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第十二章第十二章 全等三角形全等三角形12.1 12.1 全等三角形全等三角形第十二章 全等三角形12.1 全等三角形1课堂讲解全等形全等形全等三角形及其对应元素全等三角形及其对应元素全等三角形的性质全等三角形的性质2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1课堂讲解全等形2课时流程逐点课堂小结作业提升 观察这些图片，你能看出形状、大小完全观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几何图形吗？一样的几何图形吗？追问你能再举出生活中的一些类似例子吗？追问你能再举出生活中的一些类似例子吗？观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的1知识点全等形全等形知知1 1导导1知识点全等形知1导知知1 1导导知1导知知1 1导导知1导知知1 1导导知1导知知1 1讲讲形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合能够完全重合 的两个图形叫做全等形的两个图形叫做全等形.定义定义 一个图形经过平移一个图形经过平移,翻折，旋转后，位置变化了，翻折，旋转后，位置变化了，但和都没有改变，即平移，翻折，但和都没有改变，即平移，翻折，旋转前后的图形旋转前后的图形_ .完全重合完全重合形状形状大小大小知1讲形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.定义 一例例1 下列图中是全等形是下列图中是全等形是 .知知1 1讲讲 和和、和和、和和、和和导引：上述图形中，导引：上述图形中，和和形状相同，但大小不同，形状相同，但大小不同，和和大大 小、形状都不同；小、形状都不同；和和、和和、和和尽管尽管方向不方向不 同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形，同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形，和和 都是五角星，大小、形状都相同，是全等形都是五角星，大小、形状都相同，是全等形例1 下列图中是全等形是 总结知知1 1讲讲 (1)此题运用定义识别全等形，确定两个图形全等要此题运用定义识别全等形，确定两个图形全等要 符合两个条件：符合两个条件：形状相同，形状相同，大小相等；是否大小相等；是否 是全等形与位置无关是全等形与位置无关(2)判断两个全等形还可以通过平移、旋转、翻折等判断两个全等形还可以通过平移、旋转、翻折等 方法把两个图形叠合在一起，看它们能否完全重方法把两个图形叠合在一起，看它们能否完全重 合，即用叠合法判断合，即用叠合法判断总 结知1讲(1)此题运用定义识别全等形，确定两个图1下列四组图形中，是全等图形的一组是下列四组图形中，是全等图形的一组是()知知1 1练练 D下列四组图形中，是全等图形的一组是()知1练 D2如图，有如图，有6个条形方格图，图中由实线围成的图形个条形方格图，图中由实线围成的图形中，全等形有：中，全等形有：(1)与与_；(2)与与_知知1 1练练 (6)(3)(5)如图，有6个条形方格图，图中由实线围成的图形中，全等形有：(3 下列说法：下列说法：两个图形全等，它们的形状相同；两个图形全等，它们的形状相同；两个图形全等，它们的大小相同；两个图形全等，它们的大小相同；面积相面积相 等的两个图形全等；等的两个图形全等；周长相等的两个图形全周长相等的两个图形全 等其中正确的个数为等其中正确的个数为()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知1 1练练 B3 下列说法：两个图形全等，它们的形状相同；知12知识点全等三角形及对应元素全等三角形及对应元素知知2 2导导ABCEDF例如例如能够完全重合的两个三角形能够完全重合的两个三角形,叫做叫做_._.全等三角形全等三角形2知识点全等三角形及对应元素知2导ABCEDF例如能够完全知知2 2讲讲记作记作:ABCDEF读作读作:ABC全等于全等于DEF互相重合的顶点叫对应顶点互相重合的顶点叫对应顶点.互相重合的边叫对应边互相重合的边叫对应边.互相重合的角叫对应角互相重合的角叫对应角.