时间变换14阶跃函数和冲激函数一课件

YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统第一章第一章 信号与系统信号与系统1.1 1.1 绪绪 言言 一、信号的概念一、信号的概念 二、系统的概念二、系统的概念1.2 1.2 信号的描述与分类信号的描述与分类 一、信号的描述一、信号的描述 二、信号的分类二、信号的分类1.3 1.3 信号的基本运算信号的基本运算 一、加法和乘法一、加法和乘法 二、时间变换二、时间变换1.4 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数 一、阶跃函数一、阶跃函数 二、冲激函数二、冲激函数 三、冲激函数的性质三、冲激函数的性质 四、序列四、序列(k)和和(k)1.5 1.5 系统的性质及分类系统的性质及分类 一、系统的定义一、系统的定义 二、系统的分类及性质二、系统的分类及性质 1.6 1.6 系统的描述系统的描述 一、连续系统一、连续系统 二、离散系统二、离散系统 1.7 LTI1.7 LTI系统分析方法概系统分析方法概 述述第一章 信号与系统1.1 绪 言 三、冲激函数的性质YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统 什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？一、信号的概念一、信号的概念1.消息消息(message):人们常常把来自外界的各种报道统称为人们常常把来自外界的各种报道统称为消息消息。2.信息信息(information):通常把消息中有意义的内容称为通常把消息中有意义的内容称为信息信息。本课程中对本课程中对“信息信息”和和“消息消息”两词不加严格两词不加严格区分。区分。1.1绪论绪论它是信息论中的一个术语。它是信息论中的一个术语。什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统3.信号信号(signal):信号信号是信息的载体。通过信号传递信息。是信息的载体。通过信号传递信息。信号我们并不陌生，如刚才铃声信号我们并不陌生，如刚才铃声声信号声信号，表示该上课了；，表示该上课了；十字路口的红绿灯十字路口的红绿灯光信号光信号，指挥，指挥交通；交通；电视机天线接受的电视信息电视机天线接受的电视信息电信电信号号；广告牌上的文字、图象信号等等。广告牌上的文字、图象信号等等。为了有效地传播和利用信息，常常为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信需要将信息转换成便于传输和处理的信号。号。3.信号(signal):信号是信息的载体。通过信号传递YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统二、系统的概念二、系统的概念 一般而言，一般而言，系统系统(system)(system)是指若干相互关联的事物组是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。合而成具有特定功能的整体。如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。物理装置常称为系统。系统的基本作用是对输入信号系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。要的输出信号。系统系统系统系统输入信号输入信号激励激励输出信号输出信号响应响应二、系统的概念 一般而言，系统(system)是指若干YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统1.2信号的描述和分类信号的描述和分类一、信号的描述一、信号的描述 信号信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。化的物理量。信号信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号讨论电信号-简称简称“信号信号”。电信号的基本形式电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法描述信号的常用方法（1 1）表示为时间的函数）表示为时间的函数 （2 2）信号的图形表示）信号的图形表示-波形波形“信号信号”与与“函数函数”两词常相互通用。两词常相互通用。1.2 信号的描述和分类一、信号的描述 信号是信息的YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统二、信号的分类二、信号的分类1.确定信号和随机信号确定信号和随机信号 可以用确定时间函数表示的信号，称为可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号确定信号或或规则规则信号信号。如正弦信号。如正弦信号。若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为一数值的概率，这类信号称为随机信号随机信号或或不确定信号不确定信号。电子。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信号。号。研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定信号。定信号。二、信号的分类1.确定信号和随机信号 可以用确定时间YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统2.连续信号和离散信号连续信号和离散信号 根据信号定义域的特点可分为根据信号定义域的特点可分为连续时间信号和离散时间信号连续时间信号和离散时间信号。在连续的时间范围内在连续的时间范围内(-t(-t）有定义的信号称为）有定义的信号称为连续连续时间信号时间信号，简称，简称连续信号连续信号。