数学变换5资料课件

第二章第二章 傅里叶分析与信号频谱傅里叶分析与信号频谱 信号分析和处理的最重要和最基本的工具：信号分析和处理的最重要和最基本的工具：傅立叶分析傅立叶分析=傅立叶级数+傅立叶积分把一个复杂信号分解成许多简单的正弦信号的叠加。这些正弦信号的频率是已知的，相应的振幅和相位则可由原始信号确定。信号频谱：信号频谱：基本思想：基本思想：这些频率、振幅和相位称之为信号的频谱。时间域频率域研究信号的特征。如果在周期内 满足狄里赫利(Dirichlet)条件，那么在 上可以把x(t)展开成三角形式的傅里叶级数。第一节第一节 傅里叶级数与离散频谱傅里叶级数与离散频谱一、三角型傅里叶级数一、三角型傅里叶级数设周期信号为x(t),周期为T第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱1.一个周期内处处连续，或者只有有限个第一类间断点，即在间断点t0处，左极限x(t0)和右极限x(t0+)具有有限值，并且在间断点t0处有：狄里赫勒条件：狄里赫勒条件：（实际遇到的信号都满足）（实际遇到的信号都满足）2.一个周期内只有有限个极大值、极小值；3.一个周期内绝对可积，即第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱其中其中由傅里叶级数知识，有由傅里叶级数知识，有1.一般要单独计算；一般要单独计算；2.只在只在0它的倍频上才可能有频率分量它的倍频上才可能有频率分量；如0=10KHz，则20KHz，30KHz，上有频率分量。表示的物理意义是周期信号的直流分量直流分量。第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱 3.、是是n的函数的函数，它一定不含有它一定不含有t。(对于一个确定的n来说,它是个常数不是t的函数)注意：注意：第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱傅里叶傅里叶级数表明数表明，任意一个复杂的周期信号只要满足狄里赫利条件，都可以分解成许多不同振幅、不同频率的正弦信号和余弦信号及直流分量之和。第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱 则只含有常数项则只含有常数项 和余弦项和余弦项。第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱二、傅氏级数展开的几种特殊情形二、傅氏级数展开的几种特殊情形1.x(t)在在 内是实偶函数内是实偶函数：奇函数在对称区间内奇函数在对称区间内积分为零。积分为零。类似地第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱2.x(t)在在 内是实奇函数内是实奇函数：则只含有正弦项。则只含有正弦项。奇函数，关于原点对称，奇函数，关于原点对称，类似地有类似地有所以，傅氏级数又可写成工程上常用的形式其中其中三、三、傅立叶级数的离散频谱傅立叶级数的离散频谱由于由于第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱或者或者其中其中任何满足狄里赫勒条件的周期信号可以表示为任何满足狄里赫勒条件的周期信号可以表示为直直流分量流分量（频率为零）和一系列的（频率为零）和一系列的正弦分量正弦分量之和。之和。第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱这里：这里：An 称为振幅谱 n 称为相位谱 因为它们是以0为基频间隔的离散值，因此成为离散谱。第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱三、傅氏级数的复数形式三、傅氏级数的复数形式前面的三角形傅氏级数使用不太方便，由前面的三角形傅氏级数使用不太方便，由欧拉公式：欧拉公式：代入三角形傅氏级数中去，有代入三角形傅氏级数中去，有第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱这里令这里令 而而 是实数。是实数。代入，整理得：代入，整理得：第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱让第三项n从-1到-，则式中：cn 称为傅立叶级数的复系数 对复数形式的傅里叶级数复数形式的傅里叶级数第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱注意：注意：信号的频率表示信号变化的快慢的物理信号的频率表示信号变化的快慢的物理量，都是正值。但公式中出现负频率，这里量，都是正值。但公式中出现负频率，这里 负频率的出现无物理意义，只是数学表达。负频率的出现无物理意义，只是数学表达。这是由复数引起的，是从实数形式的傅里叶级数这是由复数引起的，是从实数形式的傅里叶级数过渡到复数形式的傅里叶级数时，由复数来表示过渡到复数形式的傅里叶级数时，由复数来表示正弦和余弦函数而引起的。正弦和余弦函数而引起的。同一同一 n n 值的正负频值的正负频率分量总是共轭出现，其和才是一个频率分量的率分量总是共轭出现，其和才是一个频率分量的值。值。任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数 信号信号 之和，其各分量的复振幅为之和，其各分量的复振幅为第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱讨论如何确定讨论如何确定 cn：cn 是傅立叶级数的复系数，它完全由信号x(t)来确定。