机器人的数学基础-教学课件

1提纲提纲2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示2.2 2.2 坐标变换坐标变换2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换 2Robotics 数学基础数学基础2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系B的三个单位主矢量xB,yB,zB相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.3Robotics 数学基础数学基础2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示 上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的.即 若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为4Robotics 数学基础数学基础2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示 这些旋转变换可以通过右图推导这是绕Z轴的旋转.其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果.5Robotics 数学基础数学基础2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示旋转矩阵的几何意义:1)可以表示固定于刚体上的坐标系B对参考坐标系的姿态矩阵.2)可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系B中的点的坐标 变换成A中点的坐标 .3)可作为算子,将B中的矢量或物体变换到A中.6Robotics 数学基础数学基础2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示，即7Robotics 数学基础数学基础2.2 2.2 坐标变换坐标变换1.1.平移坐标变换平移坐标变换 坐标系A和B具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢 量 满 足 下 式:8Robotics 数学基础数学基础2.2 2.2 坐标变换坐标变换2.2.旋转变换旋转变换 坐标系A和B有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系:9旋转矩阵-举例例1 已知转动坐标系OUVW中的两点aUVW(4，3，2)T和bUVW(6，2，4)T，若OUVW系统绕OZ 轴转动了60。，试求参考坐标系中的相应点axyz和bxyz。解 Robotics 数学基础数学基础10旋转矩阵-举例例2 已知参考坐标系OXYZ中的两点aXYZ(4，3，2)T和bXYZ(6，2，4)T，若OUVW系统绕OZ 轴转动了60。，试求转动坐标系中的相应点aUVW和bUVW。解 Robotics 数学基础数学基础11 合成旋转矩阵合成旋转矩阵:例例1：在动坐标中有一固定点：在动坐标中有一固定点 ，相对固，相对固定参考坐标系定参考坐标系 做如下运动：做如下运动：R（x,90）；）；R(z,90)；R(y,90)。求点。求点 在固定参考坐标系在固定参考坐标系 下的位置。下的位置。解解1：用画图的简单方法：用画图的简单方法 Robotics 数学基础数学基础12解解2：用分步计算的方法：用分步计算的方法 R（x,90）R（z,90）R（y,90）（2-14）（2-15）（2-16）Robotics 数学基础数学基础13 上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（结果。将式（2-14）（）（2-15）（）（2-16）联写为如下形式：）联写为如下形式：R3x3为二者之间的关系矩阵，我们令：为二者之间的关系矩阵，我们令：定义定义1：当动坐标系当动坐标系 绕固定坐标系绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换注意：旋转矩阵间不可以交换 Robotics 数学基础数学基础14旋转次序对变换结果的影响Robotics 数学基础数学基础15合成旋转矩阵为了表示绕为了表示绕OXYZOXYZ坐标系各轴的一连串有限转动，可把基本旋转矩阵连乘坐标系各轴的一连串有限转动，可把基本旋转矩阵连乘起来。由于矩阵乘法不可交换，故完成转动的次序是重要的。例如，先起来。由于矩阵乘法不可交换，故完成转动的次序是重要的。例如，先绕绕OXOX轴转轴转角，然后绕角，然后绕OZOZ袖转袖转角，再绕角，再绕OYOY转转角；表示这种转动的旋角；表示这种转动的旋转矩阵为转矩阵为 如果转动的次序变化为，先绕OY转角绕OX轴转角，然后绕OZ袖转角，再绕OX轴转角；表示这种转动的旋转矩阵为 Robotics 数学基础数学基础16除绕OXYZ参考系的坐标轴转动外，OUVW坐标系也可以绕它自己的坐标轴转动。这时，合成旋转矩阵可按下述简单规则求得：1.两坐标系最初重合，因此旋转矩阵是一个33单位矩阵I3。2如果OUVW坐标系绕OXYZ坐标系的一坐标轴转动，则可对上述旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵。3如果OUVW坐标系绕自己的一坐标铀转动，则可对上述旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵合成旋转矩阵规则先绕先绕OY轴转轴转 角，角，然后绕然后绕OW袖转袖转角，再绕角，再绕OU转转角；表示这种转角；表示这种转动的旋转矩阵为动的旋转矩阵为Robotics 数学基础数学基础17Robotics 数学基础数学基础2.2 2.2 坐标变换坐标变换3.3.复合变换复合变换 一般情况原点既不重和,方位也不同.