实际中也常称为。实际中也常称为模拟信号模拟信号。这里的这里的“连续连续”指函数的定义域指函数的定义域时间是连续的，但可时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。含间断点，至于值域可连续也可不连续。值域连续值域连续值域不值域不连续连续（1 1）连续时间信号：）连续时间信号：2.连续信号和离散信号 根据信号定义域的特点可分为连续YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统 仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号离散时间信号，简，简称称离散信号离散信号。实际中也常称为。实际中也常称为数字信号数字信号。这里的这里的“离散离散”指信号的定义域指信号的定义域时间是离散的，它只在某些时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。如右图的如右图的f(t)仅在一些离散时刻仅在一些离散时刻t tk k(k=(k=0,1,2,)0,1,2,)才有定义，其余时间无定义。才有定义，其余时间无定义。相邻离散点的间隔相邻离散点的间隔T Tk k=t tk+1k+1-t tk k可以相等也可以相等也可不等。通常取等间隔可不等。通常取等间隔T T，离散信号可表示，离散信号可表示为为f(kT)，简写为，简写为f(k)，这种等间隔的离散信，这种等间隔的离散信号也常称为号也常称为序列序列。其中。其中k称为称为序号序号。离散时间信号：离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统上述离散信号可简画为上述离散信号可简画为用表达式可写为用表达式可写为或写为或写为f(k)=，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，k=0k=0通常将对应某序号通常将对应某序号m的序列值称为第的序列值称为第m个样点的个样点的“样值样值”。上述离散信号可简画为用表达式可写为或写为f(k)=，0YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统3.周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号 周期信号周期信号(periodsignal)是定义在是定义在(-(-，)区间，每隔区间，每隔一定时间一定时间T T(或整数或整数N N），按相同规律重复变化的信号。），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号连续周期信号f(t)满足满足f(t)=f(t+mT)，m=0,1,2,离散周期信号离散周期信号f(k)满足满足f(k)=f(k+mN)，m=0,1,2,满足上述关系的最小满足上述关系的最小T T(或整数或整数N N)称为该信号的称为该信号的周期周期。不具有周期性的信号称为不具有周期性的信号称为非周期信号非周期信号。3.周期信号和非周期信号 周期信号(period sYANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统例例1 1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1 1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sint解：解：两个周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为的周期分别为T1和和T2，若其周期之比，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为仍然是周期信号，其周期为T1和和T2的最小公倍数。的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为1=2rad/s，T1=2/1=scos3t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为2=3rad/s，T2=2/2=(2/3)s由于由于T1/T2=3/2为有理数，故为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为为周期信号，其周期为T1和和T2的的最小公倍数最小公倍数2。（2）cos2t和和sint的周期分别为的周期分别为T1=s，T2=2s，由于，由于T1/T2为无为无理数，故理数，故f2(t)为非周期信号。为非周期信号。例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。解：两个YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统例例2 2 判断正弦序列判断正弦序列f(k)=sin(k)是否为周期信号，若是，确是否为周期信号，若是，确定其周期。定其周期。解解 f(k)=sin(k)=sin(k+2m)，m=0,1,2,式中式中称为正弦序列的数字角频率，单位：称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。由上式可见：由上式可见：仅当仅当2/为整数时为整数时，正弦序列才具有周期，正弦序列才具有周期N=2/。当当2/为有理数时为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N=M(2/)，M取使取使N为整数的最小整数。为整数的最小整数。当当2/为无理数时为无理数时，正弦序列为非周期序列。，正弦序列为非周期序列。