个袋子中装有一个袋子中装有 10 10 个大小相同的球个大小相同的球,其中其中 3 3个黑球个黑球,7 7 个白球个白球,求求:(1 1)从袋子中任取一球从袋子中任取一球,这个球是黑球的概率这个球是黑球的概率;(2 2)从袋子中任取两球从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的刚好一个白球一个黑球的概率概率(1 1)解解10 10 个球中任取一个个球中任取一个,共有共有种种.从从而根据古典概率计算而根据古典概率计算,事件事件“取到的球为黑球取到的球为黑球”的概率为的概率为以及两个球全是黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.例例1一个袋子中装有一个袋子中装有 10 10 个大小相同的球个大小相同的球,其中其中 3 3个黑球个黑球,7 7 个白球个白球,求求:(2 2)从袋子中任取两球从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的刚好一个白球一个黑球的概率概率解解以及两个球全是黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.(2 2)10 10 个球中任取两球的取法有个球中任取两球的取法有种种,其中其中刚好一个白球刚好一个白球,一个黑球的取法有一个黑球的取法有种种取法取法,两个两个球均是球均是黑球的取法有黑球的取法有种种,记记为为好好取到一个白球一个黑球取到一个白球一个黑球”,为为为黑球为黑球”,则则事件事件“刚刚事件事件“两个球均两个球均73747576777879808182例例2 (抽签原理抽签原理)袋中有袋中有 只白球和只白球和 只黑球，只黑球，它们除颜色不同外其他方面没有差别，现在它们除颜色不同外其他方面没有差别，现在将球随机地一只只摸出来，求第将球随机地一只只摸出来，求第k次摸出的次摸出的一只球为白球的概率一只球为白球的概率.其中其中解法解法1:且每种排列机会相同且每种排列机会相同:古典概型古典概型解法解法2:且每种方法机会相同且每种方法机会相同:古典概型古典概型因此因此两种不同的解法有相同的结果，两种解法的区别在于：两种不同的解法有相同的结果，两种解法的区别在于：选取的样本空间不同选取的样本空间不同第一种方法把球看作第一种方法把球看作“有有个性个性”的的要顾及各白球和各黑球间的顺序因而采用排列的方法要顾及各白球和各黑球间的顺序因而采用排列的方法而第二种方法则同色球不加区别而第二种方法则同色球不加区别,不需要注意顺序而不需要注意顺序而采用组合的方法采用组合的方法不管采用什么样的样本空间不管采用什么样的样本空间,必须注意以下两点必须注意以下两点:(1)同一样本空间中样本点发生的可能性必须相等同一样本空间中样本点发生的可能性必须相等;(2)在计算样本点总数和事件的有利场合数时必须在同在计算样本点总数和事件的有利场合数时必须在同一个样本空间中进行一个样本空间中进行解法解法3：解法解法4：只考虑前只考虑前k个球的情形个球的情形,用排列的方法用排列的方法:只考虑第只考虑第k次取球的情形次取球的情形例例3 某城市有某城市有N部轿车，车牌号从部轿车，车牌号从1到到N,有一个外地人有一个外地人到该城市去，把遇到的到该城市去，把遇到的n部轿车的牌号抄下（可能重部轿车的牌号抄下（可能重复抄到某些车牌号复抄到某些车牌号),问抄到的最大号码恰好为问抄到的最大号码恰好为k的概的概率率.解解:假设该城市的所有轿车等可能地出现在该城市的假设该城市的所有轿车等可能地出现在该城市的任意地方任意地方(这是合理的这是合理的,因为外地人到该城市也是因为外地人到该城市也是随机的随机的),每部轿车被遇到的可能性可以认为相同每部轿车被遇到的可能性可以认为相同符合古典概型的要求符合古典概型的要求外地人抄车牌号相当于从外地人抄车牌号相当于从N个个元素中元素中有放回有放回地抽取地抽取n个元素个元素事件要求抄到的最大事件要求抄到的最大车牌号恰好为车牌号恰好为k相当于抄到的车牌号必须不超相当于抄到的车牌号必须不超过过k,且必须至少抄到一次且必须至少抄到一次“k”事件事件=车牌号不大于车牌号不大于k的取法总数的取法总数车牌号不大于车牌号不大于(k-1)的取法总数的取法总数因此因此,抄到的最大号码恰好为抄到的最大号码恰好为k的概率为的概率为 在学习几何和代数时，我们已经知道在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础公理是数学体系的基础.数学上所说的数学上所说的“公理公理”，就是一些不加证明而公认的前提，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容一步的内容.三、概率的公理化定义三、概率的公理化定义 即即通过规定概率应具备的通过规定概率应具备的基本性质来定义概率基本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义.1933年，前苏联数学家柯年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的尔莫哥洛夫给出了概率的公理公理化定义化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，极为简单，但在此基础上建立起了概率论但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦的宏伟大厦.