对x(t)的复数傅立叶级数展开式，两边同乘以e-j m0，并在 区间上进行积分，则有第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱对于积分 ，0=2f0=2/T，则考虑一下积分考虑一下积分e-jn0为正交函数系为正交函数系为正交函数系为正交函数系第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱由此可知：等式右边的求和中只剩下n=m一项，即cm T=cm Tcm 与c-m为共轭复数 第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱考虑一下除了上述方法，是有否别的方法可以考虑一下除了上述方法，是有否别的方法可以确定系数确定系数cn？从系数cn的最初定义入手：第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱综合cn 与c-n的结果，则有第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱有限区间t0，t0+T上的函数x(t)在满足狄里赫利条件时，可以展开成傅里叶级数(Fourier Series)式中 傅里叶级数展开定理：傅里叶级数展开定理：第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱存在有存在有三种三种不同形式的不同形式的Fourier级数级数怎样去怎样去理解理解它们它们?第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱第一种表达式的第一种表达式的优点优点：物理意义最直观；物理意义最直观；缺点缺点：表达式中的参数项不易计算表达式中的参数项不易计算。可以直接计算上面两种表达式中对应的参数；可以直接计算上面两种表达式中对应的参数；但其物理意义不是十分明显。但其物理意义不是十分明显。这样建立了第一、二两种表达式之间的关系这样建立了第一、二两种表达式之间的关系第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱复数型傅氏级数比三角型傅氏级数优点复数型傅氏级数比三角型傅氏级数优点：公式紧凑公式紧凑 缺点：缺点：产生了负频率产生了负频率复数型傅氏级数与三角型傅氏级数：复数型傅氏级数与三角型傅氏级数：n的取值范围不同的取值范围不同 此时的频率相当于一种数学表述；此时的频率相当于一种数学表述；正、负频率正、负频率的的两种信号两种信号共同构成共同构成对应频率的对应频率的物理信号物理信号。第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱例如，例如，第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱令：则：同理可以推导出第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱为有限区间 上信号 的离散频谱离散频谱(Spectrum)由于 中的n代表了n次谐波（即该波对应的频率为 ）,的绝对值、幅角分别表示了谐波的振幅和相位，因此，我们称 为有限区间 上信号 的离散振幅谱离散振幅谱为有限区间 上信号 的离散相位谱离散相位谱为纵坐标作出的图形称为为纵坐标作出的图形称为振幅谱振幅谱。它直观地表。它直观地表示出信号所含各谐波分量振幅的相对大小。如示出信号所含各谐波分量振幅的相对大小。如图所示。图所示。若以频率若以频率(角频率角频率)为横坐标，以各谐波振幅为横坐标，以各谐波振幅 图中，每条竖线代表该频图中，每条竖线代表该频率分量的振幅，称为率分量的振幅，称为谱线谱线。连接各谱线顶点的曲线称连接各谱线顶点的曲线称为为包络线包络线，它反映了各分，它反映了各分量振幅变化的情况。量振幅变化的情况。.第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱类似地，可作出各谐波初相角与频率的线图，类似地，可作出各谐波初相角与频率的线图，称为称为相位谱相位谱。两者合称。两者合称频谱频谱图。图。一个一个周期信号周期信号与它的与它的频谱频谱（幅度频谱和相（幅度频谱和相位频谱）之间存在位频谱）之间存在一一对应一一对应的关系。的关系。.第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱（时域）（时域）（频域）（频域）已知已知 求求 称为称为正变换正变换：反之，称为反之，称为反变换反变换：是一对变换对。是一对变换对。(可见，非常紧凑可见，非常紧凑)AT例例1：试求如图所示的周期矩形脉冲信号的三：试求如图所示的周期矩形脉冲信号的三角型，复数型傅里叶级数角型，复数型傅里叶级数.第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱2.复数型傅立叶级数复数型傅立叶级数第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱这里：这里：An 称为离散振幅谱；n 称为离散相位谱 四、周期信号傅氏级数的频谱四、周期信号傅氏级数的频谱称为离散振幅谱称为离散相位谱三角形式：三角形式：复数形式：复数形式：单边谱与双边谱的关系单边谱与双边谱的关系：1.振幅谱：振幅谱：直流分量一样，其它情况双边谱直流分量一样，其它情况双边谱 振幅是单边谱振幅的一半。振幅是单边谱振幅的一半。2.相位谱两者在相位谱两者在n0时相同。时相同。3.双边振幅谱双边振幅谱偶对称偶对称，相位谱，相位谱奇对称奇对称。1.周期信号的周期信号的单边谱和双边谱单边谱和双边谱由于指数型傅里叶谱在正负频率处均存在，故由于指数型傅里叶谱在正负频率处均存在，故它又叫它又叫双边谱双边谱，三角型傅里叶谱又叫，三角型傅里叶谱又叫单边谱单边谱。第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱 0 1 2 31-1-3 0 1 2 31 0 2 3单边谱单边谱 2 3-3 -2 双边谱第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱2.