例2 判断正弦序列f(k)=sin(k)是否为周期信号YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统例例3 3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1 1）f1(k)=sin(3k/4)+cos(0.5k)（2）f2(k)=sin(2k)解解 （1 1）sin(3k/4)和和cos(0.5k)的数字角频率分别为的数字角频率分别为1=3/4rad，2=0.5rad由于由于2/1=8/3，2/2=4为有理数，故它们的周期分别为为有理数，故它们的周期分别为N1=8，N1=4，故，故f1(k)为周期序列，其周期为为周期序列，其周期为N1和和N2的最小公倍数的最小公倍数8。（2 2）sin(2k)的数字角频率为的数字角频率为1=2rad；由于；由于2/1=为无理数，为无理数，故故f2(k)=sin(2k)为非周期序列为非周期序列。由上面几例可看出由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。两周期序列之和一定是周期序列。例3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。解（1YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统4能量信号与功率信号能量信号与功率信号将信号将信号f(t)施加于施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为电阻上，它所消耗的瞬时功率为|f(t)|2，在区间，在区间(,)的的能量能量和和平均功率平均功率定义为定义为（1）信号的能量）信号的能量E（2）信号的功率）信号的功率P若信号若信号f(t)的能量有界，即的能量有界，即E,则称其为则称其为能量有限信号能量有限信号，简称简称能量信号能量信号。此时。此时P=0若信号若信号f(t)的功率有界，即的功率有界，即P,则称其为则称其为功率有限信号功率有限信号，简称简称功率信号功率信号。此时。此时E=4能量信号与功率信号 将信号f(t)施加YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统相应地相应地，对于，对于离散信号离散信号，也有能量信号、功率信号之分。，也有能量信号、功率信号之分。若满足若满足的的离散信号离散信号，称为能量信号。，称为能量信号。若满足若满足的的离散信号离散信号，称为功率信号。，称为功率信号。时限信号时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号仅在有限时间区间不为零的信号)为能量信号为能量信号;周期信号周期信号属于功率信号，而属于功率信号，而非周期信号非周期信号可能是能量信号，也可可能是能量信号，也可能是功率信号。能是功率信号。有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如f(t)=et。相应地，对于离散信号，也有能量信号、功率信号YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统5一维信号与多维信号一维信号与多维信号从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为数，称为一维一维或或多维函数多维函数。语音信号语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这是可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号一维信号。而一张而一张黑白图像黑白图像每个点每个点(像素像素)具有不同的光强度，任一点又是具有不同的光强度，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函数，这是二维平面坐标中两个变量的函数，这是二维信号二维信号。还有更多维。还有更多维变量的函数的信号。变量的函数的信号。本课程只研究本课程只研究一维信号一维信号，且自变量多为时间。，且自变量多为时间。6因果信号与反因果信号因果信号与反因果信号常将常将t=0时接入系统的信号时接入系统的信号f(t)即在即在t0，则将，则将f()右移；否则左移。右移；否则左移。如如右移右移t t 1左移左移t t+1 2.平移 将 f(t)f(t tYANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统平移与反转相结合平移与反转相结合法一：法一：先平移先平移f(t)f(t+2)再反转再反转f(t+2)f(t+2)法二：法二：先反转先反转f(t)f(t)画出画出f(2t)。再平移再平移f(t)f(t+2)左移左移右移右移=f(t 2)注意：是对注意：是对t 的变换！的变换！平移与反转相结合法一：先平移f(t)f(t+2YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统3.3.尺度变换（横坐标展缩）尺度变换（横坐标展缩）将将f(t)f(a t)，称为对信号称为对信号f(t)的的尺度变换尺度变换。若若a 1，则波形沿横坐标压缩；若，则波形沿横坐标压缩；若0a 1，则展开，则展开。如。如t 2t压缩压缩t 0.5t展开展开对于离散信号，由于对于离散信号，由于f(a k)仅在为仅在为a k为为整数整数时才有意义，时才有意义，进行尺进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。3.尺度变换（横坐标展缩）将 f(t)YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统平移、反转、尺度变换相结合平移、反转、尺度变换相结合已知已知f(t)，画出，画出f(42t)。三种运算的次序可任意。但一三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间定要注意始终对时间t 进行。进行。