定义定义:设设E E是随机试验是随机试验,是它的样本空间是它的样本空间,对于对于E E的每一件事件的每一件事件A 赋予一个实数赋予一个实数,记为记为P(A),若若P(A)满满足下列三个条件足下列三个条件:1.1.非负性非负性:对每一个事件对每一个事件A,有有2.2.完备性完备性:3.3.完全完全可加性可加性:对任意可数个两两互不相容的对任意可数个两两互不相容的事件事件有有则称则称 P P(A)为事件为事件A的概率的概率.这就是概率的公理化定义这就是概率的公理化定义,由于其定义用由于其定义用到较多的现代数学理论和方法到较多的现代数学理论和方法,我们只作上面的我们只作上面的简单介绍简单介绍.由概率的公理化定义可以推出概率的如下性质由概率的公理化定义可以推出概率的如下性质:四、概率的性质四、概率的性质性质性质1证明证明令令则则由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得由概率的非负性知由概率的非负性知,故由上式可得故由上式可得注：注：不可能事件的概率为不可能事件的概率为0,0,但反之不然但反之不然.证毕证毕性质性质2(有限可加性有限可加性)设设是两两互不相是两两互不相容的事件容的事件,则有则有证明证明令令既有既有由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得证毕证毕.性质性质3 3证明证明因因且且由性质由性质2,2,得得证毕证毕.性质性质4 4证明证明 因因且且再由概率的有限可加性再由概率的有限可加性,即得即得所以所以又由概率的非负性知又由概率的非负性知,则有则有证毕证毕若若则有则有性质性质5 5对任一事件对任一事件A,A,证明证明因因由性质由性质4,4,得得证毕证毕.性质性质6 6注：注：性质性质6 6可推广到任意有限个事件的并的情形可推广到任意有限个事件的并的情形.例如例如,(加法公式加法公式)例例 4 已知已知求求(1)(2)(3)解解(1)因为因为且且与与是不是不相容的相容的,故有故有于是于是(2)(4)例例 4 已知已知求求(3 3)(4 4)解解(3 3)(4)(4)例例 5 某城市中发行某城市中发行2 种报纸种报纸经调查经调查,在这在这2 种报纸的订户中种报纸的订户中,订阅订阅报的有报的有45%,订阅订阅报的有报的有35%,同时订阅同时订阅 2 种报纸种报纸的有的有 10%,求求只订一种报纸的概率只订一种报纸的概率解解记事件记事件则则 只订一种报只订一种报 又这两件事是互不相容的又这两件事是互不相容的,由概率性质由概率性质 ,有有例例6 已知在已知在100100件产品中有件产品中有9595件正品和件正品和5 5件次品件次品,购买者从中任取一半检查，如果发现次品不多购买者从中任取一半检查，如果发现次品不多于一个于一个,则认为这批产品合格，求这批产品被购则认为这批产品合格，求这批产品被购买者认为合格的概率买者认为合格的概率.解解=0.1811例例7 在甲袋中有在甲袋中有3 3只白球只白球,7,7只红球，只红球，1515只黑球只黑球,乙袋中有乙袋中有1010只白球只白球,6,6只红球只红球,9,9只黑球只黑球,现从两袋现从两袋中各取一球中各取一球,求两球颜色相同的概率求两球颜色相同的概率.解解例例7 7 在甲袋中有在甲袋中有3 3只白球只白球,7,7只红球，只红球，1515只黑球只黑球,乙袋中有乙袋中有1010只白球只白球,6,6只红球只红球,9,9只黑球只黑球,现从两袋现从两袋中各取一球中各取一球,求两球颜色相同的概率求两球颜色相同的概率.例例8 一袋中装有一袋中装有9 9只黑球和只黑球和1 1只白球只白球,每次从袋中每次从袋中随机地摸出一球随机地摸出一球,并换入并换入1 1只黑球只黑球,求第求第k k次摸出黑次摸出黑球的概率球的概率.解解在第在第k k次前若摸出白球次前若摸出白球,则要换则要换入黑球入黑球,则第则第k k次一定摸出黑球次一定摸出黑球前前k-1k-1次必须每次摸出黑球次必须每次摸出黑球,第第k k次摸白球次摸白球所以所以例例9 在在 12000 的整数中随机的取一个数的整数中随机的取一个数,问取到的整问取到的整数既不能被数既不能被6整除整除,又不能被又不能被8整除的概率是多少？整除的概率是多少？解：解：设设A为事件为事件“取到的整数能被取到的整数能被6整除整除”,B为为“取取到的整数能被到的整数能被8整除整除”,则所求的概率为：则所求的概率为：为：为：6，12，181998 共共 333 个个所以能被所以能被6整除的整数整除的整数AB 为为“既被既被6整除又被整除又被8整除整除”或或“能被能被24整除整除”于是所求的概率为：于是所求的概率为：其中其中 B=8,16,2000 AB=24,48 1992 作业作业P28练习1.2 8 9 10 11P27练习1.2 3 4一、条件概率一、条件概率三、独立试验及伯努利试验模型三、独立试验及伯努利试验模型二、事件的独立性二、事件的独立性1.3 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性 条件概率是概率论中一个重要而实用的条件概率是概率论中一个重要而实用的概念概念.