知2讲记作:ABCDEF互相重合的顶点叫对应顶点.知知2 2讲讲点点A 与点与点D、点、点B 与点与点E、点、点C 与点与点F 重合，称重合，称为对应顶点；点；边AB 与与DE、边BC 与与EF、边AC 与与DF 重合，称重合，称为对应边；A 与与D、B 与与E、C 与与F 重合，称重合，称为对应角角.ABCEDF知2讲点A 与点D、点B 与点E、点C 与点F 重合，称为知知2 2讲讲例例2 如如图，已知，已知ABDCDB，ABDCDB，写出其写出其对应边和和对应角角 导引：在引：在ABD和和CDB中，中，ABDCDB，则 ABD，CDB所所对的的边AD与与CB是是对应边，公共，公共 边BD与与DB是是对应边，余下的一，余下的一对边AB与与CD是是对 应边由由对应边所所对的角是的角是对应角可确定其他两角可确定其他两组 对应角角知2讲例2 如图，已知ABDCDB，ABD知知2 2讲讲 解：解：BD与与DB，AD与与CB，AB与与CD是是对应边；A与与C，ABD与与CDB，ADB与与 CBD是是对应角角知2讲 解：BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边；总结知知2 2讲讲 对应元素的确定方法：元素的确定方法：(1)字母字母顺序确定法：根据序确定法：根据书写写规范，按照范，按照对应顶点确定点确定对应边、对应角，如角，如CABFDE，则AB与与DE、AC与与DF、BC 与与EF是是对应边，A和和D、B和和E、C和和F是是对应 角；角；(2)图形位置确定法：形位置确定法：公共公共边一定是一定是对应边，公共角一定是公共角一定是 对应角；角；对顶角一定是角一定是对应角；角；(3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角角)是是对应边 (角角)，最小的，最小的边(角角)是是对应边(角角)总 结知2讲 对应元素的确定方法：1 说出图说出图12.12(2)、图、图12.12(3)中两个全等三角形中两个全等三角形 的的 对应边、对应角对应边、对应角.知知2 2练练 (2)(3)图图 12.12 1 说出图12.12(2)、图12.12(3)在教材图在教材图12.12(2)中，中，AB和和DB，BC和和BC，AC和和DC是对应边；是对应边；A和和D，ABC和和DBC，ACB和和DCB是对应角是对应角在教材图在教材图12.12(3)中，中，AB和和AD，BC和和DE，AC和和AE是对应边；是对应边；BAC和和DAE，B和和D，C和和E是对应角是对应角知知2 2练练解：解：在教材图12.12(2)中，AB和DB，BC和BC，AC和2 如如图，将，将ABC沿沿BC所在的直所在的直线平移到平移到ABC 的位置，的位置，则ABC_ABC，图中中A与与 _，B与与_，ACB与与_ 是是对应角角知知2 2练练 A ABCC2 如图，将ABC沿BC所在的直线平移到ABC3知识点全等三角形的性质全等三角形的性质知知3 3导导图图12.12(中中)，ABCDEF，对应边有什么关系？，对应边有什么关系？对应角有什么关系？对应角有什么关系？图图12.123知识点全等三角形的性质知3导图12.12(中)，AB知知3 3导导还具备：全等三角形对应边上的中线相等，对应边还具备：全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积也相等长相等、面积也相等全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。全等三角形的对应角相等。全等三角形的性质全等三角形的性质知3导还具备：全等三角形对应边上的中线相等，对应边全等三角例例3 如如图，已知点，已知点A，D，B，F在同一条直在同一条直线上，上，ABCFDE，AB8 cm，BD6 cm.求求FB的的长 知知3 3讲讲例3 如图，已知点A，D，B，F在同一条直线上，知3知知3 3讲讲 导引：由全等三角形的性质知导引：由全等三角形的性质知ABFD，由等式的性，由等式的性 质可得质可得ADFB，所以要求，所以要求FB的长，只需求的长，只需求 AD的长的长 解：解：ABCFDE，ABFD.ABDBFDDB，即，即ADFB.AB8 cm，BD6 cm，ADABDB 86 2(cm)FBAD2cm.