压缩，得压缩，得f(2t 4)反转，得反转，得f(2t 4)右移右移4，得，得f(t 4)平移、反转、尺度变换相结合已知f(t)，画出 f(4YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统压缩，得压缩，得f(2t)右移右移2，得，得f(2t 4)反转，得反转，得f(2t 4)也可以先压缩、再平移、最后反转。也可以先压缩、再平移、最后反转。压缩，得f(2t)右移2，得f(2t 4)反转，得fYANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统若已知若已知f(42t)，画出，画出f(t)。反转，得反转，得f(2t 4)展开，得展开，得f(t 4)左移左移4，得，得f(t)若已知f(4 2t)，画出 f(t)。反转YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统1.4阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数阶跃函数阶跃函数和和冲激函数冲激函数不同于普通函数，称为不同于普通函数，称为奇异函数奇异函数。研究。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。将直观地引出阶跃函数和冲激函数。一、阶跃函数一、阶跃函数下面采用求函数序列极限的方下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。法定义阶跃函数。选定一个函数序列选定一个函数序列n(t)如图所示。如图所示。n 1.4 阶跃函数和冲激函数 阶跃函数和冲激函数不同于YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统阶跃函数性质：阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号）可以方便地表示某些信号f(t)=2(t)-3(t-1)+(t-2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间）用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分）积分阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号 f(t)=2YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统二、冲激函数二、冲激函数单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由（由狄拉克狄拉克最早提出）最早提出）也可采用下列也可采用下列直观定义直观定义：对：对n(t)求导得求导得到如图所示的矩形脉冲到如图所示的矩形脉冲pn(t)。高度无穷大，宽度无穷小，高度无穷大，宽度无穷小，面积为面积为1的对称窄脉冲。的对称窄脉冲。二、冲激函数 单位冲激函数是个奇异函数，它是对YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统冲激函数与阶跃函数关系：冲激函数与阶跃函数关系：可见，引入冲激函数之后，可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如间断点的导数也存在。如f(t)=2(t+1)-2(t-1)f(t)=2(t+1)-2(t-1)求导求导nn冲激函数与阶跃函数关系：可见，引入冲激函数之后，间断点的导数YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统三、冲激函数的性质三、冲激函数的性质1.1.与普通函数与普通函数 f(t)的乘积的乘积取样性质取样性质若若f(t)在在t=0、t=a处存在，则处存在，则f(t)(t)=f(0)(t)，f(t)(t a)=f(a)(t a)0(t)三、冲激函数的性质 1.与普通函数 f(t)的乘积取YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统2.2.冲激函数的导数冲激函数的导数(t)（也称冲激偶）（也称冲激偶）f(t)(t)=f(0)(t)f(0)(t)证明：证明：f(t)(t)=f(t)(t)+f(t)(t)f(t)(t)=f(t)(t)f(t)(t)=f(0)(t)f(0)(t)(t)的定义：的定义：(n)(t)的定义：的定义：2.冲激函数的导数(t)（也称冲激偶）f(t)YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统3.3.(t)的尺度变换的尺度变换证明见教材证明见教材P20推论推论:(1)(2t)=0.5(t)(2)当当a=1时时所以，所以，(t)=(t)为偶函数，为偶函数，(t)=(t)为奇函数为奇函数 3.(t)的尺度变换证明见教材P20推论:(1)(YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统已知已知f(t)，画出，画出g(t)=f(t)和和g(2t)求导，得求导，得g(t)压缩，得压缩，得g(2t)已知f(t)，画出g(t)=f(t)和 g(2t)YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统4.4.复合函数形式的冲激函数复合函数形式的冲激函数实际中有时会遇到形如实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数，其中的冲激函数，其中f(t)是是普通函数。并且普通函数。并且f(t)=0有有n个互不相等的实根个互不相等的实根ti(i=1，2，n)f(t)图示说明：图示说明：例例f(t)=t24(t24)=1(t+2)+(t2)4.复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如fYANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统(t 24)=1(t+2)+(t2)一般地，一般地，这表明，这表明，f(t)是位于各是位于各ti处，强度为处，强度为的的n个冲激函个冲激函数构成的冲激函数序列。