这时有:(2-13)18Robotics 数学基础数学基础2.2 2.2 坐标变换坐标变换例例2.12.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合,首先B相对于A的ZA轴转30,再沿A的XA轴移动12单位,并沿A的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在B坐标系中的位置为BP=3,7,0,求它在坐标系A中的位置.19开始20一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标比例系数。式中式中i,j,k为为x,y,z 轴上的单位矢量，轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例为比例系数系数 显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为作为通用比例因子通用比例因子，它可取任意正值，但，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取在机器人的运动分析中，总是取w=1。列矩阵列矩阵Robotics 数学基础数学基础2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 -齐次坐标齐次坐标21例：可以表示为：可以表示为：V=3 4 5 1V=3 4 5 1T T 或或 V=6 8 10 2V=6 8 10 2T T 或或 V=-12 -16 -20 -4V=-12 -16 -20 -4T T Robotics 数学基础数学基础2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 -齐次坐标齐次坐标22 齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在OXYZ坐标系中表示是唯一的（x、y、z）而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。Robotics 数学基础数学基础2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 -齐次坐标齐次坐标23 几个特定意义的齐次坐标：0,0,0,nT坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 1 0 0 0T指向无穷远处的OX轴0 1 0 0T指向无穷远处的OY轴 0 0 1 0T指向无穷远处的OZ轴 这样，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可以用来规定矢量的方向。第四个元素非零时，代表点的位置；第四个元素为零时，代表方向。Robotics 数学基础数学基础2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 -齐次坐标齐次坐标24Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换1.1.齐次变换齐次变换 (2-13)式可以写为:(2-14)P点在A和B中的位置矢量分别增广为:而齐次变换公式和变换矩阵变为:(2-15,16)25Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换2.2.平移齐次坐标变换平移齐次坐标变换 AA分别沿B的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。例例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.26Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换3.3.旋转齐次坐标变换旋转齐次坐标变换将上式增广为齐次式：27Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 引入齐次变换后，连续的变换可以变成矩阵的连乘形式。计算简化。例2-4：U=7i+3j+2k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。例2-5：在上述基础上再平移（4，-3，7）。28举例说明：举例说明：例例1：动坐标系：动坐标系0起始位置与固定参考坐标系起始位置与固定参考坐标系0重合重合,动坐标动坐标系系0做如下运动：做如下运动：R(Z,90)R（y,90）Trans(4，-3,7)，求合成矩阵，求合成矩阵 解解1：用画图的方法：用画图的方法：Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换相对变换相对变换29解解2：用计算的方法：用计算的方法 以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：例例2：先先平平移移Trans(4,-3,7)；绕绕当当前前 轴轴转转动动90；绕当前绕当前 轴转动轴转动90；求合成旋转矩阵。；求合成旋转矩阵。（2-202-20）Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换相对变换相对变换30解解1：用画图的方法：用画图的方法 解解2：用计算的方法：用计算的方法（2-212-21）Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换相对变换相对变换31Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 由矩阵乘法没有交换性，可知变换次序对结果影响很大。32式式（2-202-20）和和式式（2-212-21）无无论论在在形形式式上上，还还是是在在结结果果上上都都是是一一致致的的。