知3讲 导引：由全等三角形的性质知ABFD，由等式的性总结知知3 3讲讲 在在应用全等三角形性用全等三角形性质时，要先确定两个条件：，要先确定两个条件：两个三角形全等；两个三角形全等；找找对应元素；元素；全等三角形的性全等三角形的性质是是证明明线段、角相等的常用方法段、角相等的常用方法总 结知3讲 在应用全等三角形性质时，要先确定两个条件1 如如图，OCAOBD，点，点C和点和点B，点，点A和点和点D 是是 对应顶点点.说出出这两个三角形中相等的两个三角形中相等的边和角和角.知知3 3练练 1 如图，OCAOBD，点C和点B，点A和点D 相等的边：相等的边：ACDB，OAOD，OCOB；相等的角：相等的角：AD，CB，AOCDOB.知知3 3练练解：解：相等的边：ACDB，OAOD，OCOB；知3练解：2 若若ABC与与DEF全等，点全等，点A和点和点E，点，点B和点和点D 分分别是是对应点，点，则下列下列结论错误的是的是()ABCEF BBD CCF DACEF知知3 3练练 A2 若ABC与DEF全等，点A和点E，点B和点D第十二章第十二章 全等三角形全等三角形12.2 12.2 全等三角形的判定全等三角形的判定第第1 1课时课时 利用三边判定利用三边判定 三角形全等三角形全等第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第1课时 1课堂讲解判定两三角形全等的基本事实判定两三角形全等的基本事实:“:“边边边边边边”全等三角形判定全等三角形判定“边边边边边边”的简单应用的简单应用2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1课堂讲解判定两三角形全等的基本事实:“边边边”2课时流程逐回顾旧知回顾旧知对应边相等，相等，对应角相等角相等.1、什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能能够完全重合的两个三角形叫完全重合的两个三角形叫 全等三角形全等三角形.2、全等三角形有什么性全等三角形有什么性质？回顾旧知对应边相等，对应角相等.1、什么叫全等三角形？能够AB=DE BC=EF CA=FD A=D B=E C=FABCDEFAB=DE BC=EF CA=F 一定要满足三条边分别相等，三个角也分别一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？上述六个条相等，才能保证两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的件中，有些条件是相关的.能否在上述六个条件能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？本节我们就来讨论这个问题本节我们就来讨论这个问题.一定要满足三条边分别相等，三个角也分别1知识点判定两三角形全等的基本事实：判定两三角形全等的基本事实：“边边边边边边”知知1 1导导1.只给一个条件只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等一组对应边相等或一组对应角相等).只给一条边：只给一条边：1知识点判定两三角形全等的基本事实：“边边边”知1导1.知知1 1导导只给一个角：只给一个角：606060可以发现按这些可以发现按这些条件画的三角形条件画的三角形都不能保证一定都不能保证一定全等全等.知1导只给一个角：606060可以发现按这些条件画知知1 1导导2.给出两个条件：给出两个条件：一边一内角：一边一内角：两内角：两内角：30303030305050知1导2.给出两个条件：一边一内角：两内角：303知知1 1导导 两边：两边：2cm2cm4cm4cm可以发现按这些条件画的三角形也都不能保可以发现按这些条件画的三角形也都不能保证一定全等证一定全等.知1导 两边：2cm2cm4cm4cm可以发现按这些条件 先任意画出一个先任意画出一个ABC.ABC.再画一个再画一个ABCABC，使使A B=AB,BC=BCA B=AB,BC=BC，CA=CA.CA=CA.把画好的把画好的 ABCABC剪下来，放到剪下来，放到ABCABC上，它们全等吗？上，它们全等吗？知知1 1导导 先任意画出一个ABC.再画一个ABC，使知画一个画一个ABC，使，使AB=AB,AC=AC，BC=BC：（1）画）画BC=BC；（2)分别以点分别以点B,C为圆心，线段为圆心，线段AB，AC长为半径长为半径 画弧，两弧相交于点画弧，两弧相交于点A;(3)连接线段连接线段AB，AC.