数构成的冲激函数序列。注意注意：如果：如果f(t)=0有重根，有重根，f(t)无意义。无意义。(t 2 4)=1(t+2)+(t 2YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统这两个序列是普通序列。这两个序列是普通序列。（1）单位）单位(样值样值)序列序列(k)的定义的定义取样性质：取样性质：f(k)(k)=f(0)(k)f(k)(k k0)=f(k0)(k k0)例例三、序列三、序列(k)和和(k)这两个序列是普通序列。（1）单位(样值)序列(k)的定义取YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统（2）单位阶跃序列）单位阶跃序列(k)的定义的定义（3）(k)与与(k)的关系的关系(k)=(k)(k 1)或或(k)=(k)+(k 1)+（2）单位阶跃序列(k)的定义（3）(k)与(k)的关YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统1.5系统的性质及分类系统的性质及分类一、系统的定义一、系统的定义若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。特定功能的整体称为系统。电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于全部。电路、系统两词通用。侧重于全部。电路、系统两词通用。二、系统的分类及性质二、系统的分类及性质可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的分类法。对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的分类法。1.5 系统的性质及分类一、系统的定义 若干YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统1.1.连续系统与离散系统连续系统与离散系统若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为信号，则称该系统为连续时间系统连续时间系统，简称为，简称为连续系统连续系统。若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为系统为离散时间系统离散时间系统，简称为，简称为离散系统离散系统。2.2.动态系统与即时系统动态系统与即时系统若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为与它过去的历史状况有关，则称为动态系统动态系统或或记忆系统记忆系统。含。含有记忆元件有记忆元件(电容、电感等电容、电感等)的系统是动态系统。否则称的系统是动态系统。否则称即时即时系统系统或或无记忆系统无记忆系统。3.3.单输入单输出系统与多输入多输出系统单输入单输出系统与多输入多输出系统1.连续系统与离散系统 若系统的输入信号是连续YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统4.4.线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统满足线性性质的系统称为满足线性性质的系统称为线性系统线性系统。（1 1）线性性质）线性性质系统的激励系统的激励f()所引起的响应所引起的响应y()可简记为可简记为 y()=Tf()线性性质包括两方面：线性性质包括两方面：齐次性齐次性和和可加性可加性。若系统的激励若系统的激励f()增大增大a倍时，其响应倍时，其响应y()也增大也增大a倍，即倍，即T af()=aT f()则称该系统是则称该系统是齐次的齐次的。若系统对于激励若系统对于激励f1()与与f2()之和的响应等于各个激励所引起之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即的响应之和，即 T f1()+f2()=Tf1()+Tf2()则称该系统是则称该系统是可加可加的的。4.线性系统与非线性系统满足线性性质的系统称为线性系统。（YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的线性的，即即Taf1()+bf2()=aTf1()+bTf2()（2 2）动态系统是线性系统的条件）动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励动态系统不仅与激励f()有关，而且与系统的初始有关，而且与系统的初始状态状态x(0)有关。有关。初始状态也称初始状态也称“内部激励内部激励”。完全响应可写为完全响应可写为y()=Tf(),x(0)零状态响应为零状态响应为yf()=Tf(),0零输入响应为零输入响应为yx()=T0，x(0)若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，（2）动态系YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：零状态线性零状态线性：Taf(),0=aTf(),0Tf1(t)+f2(t),0=Tf1(),0+Tf2(),0或或Taf1(t)+bf2(t),0=aTf1(),0+bTf2(),0零输入线性零输入线性：T0,ax(0)=aT0,x(0)T0,x1(0)+x2(0)=T0,x1(0)+T0,x2(0)或或T0,ax1(0)+bx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0)可分解性可分解性：y()=yf()+yx()=Tf(),0+T0，x(0)当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：零状态线性：YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统例例1：判断下列系统是否为线性系统？