因因此此我们有如下的结论：我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2 2种情况：种情况：定定义义1 1：如如果果所所有有的的变变换换都都是是相相对对于于固固定定坐坐标标系系中中各各坐坐标标轴轴旋旋转转或或平平移移，则依次左乘，称为则依次左乘，称为绝对变换绝对变换。定义定义2 2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为次变换为依次右乘，称为相对变换相对变换。结结果果均均为为为为动动坐坐标标系系在在固固定定坐坐标标中中的的位位姿姿（位位置置+姿姿态态）。相相对对于于固固定定坐坐标系，标系，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。的结果，就应该用相反的顺序。Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换相对变换相对变换33Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换绕固定轴绕固定轴x-y-zx-y-z旋转旋转 RPYRPY角角34Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换z-y-xz-y-x欧拉角欧拉角 35Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换z-y-zz-y-z欧拉角欧拉角36Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换矩阵的几何意义齐次坐标变换矩阵的几何意义37习题习题1 1：O O与与O O初始重合，初始重合，O O作如下运动：作如下运动：绕绕Z Z轴转动轴转动3030 ；绕绕X X轴转动轴转动6060 ；绕绕Y Y轴转动轴转动9090 。求。求T T。38习题习题2 2：O O与与O O初始重合，初始重合，O O作如下运动：作如下运动：绕绕X X轴转动轴转动9090；绕绕w w轴转动轴转动9090；绕绕Y Y轴转动轴转动9090。求。求 T T；改变旋转顺序，动系如何旋转才能获得相同的改变旋转顺序，动系如何旋转才能获得相同的结果。结果。解解：解解：绕绕Z Z轴转动轴转动9090；绕绕X X轴转动轴转动9090；绕绕Y Y轴转动轴转动9090。解解：绕绕v v轴转动轴转动9090；绕绕u u轴转动轴转动9090；绕绕w w轴转动轴转动9090。39习题习题3 3：矢量矢量 在在O O中表示为中表示为 ，O O相对于相对于O O的的齐次变换为：齐次变换为：解：解：1 1）40解：解：2 2）解：解：3 3）41Robotics 数学基础数学基础2.4 2.4 物体的变换及物体的变换及 逆变换逆变换1.1.物体位置描述物体位置描述 物体物体可以由固定于其自身坐标系上的若干特征点描述。物体的变换也可通过这些特征点的变换获得。42Robotics 数学基础数学基础2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换1.1.物体位置描述物体位置描述43Robotics 数学基础数学基础2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换2.2.齐次坐标的复合变换齐次坐标的复合变换B相对于A:ABT;C相对于B:BCT;则C相对于A:44Robotics 数学基础数学基础2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换3.3.齐次坐标的逆变换齐次坐标的逆变换B相对于A:ABT;A相对于B:BAT;两者互为逆矩阵.求逆的办法:1.直接求ABT-12.简化方法45Robotics 数学基础数学基础2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换3.3.齐次坐标的逆变换齐次坐标的逆变换一般,若则46Robotics 数学基础数学基础2.4 2.4 物体的变换物体的变换 及逆变换及逆变换3.3.变换方程初步B:基坐标系T:工具坐标系S:工作台坐标系G:目标坐标系 或工件坐标系满足方程47习题习题4 4：如图所示，如图所示，1 1）写出）写出 、；2 2）求）求 解：解：1 1）48解解2 2）：根据定义）：根据定义2 2，绕自身旋转，右乘，绕自身旋转，右乘49Robotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换1.通用旋转变换公式求:绕从原点出发的f旋转角时的旋转矩阵.S:物体上固接的坐标系T:参考坐标系C:Z轴与f重合的辅助坐标系xTYTZTTCSzSf,ZcO50Robotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换在S上取一点p,其坐标为向量P,它绕T中直线f旋转角。1）将S上p点坐标变换到T中，其坐标为2）直接计算绕f旋转的坐标为，目前上式在T无法直接求。采取如下步骤：3）建立辅助坐标系C，使其Z轴与f重合。这样问题 变为绕ZC旋转。将S中的点p变换到C中，变换 为：4）在C中绕Z轴旋转有：5）将C中坐标变换回T中有，51Robotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换步骤2）和5）中的结果应该相同，即：由于C的Z轴与f重合,所以52Robotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换根据坐标轴的正交性,有令 ,则53Robotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换2.等效转角与转轴给出任一旋转变换,能够由上式求得进行等效旋转角的转轴.