它所考虑的是事件它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下已经发生的条件下事件事件 B 发生的概率，将此概率记作发生的概率，将此概率记作P(B|A).一、一、条件概率条件概率 一般一般 P(B|A)P(B)P(A)=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是有可能结果构成的集合就是B，于是于是P(A|B)=1/3.容易看到容易看到P(A|B)巧合吗？巧合吗？定义定义设设A A、B B是两个事件，是两个事件，且且则称则称(1)(1)为在事件为在事件A A 发生的条件下，发生的条件下，事件事件B B 的的条件概率条件概率.注：注：若事件若事件A A已发生已发生,且又是且又是B B中的样本点中的样本点,则此点必属于则此点必属于ABAB.因已知因已知A A已发生已发生,故故A A成为新的样本空间成为新的样本空间.用图表达用图表达(1)(1)式式.ABBA性质性质设设B是一事件是一事件,且且P(A)0,则则1.对任一事件对任一事件A,2.3.设设互不相容互不相容,则则此外此外,前面所证概率的性质都适用于条件概率前面所证概率的性质都适用于条件概率.计算计算(1)用定义计算用定义计算;(2)根据加入条件后改变了的情况来计算根据加入条件后改变了的情况来计算.2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 1)用定义计算用定义计算:掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2 点点，B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少?解法解法1:解法解法2:解解:设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算例例2 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的年以上的概率为概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4.问现问现年年20岁的这种动物，它能活到岁的这种动物，它能活到25岁以上的概岁以上的概率是多少？率是多少？解解：设：设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为所求为P(B|A).一袋中装有一袋中装有 10 个球个球,先后两次从袋中各取一球先后两次从袋中各取一球(不放回不放回).其中其中 3 个黑球个黑球,7 个白个白(1)(2)已知第一次取出的是黑球已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍求第二次取出的仍是黑球的概率是黑球的概率;已知第二次取出的是黑球已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也求第一次取出的也是黑球的概率是黑球的概率.解解例例3记记为为(1)在已知在已知发生发生,第二次取球就在剩下的第二次取球就在剩下的 2 个个根据古典概率计算根据古典概率计算,球球,次次取到的是黑球取到的是黑球”事件事件“第第黑球、黑球、7 个白球个白球,即有即有(2)在已知在已知发生发生,即第二次取到的是黑球的条件即第二次取到的是黑球的条件下下,求求第一次取到黑球的概率第一次取到黑球的概率.在第二次取球之前在第二次取球之前,第一次取球发生第一次取球发生故故问题的结构不像问题的结构不像(1)那么直那么直观观.我们可按定义计算我们可按定义计算更方便一些更方便一些.由由由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而而 P(AB)=P(BA)乘法公式乘法公式若已知若已知P(B),P(A|B)时时,可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率设设A,B,C为事件为事件,且且P P(ABAB)0,)0,则则设设为为n n个事件个事件,且且则则乘法公式易推广到多个事件的情形乘法公式易推广到多个事件的情形 例例4 今有一张足球票，今有一张足球票，n个人都想得到，故采用抽签个人都想得到，故采用抽签的办法分配这张票，试利用乘法公式说明每人得到足球的办法分配这张票，试利用乘法公式说明每人得到足球票的概率都是票的概率都是1/n 解解 记记Ai=第第i人抽到足球票人抽到足球票，则，则 由公式得由公式得 例例5 一袋中装有一袋中装有a只白球，只白球，b只黑球，每次任取一球，只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加进取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球，只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率 解解 设设A=三次取出的均为黑球三次取出的均为黑球，Ai=第第i次取出的是次取出的是黑球黑球，i=1,2,3，则有，则有 