：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2f(t)解解：（1）yf(t)=2f(t)+1，yx(t)=3x(0)+1显然，显然，y(t)yf(t)yx(t)不满足可分解性，故为非线性不满足可分解性，故为非线性（2）yf(t)=|f(t)|，yx(t)=2x(0)y(t)=yf(t)+yx(t)满足可分解性；满足可分解性；由于由于Taf(t),0=|af(t)|ayf(t)不满足零状态线性。故不满足零状态线性。故为非线性系统。为非线性系统。（3）yf(t)=2f(t),yx(t)=x2(0)，显然满足可分解性；，显然满足可分解性；由于由于T0,ax(0)=ax(0)2ayx(t)不满足零输入线性。故为非不满足零输入线性。故为非线性系统。线性系统。例1：判断下列系统是否为线性系统？解：（1）yf(t)YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统例例2：判断下列系统是否为线性系统？判断下列系统是否为线性系统？解：解：y(t)=yf(t)+yx(t)，满足可分解性；满足可分解性；Taf1(t)+bf2(t),0=aTf1(t),0+bTf2(t),0，满足零状态线性；，满足零状态线性；T0,ax1(0)+bx2(0)=e-tax1(0)+bx2(0)=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0),满足零输入线性；满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。所以，该系统为线性系统。例2：判断下列系统是否为线性系统？解：y(t)=yfYANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统5.5.时不变系统与时变系统时不变系统与时变系统满足时不变性质的系统称为满足时不变性质的系统称为时不变系统时不变系统。（1 1）时不变性质）时不变性质若系统满足输入延迟多少时间，其若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间，即若零状态响应也延迟多少时间，即若T0，f(t)=yf(t)则有则有T0，f(t-td)=yf(t-td)系统的这种性质称为系统的这种性质称为时不变性时不变性（或（或移移位不变性位不变性）。）。5.时不变系统与时变系统满足时不变性质的系统称为时不变系统YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统例例：判断下列系统是否为时不变系统？：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yf(k)=f(k)f(k 1)（2）yf(t)=t f(t)（3）yf(t)=f(t)解解(1)令令g(k)=f(k kd)T0，g(k)=g(k)g(k 1)=f(k kd)f(kkd1)而而yf(k kd)=f(k kd)f(kkd1)显然显然T0，f(k kd)=yf(k kd)故该系统是时不变的。故该系统是时不变的。(2)令令g(t)=f(t td)T0，g(t)=t g(t)=t f(t td)而而yf(t td)=(t td)f(t td)显然显然T0，f(t td)yf(t td)故该系统为时变系统。故该系统为时变系统。例：判断下列系统是否为时不变系统？解(1)令g(k)=YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统(3)令令g(t)=f(t td),T0，g(t)=g(t)=f(t td)而而yf(t td)=f(t td)，显然，显然T0，f(t td)yf(t td)故该系统为时变系统。故该系统为时变系统。直观判断方法：直观判断方法：若若f()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。时变系统。(3)令g(t)=f(t td),直观判断方法YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统（2 2）LTI连续系统的微分特性和积分特性连续系统的微分特性和积分特性 本课程重点讨论线性时不变系统本课程重点讨论线性时不变系统(LinearTime-Invariant)，简称，简称LTI系统。系统。微分特性：微分特性：若若f(t)yf(t)，则则f(t)y f(t)积分特性：积分特性：若若f(t)yf(t)，则则（2）LTI连续系统的微分特性和积分特性 本课程重点讨YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统6.6.因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统因果系统。即对因果系统，当即对因果系统，当tt0，f(t)=0时，有时，有tt0，yf(t)=0。如下列系统均为如下列系统均为因果系统因果系统：yf(t)=3f(t1)而下列系统为而下列系统为非因果系统非因果系统：(1)yf(t)=2f(t+1)(2)yf(t)=f(2t)因为，令因为，令t=1时，有时，有yf(1)=2f(2)因为，若因为，若f(t)=0，tt0，有，有yf(t)=f(2t)=0,t0；当当x(0-)=2，输入信号，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应时，全响应y2(t)=2et+3cos(t)，t0；求输入求输入f3(t)=+2f1(t-1)时，系统的零状态响应时，系统的零状态响应y3f(t)。