周期信号频谱的特点：周期信号频谱的特点：1）离散性离散性 频谱由不连续的谱线组成，每一条线代表频谱由不连续的谱线组成，每一条线代表一个正弦分量，这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱。一个正弦分量，这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱。2）谐波性谐波性 每条谱线只能出现在基波频率的整数倍的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍的频率上，频谱中不可能存在任何频率为基波频率非整数频率上，频谱中不可能存在任何频率为基波频率非整数倍的分量；倍的分量；3）收敛性收敛性 各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的。数的增高而逐渐减小的。第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱在在时域时域中是中是连续的周期函数连续的周期函数，它的频谱，它的频谱在在频域频域中是中是离散的非周期函数离散的非周期函数。3、周期信号的功率谱周期信号的功率谱周期信号是功率信号，其平均功率是周期信号是功率信号，其平均功率是平均功率也可在频域中计算第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱周期信号的平均功率可以在频域中由傅里叶复系数确定，周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。和各次谐波分量的平均功率之和。帕什瓦尔定理帕什瓦尔定理第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱的关系称为周期信号的称为周期信号的功率频谱，功率频谱，简称简称功率谱。功率谱。又可写成 0 1 2 31-1-3功率谱功率谱0.25 0 1 2 31-1-3功率谱仅与振幅谱有关，功率谱仅与振幅谱有关，与相位谱无关与相位谱无关。第一节第一节 傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数与离散频谱第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱第二章第二章 傅立叶分析与信号频谱傅立叶分析与信号频谱讨论了周期信号的分析，在实际工作中将会遇到很多非周期信号。(而周期信号本身也可以看成是一般信号的特例)对非周期信号建立傅立叶表示的思路对非周期信号建立傅立叶表示的思路：首先，从周期信号取周期无限大的极限来看待非周期信号。然后，将研究这个周期信号傅立叶级数表达式的极限特性的方法来讨论非周期信号的傅立叶变换。有限区间 上的信号 在一定条件下可以展开成Fourier级数（Fourier Series）其中其中第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱一、傅立叶积分一、傅立叶积分第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱 当有限区间变化成无限区间 时，情况又如何？问题出现了：问题出现了：1、随着重复周期T的增大,则信号谱线间隔 相应地渐趋密集；2、当 T周期信号已经向非周期信号转化；3、0 0，频谱的谱线无限密集，离散频谱变成了连续频谱。第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱有限区间 上的信号xT(t)的傅氏级数的形式:(n为整数)第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱当周期T时，区间变成t(-,+），xT(t)成为非周期信号x(t)。令=2/T表示频谱间隔，=(n+1)0-n0=0，则有第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱当T，0时，n次谐波的频率n0连续从-变到+，记=n0。令则有第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱一一对应一一对应X()称为称为x(t)的傅立叶的傅立叶Fourier变换；变换；x(t)称为称为X()的傅立叶的傅立叶Fourier逆变换。逆变换。傅里叶积分傅里叶积分第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱 一般情况下，我们总是用自变量为t的小写函数代表信号；而用其对应的大写字母表示所对应信号的连续傅里叶变换（自变量为）。注意：信号与其频谱表达式中的一一对应关系一一对应关系：第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱有些书上用有些书上用频率频率f 表示的傅立叶积分变换：表示的傅立叶积分变换：第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱与周期信号分解为傅里叶级数类似，非周期信号进行傅里叶变换同样要满足一定的条件。傅立积分存在条件：傅立积分存在条件：1.在任何有限区间内处处连续，或者只有有限个第一类间断点，即在间断点t0处，左极限x(t0)和右极限x(t0+)具有有限值，并且在间断点t0处有：狄里赫勒条件狄里赫勒条件2.在任何有限区间内，只有有限个极大值、极小值；3.x(t)绝对可积，即第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱二、信号的频谱二、信号的频谱1.1.