梁的挠曲线近似微分方程及其积分课件

81 概述概述概述概述82 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分83 求梁的挠度与转角的共轭梁法求梁的挠度与转角的共轭梁法8-4 8-4 按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角8-5 8-5 梁的刚度校核梁的刚度校核 第八章第八章 弯曲变形弯曲变形 8-6 8-6 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能8-7 8-7 简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法8-8 8-8 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能88 概概 述述一、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用 表示。与 f 同向为正，反之为负。二、转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。三、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：=f（x）四、转角与挠曲线的关系：8 82 2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程式（2）就是挠曲线近似微分方程对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）1、微分方程的积分2、位移边界条件、支点位移条件：、连续条件：、光滑条件：例例 8-2-1 8-2-1：求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。：求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角 8 83 3 求求 梁梁 的的 挠挠 度度 与与 转转 角角 的的 共共 轭轭 梁梁 法法一、方法的用途：求一、方法的用途：求梁上指定点的挠度与转角。梁上指定点的挠度与转角。二、方法的理论基础：相似比拟。二、方法的理论基础：相似比拟。上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求弯矩与剪力的问题。三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）：三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）：x x 轴指向及坐标原点完全相同。：几何形状完全相同。：实梁对应方程：虚梁对应方程：虚梁“力”微分方程的积分下脚标带“0”的量均为坐标原点的量。实梁“位移”微分方程的积分：依实梁的“位移”边界条件建立虚梁的“力”边界条件。总总结结：等等截截面面实实梁梁与与虚虚梁梁的的关关系系：x 轴指向及坐标原点完全相同。：几何形状完全相同。：依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。a：固定端 自由端b：铰支座 铰支座c：中间铰支座 中间铰链：依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。解：建立坐标和虚梁例 8-3-1：求下列等截面直梁B点的位移（挠度和转角）。求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度求实梁的弯矩方程 以确定虚梁荷载求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度解：建立坐标和虚梁求虚梁B点的剪力和弯矩求实梁的弯矩方程以确定虚梁荷载求虚梁B点的剪力和弯矩C C点左右位移怎样？点左右位移怎样？：将截面的变化折算到弯矩之中去。：几何形状：长度不变，惯性矩变为I0。：实梁对应方程：虚梁对应方程：四、变截面直梁的共轭梁法：四、变截面直梁的共轭梁法：其它与等截面直梁完全相同。例 6-3-2：求下列变截面直梁C点的位移，已知：IDE=2IEB=2IAD。解：建立坐标和虚梁求虚梁B点的剪力和弯矩8-4 8-4 按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角一一、载载荷荷叠叠加加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。二二、结结构构形形式式叠叠加加（逐逐段段刚刚化化法法）：=+例64-1 按叠加原理求A点转角和C点挠度.解、载荷分解如图、由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。=+、叠加例84-2 按叠加原理求C点挠度.解、载荷无限分解如图、由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。、叠加例84-3 结构形式叠加（逐段刚化法)原理原理说明=+8-5 8-5 梁的刚度校核梁的刚度校核一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计载荷。但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）例85-1下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度.=+=+图图1 1图图2 2图图3 3解：结构变换，查表求简单 载荷变形。叠加求复杂载荷下的变形校核刚度8-6 8-6 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能例861用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？二、二、梁的冲击问题梁的冲击问题1、假设：冲击物为钢体；不计被冲击物的重力势能和动能；冲击物不反弹；不计声、光、热等能量损耗（能量守恒）。冲击前、后，能量守恒，所以：三、动响应计算：三、动响应计算：解：、求C点静挠度动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积.例862 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中点，求梁在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。、动荷系数、求C面的动应力8-7 8-7 简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。、几何方程变形协调方程解：、建立静定基确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。=、物理方程变形与力的关系、补充方程、求解其它问题（反力、应力、变形等）=、几何方程 变形协调方程：解：、建立静定基例871 结构如图，求B点反力。L LBCBC、物理方程变形与力的关系、补充方程、求解其它问题（反力、应力、变形等）L LBCBC8-8 8-8 如何提高梁的承载能力如何提高梁的承载能力强度：正应力：剪应力：刚度：稳定性：都与内力和截面性质有关。一、选择梁的合理截面一、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面一般的合理截面工字形截面与框形截面类似二、采用变截面梁二、采用变截面梁 如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：2、根据材料特性选择截面形状三、合理布置外力（包括支座），使三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。尽可能小。四、梁的侧向屈曲四、梁的侧向屈曲1、矩形纯弯梁的临界载荷2、工字钢形截面纯弯梁的临界载荷由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。五、选用高强度材料，提高许用应力值五、选用高强度材料，提高许用应力值 同类同类材料材料，“E”E”值相差不多值相差不多，“j xj x”相差较大相差较大，故故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。不同类材料，不同类材料，E E和和G G都相差很多（钢都相差很多（钢E=200GPa,E=200GPa,铜铜E=100GPaE=100GPa），），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的性的目的。但是，改换材料，其但是，改换材料，其原料费用原料费用也会随之发生很也会随之发生很大的改变！大的改变！