解解设当设当x(0)=1，输入因果信号，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应时，系统的零输入响应和零状态响应分别为和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)。当。当x(0-)=2，输入信号，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。例 某LTI因果连续系统，起始状态为x(0)。已知，当xYANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统由题中条件，有由题中条件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=et+cos(t)，t0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=2et+3cos(t)，t0（2）根据线性系统的齐次性，根据线性系统的齐次性，y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代，代入式（入式（2）得）得y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=2et+3cos(t)，t0（3）式式(3)2式式(1)，得，得y1f(t)=4e-t+cos(t)，t0由于由于y1f(t)是因果系统对因果输入信号是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故的零状态响应，故当当t0，y1f(t)=0；因此；因此y1f(t)可改写成可改写成y1f(t)=4e-t+cos(t)(t)(4)由题中条件，有YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统f1(t)y1f(t)=4e-t+cos(t)(t)根据根据LTI系统的微分特性系统的微分特性=3(t)+4sin(t)(t)根据根据LTI系统的时不变特性系统的时不变特性f1(t1)y1f(t1)=4+cos(t1)(t1)由线性性质，得：当输入由线性性质，得：当输入f3(t)=+2f1(t1)时，时，y3f(t)=+2y1(t1)=3(t)+4sin(t)(t)+24+cos(t1)(t1)f1(t)y1f(t)=4e-t+cos(YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统7.7.稳定系统与不稳定系统稳定系统与不稳定系统一个系统，若对有界的激励一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应所产生的零状态响应yf(.)也是有界时，则称该系统为也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定有界输入有界输出稳定，简称，简称稳定稳定。即即若若f(.)，其，其yf(.)则称系统是稳定的。则称系统是稳定的。如如yf(k)=f(k)+f(k-1)是稳定系统；而是稳定系统；而是不稳定系统。是不稳定系统。因为，当因为，当f(t)=(t)有界，有界，当当t时，它也时，它也，无界。，无界。7.稳定系统与不稳定系统 一个系统，若对有YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统1.5系统的描述系统的描述描述连续动态系统的数学模型是描述连续动态系统的数学模型是微分方程微分方程，描述离散动，描述离散动态系统的数学模型是态系统的数学模型是差分方程差分方程。一、连续系统一、连续系统1.1.解析描述解析描述建立数学模型建立数学模型图示图示RLC电路，以电路，以uS(t)作激励，以作激励，以uC(t)作为响应，作为响应，由由KVL和和VAR列方程，并整理得列方程，并整理得二阶常系数线性微分方程。二阶常系数线性微分方程。1.5 系统的描述 描述连续动态系统的数学模YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统抽去具有的物理含义，微分方程写成抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。其中，其中，k为弹簧常数，为弹簧常数，M为物体质量，为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其为物体偏离其平衡位置的位移，平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运为初始外力。其运动方程为动方程为能用相同方程描述的系统称能用相同方程描述的系统称相似系统相似系统。抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统2.2.系统的框图描述系统的框图描述上述方程从上述方程从数学角度数学角度来说代表了某些运算关系：来说代表了某些运算关系：相乘、微相乘、微分、相加运算分、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号表示。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为称为模拟框图模拟框图，简称，简称框图框图。基本部件单元基本部件单元有：有：积分器：积分器：加法器：加法器：数乘器：数乘器：积分器的抗干扰性比微积分器的抗干扰性比微分器好。分器好。2.系统的框图描述上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统系统模拟系统模拟：实际系统实际系统方程方程模拟框图模拟框图实验室实现（模拟系统）实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计指导实际系统设计例例1：已知：已知y”(t)+ay(t)+by(t)=f(t)，画框图。，画框图。