傅里叶级数的物理意义：傅里叶级数的物理意义：周期信号可周期信号可表述为表述为无限多频率分量的无限多频率分量的离散和离散和。2.2.傅里叶变换的物理意义：傅里叶变换的物理意义：非周期信号可非周期信号可表述为表述为无限多频率分量的无限多频率分量的连续和连续和。非周期信号x(t)是由频率为的谐波 通过积分形式叠加而成的，频率是从-连续变到+，而频率为的谐波的振幅和初相位完全由 来确定，而对于不同的频率，相同，因此X()才真正反映不同频率谐波的振幅和初相位，我们称X()是信号x(t)的连续频谱连续频谱，简称为频谱。第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱（1）傅里叶级数代表的是有限区间上的信号由无限项离散谐波 叠加而成；傅里叶积分则是在无限区间上由频率为的谐波 通过积分叠加而来的。（2）在傅里叶变换中，频率是从-一直连续地变化为+，其对应的连续频谱为 X()d（因为频率是连续取值的）。由于在积分变换中微分量的d是固定不变的，只有X()才是真正地反映了信号随频率的变化情况，因此习惯上我们称 X()为信号x(t)的连续频连续频谱谱。（准确地讲，应该是频谱密度(Spectrum Density)），简称为频谱。对比傅里叶级数与傅里叶积分的表达式：对比傅里叶级数与傅里叶积分的表达式：第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱周期信号和非周期信号的傅立叶变换的关系：周期信号和非周期信号的傅立叶变换的关系：一个周期信号的傅氏系数cn能够利用等于周期信号的一个周期内的非周期信号的傅立叶变换X()的等间隔样本来表示。设 为周期信号傅氏系数为cn；令x(t)为非周期信号，等于某一个周期内的 (sts+T)。对于周期信号由于x(t)在(sts+T)以外都为零。第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱形象地说，形象地说，周期信号周期信号xT(t)与与频谱频谱cn之间存在着之间存在着一一对应的关系，即一一对应的关系，即1T/T0时域时域：连续、周期连续、周期频域频域：离散、非周期离散、非周期而非周期信号而非周期信号x(t)与频谱与频谱X X()之间存在一一对之间存在一一对应的关系：应的关系：10/T时域时域：连续、非周期连续、非周期频域频域：连续、非周期连续、非周期第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱 式中 频谱X()一般是复函数，可以写成是频谱X()的实部。是频谱X()的虚部。第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱 式中 频谱X()用复数形式表示，可以写成称为信号x(t)的振幅谱称为信号x(t)的相位谱第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱三、傅里叶变换的几种特殊情况三、傅里叶变换的几种特殊情况 从数学上来说，函数x(t)可以是实数，也可以是复数。一般情况把x(t)的实部记为x1(t)，虚部记为x2(t)，即其傅里叶变换为第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱其傅里叶反变换为：其傅里叶反变换为：，则其实部和虚部的得形式为：第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱1、实时间函数、实时间函数 x(t)是实函数，则x(t)=x1(t),x2(t)=0。因此，其频谱的实部和虚部分别为：偶函数即奇函数 第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱由此，当信号由此，当信号x(t)为为实函数实函数时，频谱时，频谱X X()是是共轭对共轭对称函数，称函数，其振其振幅谱幅谱为为偶函数偶函数；相位谱为；相位谱为奇函数奇函数。对于对于振幅谱：对于相位谱：第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱证明：1)由于X()是共轭对称函数，则反之，若信号反之，若信号x(t)的频谱频谱X X()是是共轭对称函共轭对称函数数时时，则信号则信号x(t)为为实函数实函数。第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱2、虚时间函数、虚时间函数 x(t)是纯虚函数，则x(t)=jx2(t),x1(t)=0。因此，其频谱的实部和虚部分别为：即 奇函数偶函数第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱由此，当信号由此，当信号x(t)为为纯虚函数纯虚函数时，频谱时，频谱X X()是是共轭奇共轭奇对称函数，对称函数，其振其振幅谱幅谱为为偶函数偶函数；相位谱为；相位谱为奇函数奇函数。对于对于振幅谱：对于相位谱：反之，若信号反之，若信号x(t)的频谱频谱X X()是是共轭奇对称函数共轭奇对称函数时时，x(t)为为纯虚函数纯虚函数。第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱3、实偶函数、实偶函数 x(t)是实偶函数，则x(t)=x(-t),x2(t)=0。因此，其频谱的实部和虚部分别为：=0=0此时，R(-)=R()；则则实偶函数的频谱也是实偶函数实偶函数的频谱也是实偶函数。第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱由此可知，若实由此可知，若实函数函数x(t)的频谱是的频谱是实函数，实函数，则则x(t)一定是一定是偶函数偶函数。x(t)的傅立叶反变换为：第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱4、实奇函数、实奇函数 x(t)是实奇函数，则x(t)=-x(-t)。