A=A1A2A3由题意得由题意得故故 该摸球模型称为卜里耶（该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型上述概率）模型上述概率显然满足不等式显然满足不等式 P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大所以，卜里耶模型常常被用作描述可能性就比较大所以，卜里耶模型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型传染病传播或地震发生的数学模型 我们说，在事件我们说，在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于的条件概率一般地不等于A的无条件概率的无条件概率.但是，会不会出现但是，会不会出现P(A)=P(A|B)的情形呢？的情形呢？显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发发生的概率生的概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.两事件的独立性两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点，B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设二、事件的独立性二、事件的独立性 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，有独立时，有 P(AB)=P(A)P(B)用用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B)=P(A)或或 P(B|A)=P(B)更好更好,它不受它不受P(B)0或或P(A)0的制约的制约.P(AB)=P(B)P(A|B)若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)=P(A)P(B)则称则称A、B独立，或称独立，或称A、B相互独立相互独立.两事件独立的定义两事件独立的定义定理定理1 1 设设是两是两事件事件，若若相互独立相互独立，反之亦然反之亦然.例例6 从一副不含大小王的扑克牌中任取一从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记张，记 A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见,P(AB)=P(A)P(B)由于由于 P(A)=4/52=1/13,说明事件说明事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2 在实际应用中在实际应用中,往往往往根据问题的实际意根据问题的实际意义去判断两事件是否独立义去判断两事件是否独立.由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的的概率，故认为概率，故认为A、B独立独立.甲、乙两人向同一目标射击，记甲、乙两人向同一目标射击，记 A=甲命中甲命中,B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）的概率）一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的,则则A1与与A2独立独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立.请问：如图的两个事件是独立的吗？请问：如图的两个事件是独立的吗？即即:若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0,P(B)0,则则A与与B不独立不独立.反之，若反之，若A与与B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0,则则A、B不互斥不互斥.而而P(A)0,P(B)0故故 A、B不独立不独立我们来计算：我们来计算：P(AB)=0P(AB)P(A)P(B)即即 问：能否在样本空间问：能否在样本空间中找两个事件中找两个事件,它们它们既相互独立又互斥既相互独立又互斥?这两个事件就是这两个事件就是 和和P()=P()P()=0 与与独立且互斥独立且互斥不难发现，不难发现，与任何事件都独立与任何事件都独立.=P(A)1-P(B)=P(A)P()=P(A)-P(AB)P(A )=P(A-A B)A、B独立独立故故A与与 独立独立.概率的性质概率的性质=P(A)-P(A)P(B)证明证明:仅证仅证A与与 独立独立定理：定理：若两事件若两事件A、B独立，则独立，则 也相互独立也相互独立.证毕证毕有限个事件的独立性有限个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：将两事件独立的定义推广到三个事件：定义定义 对于三个事件对于三个事件A、B、C，若若 P(AB)=P(A)P(B)四个等式同时四个等式同时 P(AC)=P(A)P(C)成立成立,则称事件则称事件 P(BC)=P(B)P(C)A、B、C相互相互 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)独立独立.