某师范大学数学分析课件

一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的 性质 无论是单元微积分还是多元微积分,其中所讨论的函数,最重要的一类就是连续函数.二元函数连续性的定义比一元函数更一般化了些;而它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质,二者完全相同.3二元函数的连续性数学分析第十六章多元函数的极限与连续*点击以上标题可直接前往对应内容一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的 数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社 定义11.1.连续性连续性若若只要只要,就有就有则称则称 f 关于集合关于集合 D 在点在点 连续连续.在不致误解的情形下在不致误解的情形下,也称也称 f 在点在点 连续连续.若若 f 在在 D 上任何点都关于集合上任何点都关于集合 D 连续连续,则称则称 f 为为 D 上的上的连续函数连续函数.3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质二元函数的连续性概念设 f 为定定义在点集在点集上的二元函数上的二元函数,后退 前进 目录 退出 定义11.连续性若只要,就有则称 f 关数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社由上述定义知道由上述定义知道:若若 是是 D 的孤立点的孤立点,则则 必定是必定是 若若 是是 D 的聚点的聚点,则则 f 关于集合关于集合 D 在点在点连续等价于连续等价于 如果如果 是是 D 的聚点的聚点,而而(2)式不成立式不成立(其含义与一元其含义与一元函数的对应情形相同函数的对应情形相同),则称则称 是是 f 的的不连续点不连续点(或或 特特别当当(2)式左式左边极限存在极限存在,但不等于但不等于 是是 f 的的可去间断点可去间断点.时时,3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质f 的连续点的连续点.称称间间断点断点).由上述定义知道:若 是 D 的孤立点,则 数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社又若把上述例又若把上述例3 的函数改为的函数改为上，上，其中其中 m 为固定实数为固定实数,亦即函数亦即函数 f 只定义在只定义在 因此因此 f 在原点沿着直线在原点沿着直线 是连续的是连续的3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质这时由于这时由于又若把上述例3 的函数改为上，其中 m 为固定实数,亦即数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社因此因此 此此时 f 在原点连在原点连在坐标原点的连续性在坐标原点的连续性例例1 讨论函数讨论函数 解解 由于当由于当 而当而当 不存在，不存在，此此时在原点在原点间断断 3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质续;因此 此时 f 在原点连在坐标原点的连续性例1 讨论函数数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社2.全增量与偏增量全增量与偏增量 设设量形式来描述连续性量形式来描述连续性,为函数为函数 f 在点在点 的全增量的全增量.时时,f 在点在点 连续连续.3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质和一元函数一样和一元函数一样,可用增可用增即当即当2.全增量与偏增量 设量形式来描述连续性,为函数 f 数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社如果在全增量中取如果在全增量中取 则相相应得到的得到的 增量称为偏增量增量称为偏增量,一般说来一般说来,全增量并不等于相应的两个偏增量之和全增量并不等于相应的两个偏增量之和.若一个偏增量的极限若一个偏增量的极限为零零,如如 则表示当固定表示当固定 时,作作为 x 的函数的函数,它它 固定固定 时时，在在 y0 连续.3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质分别记作分别记作则表示表示当当 同理同理,在在 x0 连续.如果在全增量中取 则相应得到的 增量称为偏增量,一般说来数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社容易证明容易证明:当当 f 在其定义域的内点在其定义域的内点 连续时连续时,在在 x0 与与 在在 y0 都都连续.由二元函数对单个自变量都连续，由二元函数对单个自变量都连续，函数的连续性函数的连续性(除非另外增加条件除非另外增加条件).在原点处显然不连续在原点处显然不连续,因此它在原点处对因此它在原点处对 x 和对和对 y 分别都连续分别都连续.3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质但是反但是反过来来,例如二元函数例如二元函数一般不能保证该一般不能保证该但由于但由于 f(0,y)=f(x,0)=0,容易证明:当 f 在其定义域的内点 连续时,在 x0 与数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社3.连续函数的局部性质连续函数的局部性质 以及相应的有理运算的各个法则以及相应的有理运算的各个法则.若二元函数在某一点连续若二元函数在某一点连续,则与一元函数一样则与一元函数一样,可以可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性复合函数的连续性定理复合函数的连续性定理,其余留给读者自己去练习其余留给读者自己去练习.3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质下面只证明二元下面只证明二元3.连续函数的局部性质 以及相应的有理运算的各个法则.数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社 定理16.7（复合函数连续性）则复合函数则复合函数 在点在点 P0 也连续也连续.使得当使得当 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,并在点并在点 Q0 连续连续,时时,有有3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质设函数函数和和 在点在点 的的某某邻域内有域内有定义定义,并在并在 点点 连续连续;f(u,v)在点在点证 由由 f 在点在点 Q0 连续可知：可知：其中其中 定理16.7（复合函数连续性）则复合函数 数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社又由又由 、在点在点 P0 连续可知可知:对上述上述 使使得当得当时时,有有综合起来综合起来,当当 时时,便有便有所以所以 在点在点 连续连续.3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质时时,有有又由 、在点 P0 连续可知:对上述 使得当时数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社 定理16.8（复合函数连续性）本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质.这可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广这可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.上有界上有界且能取得最大值与最小值且能取得最大值与最小值.