因此，其频谱的实部和虚部分别为：=0=0此时，-I(-)=I()；则实奇函数的频谱是虚奇函数实奇函数的频谱是虚奇函数。进而可知，若实进而可知，若实函数函数x(t)的频谱是的频谱是纯虚函数，纯虚函数，则则x(t)一定是一定是奇函数奇函数。第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱 实偶函数和实奇函数的傅里叶变换的特点在求某些函数的傅里叶变换中很有用，因为任一实函数总能分解为奇函数和偶函数之和。由于xe(t)为偶函数，所以Xe()是实函数；xo(t)为奇函数，Xo()为虚函数。第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱因此有进而有相应的傅氏反变换有第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱 5、虚偶函数和虚奇函数、虚偶函数和虚奇函数当当x(t)是是虚偶函数虚偶函数时，其傅里叶变换是时，其傅里叶变换是虚偶函虚偶函数；数；反之，反之，虚偶函数虚偶函数的反傅里叶变换也是的反傅里叶变换也是虚偶虚偶函数；函数；和实时间函数的推导类似，同理有：当当x(t)是是虚奇函数虚奇函数时，其傅里叶变换是时，其傅里叶变换是实奇实奇函数；函数；反之，反之，实奇函数实奇函数的反傅里叶变换是的反傅里叶变换是虚虚奇函数。奇函数。第二节第二节 傅立叶积分与连续频谱傅立叶积分与连续频谱 实偶实偶 实偶实偶 实奇实奇 虚奇虚奇虚偶虚偶 虚偶虚偶虚奇虚奇 实奇实奇 综合上面的傅立叶变换的奇偶性质，有：综合上面的傅立叶变换的奇偶性质，有：1、矩形脉冲、矩形脉冲A矩形脉冲的有效带宽:0-0-第三节第三节 基本信号的频谱基本信号的频谱第三节第三节 基本信号的频谱基本信号的频谱2、三角形脉冲、三角形脉冲0相位频谱相位频谱频谱频谱第三节第三节 基本信号的频谱基本信号的频谱3、单边指数脉冲、单边指数脉冲第三节第三节 基本信号的频谱基本信号的频谱4、双边指数脉冲双边指数脉冲第三节第三节 基本信号的频谱基本信号的频谱5、单位冲激信号单位冲激信号01第三节第三节 基本信号的频谱基本信号的频谱t(1)0根据傅里叶反变换式得到下面积分式 可以获得积分：此方法所得到的结论是正确的，此方法所得到的结论是正确的，但方法是不好的，不能推广。但方法是不好的，不能推广。第三节第三节 基本信号的频谱基本信号的频谱6、正负号信号正负号信号01-1可见，高斯脉冲信号的频谱仍为高斯脉冲。可见，高斯脉冲信号的频谱仍为高斯脉冲。特别地，若特别地，若 ,有有7.7.高斯脉冲高斯脉冲(钟形脉冲钟形脉冲)信号信号第三节第三节 基本信号的频谱基本信号的频谱1、线性线性1 11 1-1-12 23 3-2-2=-2-22 22 21 11 1-1-1例例第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质（注意：它不能用（注意：它不能用指数衰减函数取极指数衰减函数取极限的方法）限的方法）或：第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质t102、对称性对称性第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质所以有：若 则 第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质规范方法：123第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质A00第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质例：求常数例：求常数A的傅里叶变换。的傅里叶变换。第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质得由故有也就是说，只有零处才有一条谱线，其余应该有谱线的地方又恰好是抽样函数的零交点。第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质下面，再与周期矩形脉冲的傅氏级数联系起来。若 ，则由傅氏级数的复系数1T此例说明了傅氏变换将周期、非周期信号此例说明了傅氏变换将周期、非周期信号统一在一起了。统一在一起了。此时此时 不为无限小量而为有限量，故不为无限小量而为有限量，故有有第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质一般地，一般地，能量信号的傅氏变换能量信号的傅氏变换一定没有一定没有冲激函数；而冲激函数；而功率信号的傅氏变换功率信号的傅氏变换往往有往往有冲激函数。冲激函数。第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质123第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质解：第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质3、比例性（尺度变换）、比例性（尺度变换）第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质令x=at第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质令x=at特别，当a=-1时，有反转性质反转性质第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质此性质说明：f(at)表示时间信号f(t)在时间域压缩了a倍，则其频谱F(/a)表示 F()在频率域里扩展了a倍；反之亦然。