已知旋转变换R,R,令令R=R=Rot(f,),即有将上式对角线元素相加,并简化得54Robotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换非对角元素成对相减,有平方后有设 ,55Robotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换例2-7 一坐标系B与参考系重合,现将其绕通过原点的轴 转30,求转动后的B.以 ,代入算式,有56Robotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换一般情况,若f不通过原点,而过q点(qx,qy,qz),则齐次变换矩阵为:其中,57Robotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换例2-8 一坐标系B与参考系重合,现将其绕通过q=1,2,3T的轴 转30,求转动后的B.以 ,代入算式,有58Robotics 数学基础数学基础MatlabMatlab使用与矩阵计算使用与矩阵计算Matlab是美国Mathworks公司推出的数值计算软件.在数值计算及科学研究中,是其它语言无法相比的.其主要特点有:1.1.语言简洁紧凑语言简洁紧凑,使用方便灵活使用方便灵活,库含数极其丰富库含数极其丰富.2.2.具有非常多的矩阵函数具有非常多的矩阵函数,矩阵计算异常方便矩阵计算异常方便.3.3.具有多种功能的工具包具有多种功能的工具包.4.4.具有与具有与FORTRANFORTRAN、C C等同样多的运算符和结构控制指令的同等同样多的运算符和结构控制指令的同 时，语法限制却不严格，使程序设计很自由时，语法限制却不严格，使程序设计很自由.5.5.图形功能强大图形功能强大,数据可视化好数据可视化好.6.6.原程序和库函数代码公开原程序和库函数代码公开.但但.程序执行效率较低程序执行效率较低.本节主要介绍其矩阵计算在机器人分析中的应用本节主要介绍其矩阵计算在机器人分析中的应用.59Robotics 数学基础数学基础MatlabMatlab使用与矩阵计算使用与矩阵计算矩阵的输入:1)矩阵的直接输入.(操作)以 作为首尾,行分隔用”;”,元素分隔用”,”或空格.2)矩阵编辑器.(操作)先在工作区定义矩阵,用编辑器修改矩阵.3)用函数创建矩阵,如.(操作)zeros(m,n):zeros(m,n):零矩阵零矩阵 ones(m,n):ones(m,n):全部元素都为全部元素都为1 1的矩阵的矩阵 eye(m,n):eye(m,n):单位阵单位阵 randn(m,n):randn(m,n):正态分布的随机矩阵正态分布的随机矩阵 vander(A):vander(A):由矩阵由矩阵A A产生的产生的VandermondeVandermonde矩阵矩阵60Robotics 数学基础数学基础MatlabMatlab使用与矩阵计算使用与矩阵计算矩阵的计算矩阵的计算.(操作)1)1)加减加减2)2)转置转置3)3)乘法乘法4)4)除法与线性方程组除法与线性方程组5)5)逆逆6)6)幂和指数幂和指数61Robotics 数学基础数学基础MatlabMatlab使用与矩阵计算使用与矩阵计算例:计算:62Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.3:2.3坐标系坐标系BB初始与初始与AA重合重合,让让BB绕绕Z ZB B旋转旋转角角;然后再然后再绕绕X XB B转转角角.求把求把B BP P变为变为A AP P的旋转矩阵的旋转矩阵.63Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.3:2.3变化变化坐标系坐标系BB初始与初始与AA重合重合,让让BB绕绕Z ZB B旋转旋转角角;然后再然后再绕绕X XA A转转角角.求把求把B BP P变为变为A AP P的旋转矩阵的旋转矩阵.64Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.3:2.3变化变化坐标系坐标系BB初始与初始与AA重合重合,让让BB绕绕Z ZB B旋转旋转角角;然后再然后再绕绕X XA A转转角角.求把求把B BP P变为变为A AP P的旋转矩阵的旋转矩阵.65Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9将图将图(a)(a)变换到变换到(b).(b).66Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解一解一67Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解一解一68Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解一解一69Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解一解一70Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解一解一71Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解一解一72Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解二解二73Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解二解二74Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解二解二75Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解三解三76Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解三解三77Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解三解三78谢谢！谢谢！