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偏微分方程偏微分方程常微分方程组常微分方程组分离变量分离变量 本征值问题本征值问题广义傅立叶级数广义傅立叶级数勒让德多项式勒让德多项式贝塞耳函数贝塞耳函数（特殊函数特殊函数）特殊函数特殊函数勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、超几何，合流超几何等函数。超几何，合流超几何等函数。2一般的球函数一般的球函数球函数方程：球函数方程：球函数球函数（l 称作球函数的阶称作球函数的阶）：）：10.1 10.1 轴对称球函数轴对称球函数3轴对称轴对称拉普拉拉普拉斯斯方程的求解方程的求解4（一）勒让德多项式（一）勒让德多项式处有限处有限（1 1）代数表示）代数表示则对则对约定最高次幂系数约定最高次幂系数5勒让德多项式：勒让德多项式：小于、等于小于、等于l/2的最大整数的最大整数。每项每项总含总含 x x唯一不含唯一不含 x 的项的项67勒让德多项式的图象勒让德多项式的图象8(2)(2)微分表示（罗德里格斯公式）微分表示（罗德里格斯公式）证：证：9(3)(3)积分表示（施列夫积分）积分表示（施列夫积分）由科西公式由科西公式C 绕绕 z=x 点点。设半径为设半径为C 上上10即即第二类勒让德函数第二类勒让德函数勒让德方程的一般解勒让德方程的一般解由朗斯基行列式导出第二个线性独立解由朗斯基行列式导出第二个线性独立解11在在x=1处均发散处均发散本征值本征值 v=0,1,2,3,在在 x=0点邻域内，两个线性无关解点邻域内，两个线性无关解附录附录附录附录4 4：对于一般的：对于一般的：对于一般的：对于一般的 v v值，两个解在值，两个解在值，两个解在值，两个解在 x x=1 1 处均对数发散处均对数发散处均对数发散处均对数发散12（三）（三）正交关系正交关系（四）（四）模模习题习题9.3（5）P261在在 x=1点邻域内，两个线性无关解点邻域内，两个线性无关解第一类勒让德函数第一类勒让德函数第二类勒让德函数第二类勒让德函数在在 x=1点解析点解析在在 x=1点点发散发散若还要求在若还要求在 x=-1点有界点有界，本征值本征值 v=0,1,2,3,x=1点有界点有界13第一项为零，即第一项为零，即进行进行 l 次分步积分后次分步积分后只有最高次幂才不为零，故只有最高次幂才不为零，故再逐次进行分步积分，得再逐次进行分步积分，得即即14（五）广义傅立叶级数（五）广义傅立叶级数定义在区间定义在区间-1,1的函数的函数f(x)可以展开为广义傅立叶级数可以展开为广义傅立叶级数 展开系数为展开系数为或区间或区间 0,的函数的函数 f()展开为展开为系数为系数为勒让德多项式的完备性：任意一个在区间勒让德多项式的完备性：任意一个在区间-1,1中分段连续的中分段连续的函数函数f(x)，在平均收敛意义下，可展开为级数在平均收敛意义下，可展开为级数平均收敛：平均收敛：1516正交性正交性正交性应用例题正交性应用例题模模例例1：在在-1,1中将中将 展开为广义傅立叶级数展开为广义傅立叶级数。解：解：比较比较展开式最多含三阶勒让德多项式。展开式最多含三阶勒让德多项式。17例例2是奇函数：是奇函数：x=1为二阶零点为二阶零点18因因找出找出项，它在项，它在 x=0 才不为零才不为零19例例3解：解：由轴对称由轴对称球内含球内含所以所以（六）拉普拉斯方程的轴对称定解问题（六）拉普拉斯方程的轴对称定解问题边界条件与角边界条件与角 无关，可以推断无关，可以推断解也与角解也与角 无关。故无关。故m=0边界条件：边界条件：20例例 4定解问题：定解问题：偶延拓：偶延拓：或或或或2122例例 5均匀电场中放置介电常数均匀电场中放置介电常数的球，求介质球的球，求介质球内、外内、外的电场的电场解：解：无穷远处有边界条件，无穷远处有边界条件，球面处有衔接条件。球面处有衔接条件。取球坐标，取球坐标，z-方向沿方向沿轴对称拉普拉斯问题轴对称拉普拉斯问题内外分别讨论，然后连接起来内外分别讨论，然后连接起来边界条件：边界条件：衔接条件：衔接条件：Internal:External:电势连续：电势连续：电位移连续：电位移连续：有限有限23轴对称拉普拉斯方程解的一般形式：轴对称拉普拉斯方程解的一般形式：球内球内 有限：有限：球外球外无穷远边值：无穷远边值：24利用衔接条件：利用衔接条件：解得解得25球内电场强度：球内电场强度：26（七）母函数（七）母函数定义：定义：叫勒让德多项式的叫勒让德多项式的母函数。母函数。电荷在单位球的北极。电荷在单位球的北极。求球内任一点电势。求球内任一点电势。它又是拉普拉斯方程的内解：它又是拉普拉斯方程的内解：令令故故27令令所以所以半径半径 R 的球：的球：球外球外28例例6解：解：利用已知结果。利用已知结果。导体内：等势。导体内：等势。导体外：导体外：无导体时有导体时，设有导体时，设接地接地29又又是是 处电荷处电荷 的电势。这个电荷叫原电荷的的电势。这个电荷叫原电荷的镜像镜像。是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。30（八）递推公式（八）递推公式两边对两边对r求导求导或或两边同幂两边同幂 的系数的系数递推递推公式公式3132母函数应用：母函数应用：勒让德多项式模的计算勒让德多项式模的计算10.2 10.2 连带勒让德函数连带勒让德函数（一）函数（一）函数设设(1)(1)表达式表达式33(2)(2)微分表示微分表示情况：情况：二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定边界条件的本二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定边界条件的本征解只有一个，故这两个解只相差一个常数。征解只有一个，故这两个解只相差一个常数。比较最高次幂系数比较最高次幂系数34(3)(3)积分表示积分表示（二）正交关系（二）正交关系（三）模（三）模多次分步积分：多次分步积分：（四）广义傅立叶级数（四）广义傅立叶级数3536连带勒让德函数连带勒让德函数以以 为基，再为基，再-1,1-1,1区间展开函数区间展开函数例例1例例237项系数有贡献项系数有贡献项系数有贡献项系数有贡献每项含有每项含有x3810.3 10.3 一般的一般的球函数球函数（一）（一）球函数球函数（二）正交关系（二）正交关系（三）模（三）模（四）球面上的广义傅立叶级数（四）球面上的广义傅立叶级数39例例1例例2注意：注意：40例例3偶极矩的电场中的电势偶极矩的电场中的电势解解沿x轴41沿沿y轴轴沿沿z轴轴m=0沿任意方向沿任意方向(五五)拉普拉斯方程的非轴对称解拉普拉斯方程的非轴对称解例例4球内解球内解42其余其余边界条件：边界条件：例例5球外解球外解43四极矩四极矩取分量：取分量：一个偶极一个偶极矩的电势矩的电势两个偶极两个偶极矩的电势矩的电势偶极矩偶极矩44一般的一般的45加法公式：加法公式：用一般球函数用一般球函数展开展开复数形式复数形式矢量矢量OP与与OM的标积的标积归一化球函数归一化球函数46
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