也可以表示：信号越宽，其所占频带范围越窄；反之，信号越窄，其所占频带范围越宽。第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质（附加相移附加相移）4、时移性、时移性(时移因子）时移因子）第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质T-T第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质既尺度又时移既尺度又时移：证明：由定义证明：由定义第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质注意下面的推理注意下面的推理是错误的是错误的：1.1.2.2.第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质例：若例：若5、频移性（调制定理）、频移性（调制定理）第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质(频移因子频移因子)注意：不是乘以注意：不是乘以调制调制定理定理第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质2A0WA02W第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质振幅调制一般用振幅调制一般用乘法器乘法器来实现：来实现：第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质振幅调制又称振幅调制又称幅度调制幅度调制，除此之外，还有，除此之外，还有频频率调制率调制，相位调制相位调制等。等。通信技术中，未经调制的信号（基带信号）经通信技术中，未经调制的信号（基带信号）经电缆传输后，可能因衰减太大，在接收端得到电缆传输后，可能因衰减太大，在接收端得到的接收信号很难分清究竟是信号还是噪声。距的接收信号很难分清究竟是信号还是噪声。距离较远时必须先进行调制，即离较远时必须先进行调制，即把频谱搬移把频谱搬移，然，然后传输，到达目的地后再解调（反调制）。后传输，到达目的地后再解调（反调制）。此外，幅度调制还是此外，幅度调制还是频分多路复用频分多路复用的基础。的基础。第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质如果如果 f(t)=1，可得虚指数信号的频谱。可得虚指数信号的频谱。由由得得和和(频移因子频移因子)第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质一般周期信号的频谱一般周期信号的频谱两边取傅里叶变换两边取傅里叶变换周期信号的傅氏变换或频谱密度，是由无穷多个冲激所组成，这些冲激位于谐频 处，第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质对于周期信号一般对于周期信号一般不要用不要用下面的方法：下面的方法：两边取傅里叶变换，用时移性：两边取傅里叶变换，用时移性：这样，周期信号的傅氏变换或频谱密度，无法这样，周期信号的傅氏变换或频谱密度，无法用无穷多个位于用无穷多个位于 的冲激函数来表示。的冲激函数来表示。第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质由频移特性，可得由频移特性，可得由公式由公式第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质余弦信号的频谱图余弦信号的频谱图正弦信号的频谱图正弦信号的频谱图或或第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质6、卷积定理卷积定理(1)时域卷积时域卷积第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质证明：证明：第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质(2)频域卷积频域卷积第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质7、时域微分、时域微分进而，重复求导有：第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质8、时域积分、时域积分证明：证明：再利用时域卷积性质第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质表明表明函数在时域中的微分或积分对应于其频谱在频域中乘以或除以第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质9、频域微分、频域微分重复求导得：第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质10、共轭性质、共轭性质对于复时间函数x(t),如果其频谱为X()，那么其共轭函数x*(t)的频谱为X*()，即 证明：设复信号 第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质11、帕什瓦尔等式帕什瓦尔等式它描述平均功率随频率的分布情况。它描述平均功率随频率的分布情况。平均功率也可以在频域内获得，称为平均功率也可以在频域内获得，称为帕什瓦帕什瓦尔定理：尔定理：周期信号周期信号 的平均功率为的平均功率为称为功率信号的称为功率信号的功率谱功率谱。第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质1.能量信号：有能量谱密度；能量信号：有能量谱密度；2.功率信号：有功率谱密度。功率信号：有功率谱密度。下面讨论在频域中如何计算能量？下面讨论在频域中如何计算能量？