数学建模-第一篇-数学建模简介课件

第第一篇一篇 数学建模初步数学建模初步1 数学建模简介数学建模简介2 数学建模实例数学建模实例 2.1 人口预报问题人口预报问题 2.2 椅子能在不平的地面上放稳椅子能在不平的地面上放稳？2.3 双层玻璃的功效双层玻璃的功效1.1.3 3 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤2.4 数学模型的分类数学模型的分类玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征1 数学建模简介数学建模简介我们常见的模型我们常见的模型数学模型数学模型(Mathematical Model)和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展；数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。“所谓高科技就是一种数学技术所谓高科技就是一种数学技术”在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数数学建模的基本方法数学建模的基本方法背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长2.1 人口预报问题人口预报问题2 数学建模实例数学建模实例指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式常用的计算公式x(t)时刻时刻t的的人口人口模型模型假设假设今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数建立模型建立模型模型求解模型求解参数估计参数估计模型检验模型检验指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大模型假设模型假设r固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是x的减函数的减函数建立模型建立模型dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型模型求解模型求解参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1790 1800 1810 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 150.7 179.3 204.0 226.5专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型r=0.2072,xm=464模型检验模型检验用阻滞增长模型预测用阻滞增长模型预测1800-1990的人口数的人口数模型应用模型应用用用1790-1990年数据年数据r=0.2083,xm=457.6x(2000)=275 x(2010)=297.9 2 2 数学建模实例数学建模实例2.2 2.2 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。模型建立模型建立用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称的对称性性xBADCODC B A 用用(对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位表示椅子位置置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是是连续连续函数函数对任意对任意,f(),g()至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在证明：存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.模型建立模型建立地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0，f(0)0，知知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本质假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f(),g()的确的确定定2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数建建模模热传导定律热传导定律Q1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差,d材料厚度材料厚度,k热传导系热传导系数数2.3 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数建模建模记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比k1=4 10-3 8 10-3,k2=2.5 10-4,k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的的减少量减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2=16建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4,则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量损失。的热量损失。结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数导系数 k2 2,而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大双层窗的功效不会如此之大3 3 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践4 数学模型的分类数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态人口、交通、经济、生态 数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性表现特性描述、优化、预报、决策描述、优化、预报、决策 建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续怎样学习数学建模怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目近几年全国大学生数学建模竞赛题近几年全国大学生数学建模竞赛题 怎样撰写数学建模的论文？怎样撰写数学建模的论文？1、摘要、摘要:问题、模型、方法、结果问题、模型、方法、结果2、问题重述、问题重述4、分析与建立模型、分析与建立模型5、模型求解、模型求解6、模型检验、模型检验7、模型推广、模型推广8、参考文献、参考文献9、附录、附录3、模型假设、模型假设谢谢 谢！谢！