倘若不然倘若不然,则 存存 使得使得 在在 3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质有界闭域上连续函数的性质若二元函数若二元函数 f 在在有界有界闭域域 上上连续,证 先先证明明 f 在在 D 上有界上有界.则则 f 在在 D,定理16.8（复合函数连续性）本段讨论有界闭域数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社于是得到一个有界点列于是得到一个有界点列,且能使且能使 中有无中有无 由聚点定理的推由聚点定理的推论,存在收存在收敛 子列子列 设又因又因 f 在在 D上连续上连续,当然在点当然在点 也连续也连续,这与不等式这与不等式(3)矛盾，所以矛盾，所以 f 是是 D上的有界函数上的有界函数.下面证明下面证明 f 在在 D 上能取到最大、小值上能取到最大、小值.3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质穷多个不同的点多个不同的点.因因 D 是是闭域域,从而从而 为此设为此设于是有于是有可可证必有一点必有一点 ,使使(同理可同理可证最小最小值)于是得到一个有界点列,且能使 中有无 由聚点定理的数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社如若不然如若不然,对任意任意 都都有有由前面的证明知道由前面的证明知道,F 在在 D上有界上有界.上达到上确界上达到上确界 M,使使.在在 D 上有界的结论相矛盾上有界的结论相矛盾,到最大值到最大值.3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质考察考察 D 上的正值连续函数上的正值连续函数 又因又因 f 不能在不能在 D 于是有于是有这导致与致与 F 所以存在收敛点列所以存在收敛点列从而证得从而证得 f 在在 D 上能取上能取 如若不然,对任意 都有由前面的证明知道,F 在 D数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社定理16.9（一致连续性定理）证证 本定理可参照第七章的方法本定理可参照第七章的方法,运用有限覆盖定理运用有限覆盖定理来证明来证明.这里我们用聚点定理证明这里我们用聚点定理证明.倘若倘若 f 在在 D 上上连续而不一致而不一致连续,则存在某存在某 对对于任意小的于任意小的 例如例如相应相应的的,虽然然 ,3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质若函数若函数 f 在有界闭域在有界闭域 上上连续,即即存在只依存在只依赖于于 的的必有必有 的的点点切切满足足致致连续.则则 f 在在 D 上一上一使得对一使得对一总有总有 定理16.9（一致连续性定理）证 本定理可数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社由于由于 D 为有界有界闭域域,因此存在收因此存在收敛子列子列并并设再在再在中取出与中取出与下下 标相同的子列标相同的子列 有有.这与与相矛盾相矛盾,上一致连续上一致连续.3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质但是但是 则因则因最后最后,由由 f 在在 P0 连续连续,得得 所以所以 f 在在 D 由于 D 为有界闭域,因此存在收敛子列并设再在中取出与下 数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社定理16.10（介值性定理）任意两点任意两点,且且则对任何满足不等式则对任何满足不等式证证 作辅助函数作辅助函数的实数的实数 ,必存在点必存在点易见易见 F 仍在仍在 D 上连续上连续,且由且由(4)式知道式知道下面证明必存在下面证明必存在,使使3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质设函数函数 f 在区域在区域上上连续,若若P1,P2 为 D 中中使得使得 定理16.10（介值性定理）任意两点,且则对数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社图 16-18 由于由于 D 为区域为区域,我们可以用有限段都在我们可以用有限段都在 D 中的折线中的折线 连结连结 P1 和和 P2 (如图如图 16-18).的函数值为的函数值为 0,则定理得证则定理得证.否则从一端开始逐段检查否则从一端开始逐段检查,在它两端的函数值异号在它两端的函数值异号.必定存在某直线段必定存在某直线段,使得使得 F 3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质若有某一个连接点所对应若有某一个连接点所对应图 16-18 由于 D 为区域,我们可以用有限段数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社不失一般性不失一般性,设连结设连结P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线段含的直线段含于于 D,在此直线段上在此直线段上,F 变为关于变为关于 t 的复合函数：的复合函数：由于由于 G 为为 0,1 上的一元连续函数上的一元连续函数,且且 3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质其方程为其方程为不失一般性,设连结P1(x1,y1),P2(x2,y数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社因此由一元函数根的存在定理因此由一元函数根的存在定理,在在(0,1)内存在一点内存在一点 使得使得记记则有则有,使得使得续函数续函数,则则 f(D)必定是一个区间必定是一个区间(有限或无限有限或无限).注注1 由定理由定理16.10 又可知道又可知道,若若 f 为区域为区域 D 上的连上的连3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质因此由一元函数根的存在定理,在(0,1)内存在一点 数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社有连通性的有连通性的.界闭集界闭集(证明过程无原则性变化证明过程无原则性变化).中所考察的点集中所考察的点集 D 只能假设是一区域只能假设是一区域,这是为了保这是为了保 证它具有连通性证它具有连通性,注注2 定理定理16.8 与与 16.9 中的有界闭域中的有界闭域 D 可以改为有可以改为有 例例3 3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质但是介值性定理但是介值性定理 而一般的开集或闭集是不一定具而一般的开集或闭集是不一定具 有连通性的.界闭数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社证证 由定理由定理16.9 知道知道这就证得这就证得3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质证 由定理16.9 知道这就证得3 二元函数的连续性 数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社复习思考题1.在一元函数连续性定义中在一元函数连续性定义中,如何如何引入引入“孤立点必为连续点孤立点必为连续点”这个概念？这个概念？这两种说法有何不同？你喜欢哪一种说法这两种说法有何不同？你喜欢哪一种说法?等函数都是在其定义区间上的连续函数等函数都是在其定义区间上的连续函数”.当引入了当引入了“孤立点必为连续点孤立点必为连续点”后，上述结论便可简单地说成后，上述结论便可简单地说成是是:“任何初等函数在其定义域上处处连续任何初等函数在其定义域上处处连续.”试讨论试讨论 2.在讨论一元初等函数时有一个重要结论在讨论一元初等函数时有一个重要结论:“任何初任何初 1.在一元函数连续性定义中,如何引入“孤立点必为连续点”