解：将方程写为解：将方程写为y”(t)=f(t)ay(t)by(t)系统模拟：实际系统方程模拟框图例1：已知y”(t)+YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统例例2：已知：已知y”(t)+3y(t)+2y(t)=4f(t)+f(t)，画框图。，画框图。解：该方程含解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数设辅助函数x(t)满足满足x”(t)+3x(t)+2x(t)=f(t)可推导出可推导出y(t)=4x(t)+x(t)，它满足原方程它满足原方程。例2：已知y”(t)+3y(t)+2y(t)=4YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统例例3：已知框图，写出系统的微分方程。：已知框图，写出系统的微分方程。设辅助变量设辅助变量x(t)如图如图x(t)x(t)x”(t)x”(t)=f(t)2x(t)3x(t),即即x”(t)+2x(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x(t)+3x(t)根据前面，逆过程，得根据前面，逆过程，得y”(t)+2y(t)+3y(t)=4f(t)+3f(t)例3：已知框图，写出系统的微分方程。设辅助变量x(t)如图xYANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统二、离散系统二、离散系统1.1.解析描述解析描述建立差分方程建立差分方程例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元元/元，求元，求第第k个月初存折上的款数。个月初存折上的款数。设第设第k个月初的款数为个月初的款数为y(k),这个月初的存款为这个月初的存款为f(k),上个月初的上个月初的款数为款数为y(k-1)，利息为，利息为y(k-1),则则y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)即即y(k)-(1+)y(k-1)=f(k)若设开始存款月为若设开始存款月为k=0，则有，则有y(0)=f(0)。上述方程就称为上述方程就称为y(k)与与f(k)之间所满足的差分方程。所谓之间所满足的差分方程。所谓差差分方程分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数差分方程的阶数。上述为上述为一阶差分方程一阶差分方程。二、离散系统1.解析描述建立差分方程例：某人每月初在银YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统由由n阶差分方程描述的系统称为阶差分方程描述的系统称为n阶系统。阶系统。描述描述LTI系统的是线性常系数差分方程。系统的是线性常系数差分方程。2.2.差分方程的模拟框图差分方程的模拟框图基本部件单元基本部件单元有：有：数乘器，加法器，迟延单元（移位器）数乘器，加法器，迟延单元（移位器）例例：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？并写出方程的阶数。并写出方程的阶数。（1）y(k)+(k1)y(k1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k1)=f2(k)（3）y(k)+2y(k1)=f(1k)+1解解：判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线：判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。时不变的。线性、时变，一阶线性、时变，一阶非线性、时不变，二阶非线性、时不变，二阶非线性、时变，一阶非线性、时变，一阶由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。2.差分方程的模拟框YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统例：已知框图，写出系统的差分方程。例：已知框图，写出系统的差分方程。解：解：设辅助变量设辅助变量x(k)如图如图x(k)x(k-1)x(k-2)即即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去消去x(k)，得，得y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)2x(k-1)3x(k-2)方程方程框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。例：已知框图，写出系统的差分方程。解：设辅助变量x(k)如图YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统1.7LTI系统分析概述系统分析概述系统分析研究的系统分析研究的主要问题主要问题：对给定的具体系统，求出它对给：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。答。系统的系统的分析方法分析方法：输入输出法（外部法）输入输出法（外部法）状态变量法状态变量法（内部法）（内部法）（chp.8)外部法外部法时域分析（时域分析（chp.2,chp.3)变换域法变换域法连续系统连续系统频域法频域法(4)和和复频域法复频域法(5)离散系统离散系统z域法域法（chp6)系统特性系统特性：系统函数系统函数（chp.7)1.7 LTI系统分析概述 系统分析研究的主要问题YANGTZE NORMAL UNIVERSITY物理学及电子信息工程系物理学及电子信息工程系第一章信号与系统第一章信号与系统（1）把）把零输入响应零输入响应和和零状态响应零状态响应分开求。分开求。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：