能量信号的能量定义为能量信号的能量定义为非周期信号有非周期信号有第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质对于对于 为实函数的情况，有为实函数的情况，有 ，得，得第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质由由上式称为上式称为帕什瓦尔等式帕什瓦尔等式，或能量等式。，或能量等式。表明：能量信号的能量不仅可以从时域中求取，表明：能量信号的能量不仅可以从时域中求取，也可以从频域中求取。也可以从频域中求取。曲线称为信号的曲线称为信号的能量谱曲线能量谱曲线定义：定义：为为能量谱密度能量谱密度。简称能。简称能量谱。量谱。第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质可以理解为信号的能量是由其所有频率分量的贡可以理解为信号的能量是由其所有频率分量的贡献而合成的，信号的总能量是献而合成的，信号的总能量是 轴上轴上的积分值。的积分值。显然，显然，能量谱只与信号的幅度谱有关能量谱只与信号的幅度谱有关，与相位，与相位谱无关。谱无关。如如A第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质如信号如信号上式可以帮助我们计算一些积分。上式可以帮助我们计算一些积分。且由帕什瓦尔等式可得且由帕什瓦尔等式可得可以方便的求出积分的值来。可以方便的求出积分的值来。第四节第四节 频谱的基本性质频谱的基本性质 连续傅立叶级数中信号的分布为有限区间，其对应的是无限个离散频谱；很显然，连续傅立叶积分是连续傅立叶级数的一个特例。那么，它们之间存在着什么样的关系呢？这正是我们此处所要讲解的内容。当此有限区间趋于无穷大时，连续傅立叶级数就变成了连续傅立叶积分，原来的无限离散频谱由于其间隔是无限小从而变成为连续频谱。第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理一、傅立叶级数与傅立叶积分之间的关系 从总体上来看，傅立叶积分变换中信号与其频谱的表达式具有很好的对称性；而傅立叶级数变换中则没有。可以认为傅立叶积分变换是傅立叶级数变换的一个特例。傅立叶积分变换中信号对应的是无穷区间；傅立叶级数变换对应的是有限区间。第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理从信号的角度来分析：从信号的角度来分析：相同点：如果我们将积分看作为无限项叠加之和的形式，那么在傅立叶级数和傅立叶积分中的信号均可以表示成无限多个简谐波的叠加；只不过在傅立叶级数中简谐波的系数为 cn，而在傅立叶积分中简谐波的系数为X()d(微分d可以被认为是常数)。不同点：傅立叶级数中的信号在其定义区间内是等同于原信号的，在其它区间则表现为一个周期函数；傅立叶积分中的信号是定义在无限区间内的，因此，该信号可以不是周期信号。第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理从频谱的角度来分析：从频谱的角度来分析：相同点：均为信号与简谐波乘积的积分结果。不同点：傅立叶级数中的谱所对应的频率是离散取值的；傅立叶积分中的谱所对应的频率是连续取值的。第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理不同点：不同点：在傅立叶级数中，复杂波分解为简谐波的叠加，谐波的频率是取一系列离散值n0，0为基频，其它频率都是它的整倍数，因此谐波的叠加是离散叠加，以求和的方式来表示。由于这些离散频率谐波有一个共同的周期，所以离散叠加的傅立叶级数表示一个周期为T的周期信号。在傅立叶积分中，复杂信号分解为简谐波的叠加，谐波的频率取任意值，从-+连续地变化，因此谐波的叠加是连续叠加，以积分的形式来表示。因为这些谐波之间可以有不同的周期，所以连续叠加后的傅立叶积分表示的是一个非周期信号。第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理二、连续频谱与离散频谱的关系在傅立叶变换中，频谱X()反映了频率为的谐波的振幅与初相位，是从-+连续地变化，因此称X()为连续频谱。在傅立叶级数中，频谱cn反映的是频率为n0的谐波的振幅与初相位，频率n0从-+离散地变化，所以称cn为离散频谱。当把有限区间t0,t0+T变到无限区间T+时，可由傅立叶级数推导出来傅立叶积分的，此时离散频谱就转化为连续频谱。为了便于对傅立叶级数与傅立叶积分做一定量比较，我们取一有限区间分布的信号来分析。设x(t)为如下的有限区间分布的信号为第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理三、三、连续谱抽样定理连续谱抽样定理也称其为有限长信号。对比傅立叶级数与傅立叶积分的两种谱：可以得到：第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理对x(t)进行以T为周期作周期延拓，得到：第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理它们之间的关系是：长度为的有限长度信号x(t)，它所对应的连续谱X()，当以 为间隔对连续谱抽样，得到离散频谱X(n0)，这个离散频谱对应的时间信号xT(t)，应该是原有限长度信号以 为周期，作周期延拓的结果。可以看出，采样间隔0应当小于或等于2/T（T是有限长度信号的长度），这时由 才能恢复出X()来，即才能恢复出原信号。否则，如果 ，原信号将以 为周期作周期延拓，这时周期信号将产生混叠现象。如果取周期信号在t0,t0+T内的值，它已经不是原来的有限长度信号了，而是混叠后的结果，用它来作傅里叶变换就不能恢复出原有的连续谱。