推广到推广到n个事件的独立性定义个事件的独立性定义,可类似写出：可类似写出：设设是是个个事件，事件，若对若对任意任意个个事件事件均均满足等式满足等式则称则称事件事件相互独立相互独立.定义定义 设设A,B,C为随机事件为随机事件,若若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)则称事件则称事件A,B,C两两相互独立两两相互独立两两独立两两独立相互独立相互独立对对n(n2)个事件个事件?对独立事件，许多概率计算可得到简化：对独立事件，许多概率计算可得到简化：定理定理 证明略证明略逆事件逆事件,对偶律对偶律例例7 三人独立地去破译一份密码，已知各人能三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？少有一人能将密码译出的概率是多少？解解：将三人编号为：将三人编号为1，2，3，所求为所求为记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3312例例8加工某一零件共需经过四道工序加工某一零件共需经过四道工序,设第一、设第一、二、三、四道工序的次品率二、三、四道工序的次品率3%,假定各道工序是互不影响的假定各道工序是互不影响的,求加工出来的求加工出来的零件的次品率零件的次品率.解解 设设为四道工序发生次品事件为四道工序发生次品事件,加工出来的零件为次品的事件加工出来的零件为次品的事件,为为分别是分别是2%,3%,5%,三、独立试验及伯努利试验模型三、独立试验及伯努利试验模型 在在n次试验中次试验中,如果任何一次试验中事件如果任何一次试验中事件A发发生的概率不受其他各次试验结果的影响生的概率不受其他各次试验结果的影响,则称这则称这n次试验为相互独立试验次试验为相互独立试验,简称简称独立试验独立试验.如果一个试验在给定的条件下独立重复如果一个试验在给定的条件下独立重复n次次,且满足且满足:(1)每次试验只有两个可能的结果每次试验只有两个可能的结果:(2)每次试验中事件每次试验中事件 发生的概率相等发生的概率相等,且且则称这样的试验为则称这样的试验为n重伯努利重伯努利(Bernoulli)试验试验注：注：重重伯努利试验是一种很重要的数学模型，伯努利试验是一种很重要的数学模型，在在实际问题中具有广泛的应用实际问题中具有广泛的应用.其其特点是：特点是：事件事件在在每次试验中发生的概率均为每次试验中发生的概率均为且不受且不受其它其它各次各次试验中试验中是否发生的影响是否发生的影响.定理定理(伯努利定理伯努利定理)设在设在一次试验中，一次试验中，事件事件发生的概率为发生的概率为则在则在重贝努利重贝努利试验中，试验中，事件事件A恰好发生恰好发生k次的概率为次的概率为推论推论 设在设在一次试验中，一次试验中，事件事件A A发生的概率为发生的概率为则在则在伯努利试验序列中，伯努利试验序列中，事件事件A A在在第第k k次试验中才首次发生的概率为次试验中才首次发生的概率为注意到注意到等价于等价于“事件事件A A前前次均不次均不发生，发生，而第而第次才发次才发生生”.“事件事件A A第第k k次才首次发生次才首次发生”作业作业P37练习1.3 2 4 6一、全概率公式一、全概率公式二、逆概率公式二、逆概率公式1.4 全概率公式与逆概率公式全概率公式与逆概率公式定义定义也称为也称为 的一个分割的一个分割样本空间的分割样本空间的分割21 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球,2号号装有装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球.某人某人从中随机取一罐，在从中任意取出一球，从中随机取一罐，在从中任意取出一球，求求取得红球的概率取得红球的概率.3引例引例1：如何求取得红球的概率？如何求取得红球的概率？一、全概率公式一、全概率公式全概率公式全概率公式证明证明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计分解为若干个简单事件的概率计算问题算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果最后应用概率的可加性求出最终结果.全概率公式的使用全概率公式的使用我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率因为因为B 发生总是伴随着发生总是伴随着 A1,A2,A3 之一同时发生之一同时发生依题意依题意:P(Ai)=1/3(i=1,2,3),P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,有有三三个个罐罐子子,1号号装装有有 2 红红 1 黑黑球球,2号号装装有有 3 红红 1 黑黑球球，3号号装装有有 2 红红 2 黑黑球球.某某人人从从中中随随机机取取一一罐罐，再再 从从 中中 任任 意意 取取 出出 一一 球球，求求 取取 得得 红红 球球 的的 概概 率率.21解解:记记 Ai=球球取取自自 i 号号罐罐 i=1,2,3,A1,A2,A