第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理因此，在有限区间t0,t0+T上的信号x(t)也可表示为这个公式表明：连续频谱X()的离散值 可以完全确定信号x(t)。第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理当 时，有：另一方面，由于信号x(t)又可完全决定X()，因此，对于有限区间的信号而言，信号x(t)与其连续频谱的离散值 就足够了（X()中的其它频谱可以被认为是多余的，亦即其余频谱特征完全可以由这些离散数值来计算）。第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理完全恢复出在区间t0,t0+T上的信号x(t)，进而可以恢复出连续频谱X()。同时，可由这些离散值 满足上式的有限长信号x(t)及其对应的连续频谱X()，若以2/T为间隔对离散取值(即抽样,Sampling)得到,则可由这些离散值 直接得到信号x(t)在有限区间上的离散频谱cn(即连续频谱的离散值与离散频谱是完全等价的（相差一常数)。第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理连续谱抽样定理连续谱抽样定理 有限长信号x(t)(t0tt0+T)及其对应的连续谱X()，若以 为间隔对连续谱X()离散抽样得到 ，由这些离散值X(n0)可以恢复出在t0,t0+T上的信号x(t)(见式(1)，而且还可以恢复出频谱X()(见式(2)。第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理连续谱抽样定理也称为频率域抽样定理。应该明白，该定理成立是有前提的：1、信号x(t)必须是有限区间分布的（亦即只在连续傅里叶级数变换的区间内信号取值可以不为零，在其他任何区间内信号的取值均等于零）。第五节第五节 连续谱抽样定理连续谱抽样定理2、采样间隔要满足：第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象这是一个关于信号在间断点和间断点附近，傅立叶变换的极限和行为的一种重要现象。已知一个有限长度的时间信号x(t)，它的傅里叶变换在频率域是从-到+变化。但实际上频率不可能是从-到+，而是在一个有限的范围-,+内变化。傅里叶反变换公式变为 第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象 实际信号处理时，我们通常只能在有限区间内做傅里叶分析；也就是说，我们只能取有限区间来替代理论分析中的无限区间。对于一个在有限区间分布的信号，其连续频谱在频率域的分布往往是无限区间的。多数情况下，我们总是选择信号的低频部分（舍弃高频部分）。信号的高频部分往往反映的是信号的快速变化特征，如果信号本身是连续的，这样做一般不会引起信号的显著变化；可是，如果信号的高频成分比较丰富、比较重要，特别是在信号本身存在较为明显的剧烈突变时，这样做自然就会引起一定的误差。第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象可以证明：如果x(t)是t的连续函数，那么当时，x(t)=x(t)；但如果x(t)是t的含有间断点的函数，那么当时，x(t)x(t)，在间断点t0处有：在间断点t0附近，x(t)出现波动起伏现象，把这种现象称为吉布斯现象。第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象设x(t)是t的连续函数，当频率在有限的范围-,+内变化时，由傅里叶变换可得到：一、连续函数情况第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象因为 所以 二、有间断点情况设x(t)是一个含有间断点的函数，间断点在t=0处，那么这个间断函数可以写成一个连续函数与两个阶跃函数之和，即式中，xc(t)为连续函数，x(0+)u(t)和x(0-)u(t)分别为阶跃函数。第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象因为 联立两式有：而 其中，第一个积分已经证明，对于连续函数当时，等于xc(t)。第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象下面来讨论式中的第二个积分令设 ，则上式可以写成第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象随着，u(t)只是波动陡度变大，波形变窄，但是峰值不会发生变化。Si(t)的图形如图所示，可以得到u(t)的图形为 第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象因为u(t)=1/2，并且xc(0)=x(0-)，所以当时，有由此，可以得出当时，在间断点t0处第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象在间断点t0附近远离间断点t0处对于存在不连续点的函数，吉布斯现象是非常重要的。第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象第六节第六节 吉布斯现象吉布斯现象 从图中可以看到，在原始信号的突变点处，逼近信号出现了明显的振荡现象，随着M的增大，这些振荡并没有消失，而是更加集中于突变点附近。这种在突变点处出现的振荡现象被称为吉布斯（Gibbs）现象。Gibbs现象产生的原因：它是由于在反变换的计算过程中用有限项近似无限项从而丢失原始信号中的高频成分所致。3、连续傅里叶级数与连续傅里叶积分之关系，频率域采样定理。1、有限区间的连续傅里叶级数变换（包括周期信号的连续傅里叶级数表示法）。2、连续傅里叶积分变换及其性质。4、Gibbs现象。第二章第二章 傅里叶分析与信号频谱傅里叶分析与信号频谱