知知1 1导导 画一个ABC，使AB=AB,AC=AC，知知1 1导导两个三角形全等的判定两个三角形全等的判定1：三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等简写为简写为“边边边边边边”或或“SSS”.思考作图的结果反映了什么规律？你能用文字语思考作图的结果反映了什么规律？你能用文字语 言和符号语言概括吗？言和符号语言概括吗？注：注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理是三角形具有稳定性的原理.知1导两个三角形全等的判定1：思考作图的结果反映了什知知1 1导导用符号语言表达：用符号语言表达：在在ABC和和ABC中，中，ABAB，ACAC，BCBC，ABCABC(SSS).ABCA BC 知1导用符号语言表达：ABCA BC 例例1 如图，如图，ABC是一个钢架，是一个钢架，AB=AC，AD是连接是连接 A与与BC中点中点D的支架的支架.求证：求证：ABD ACD.知知1 1讲讲分析：要证明分析：要证明ABDACDABDACD，首先看这两个三角形的三条边是首先看这两个三角形的三条边是 否对应相等否对应相等.DBCA 例1 如图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接在在ABD和和ACD中，中，AB=AC（已知）（已知）,BD=CD（已（已证）,AD=AD（公共（公共边）,ABD ACD（SSS）.DBCA证明：证明：D是是BC的中点的中点,BD=CD,知知1 1讲讲 在ABD和ACD中，AB=AC（已知）,BD=CD（总结知知1 1讲讲准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；三角形全等书写三步骤：三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中；写出在哪两个三角形中；摆出三个条件用大括号括起来；摆出三个条件用大括号括起来；写出全等结论写出全等结论.证明的书写步骤：证明的书写步骤：总 结知1讲准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好1如图，下列三角形中，与如图，下列三角形中，与ABC全等的是全等的是()知知1 1练练 C如图，下列三角形中，与ABC全等的是()知1练 C2如如图，已知，已知ACFE，BCDE，点，点A，D，B，3 F 在一条直在一条直线上，要利用上，要利用“SSS”证明明4 ABCFDE，还可以添加的一个条可以添加的一个条5 件是件是()6 AADFB BDEBD7 CBFDB D以上都不以上都不对知知1 1练练 A如图，已知ACFE，BCDE，点A，D，B，知1练 A3如如图，C 是是AB 的中点，的中点，AD=CE，CD=BE。4 求求证ACD CBE.知知1 1练练 如图，C 是AB 的中点，AD=CE，CD=BE。知1练 在在ACD和和CBE中中AC=C B,AD=CE,CD=BE,ACDCBE(SSS)证明：证明：C是是AB的中点，的中点，A C=CB.知知1 1练练 在ACD和CBE中AC=C B,AD=CE,CD=B2知识点全等三角形判定全等三角形判定“边边边边边边”的简单应用的简单应用知知2 2导导 根据条件用根据条件用“SSS”判定两三角形全等，再从全等判定两三角形全等，再从全等三角形出发，可证两角相等，也可求角度三角形出发，可证两角相等，也可求角度.2知识点全等三角形判定“边边边”的简单应用知2导 知知2 2讲讲例例2 已知：如已知：如图，ABAC，ADAE，BDCE.求求证：BACDAE.导引：要引：要证BACDAE，而，而这两个角所在三角形两个角所在三角形显 然不全等，我然不全等，我们可以利用等式的性可以利用等式的性质将它将它转化化为 证BADCAE；由已知的三；由已知的三组相等相等线段可段可证 明明ABDACE，根据全等三角形的性，根据全等三角形的性质可得可得 BADCAE.知2讲例2 已知：如图，ABAC，ADAE，B知知2 2讲讲证明：在明：在ABD和和ACE中，中，ABAC，ADAE，BDCE，ABDACE(SSS)，BADCAE.BADDACCAEDAC，即即BACDAE.知2讲证明：在ABD和ACE中，总结知知2 2讲讲 综合法：利用某些已合法：利用某些已经证明明过的的结论和性和性质及已知条件，及已知条件，推推导出所要出所要证明的明的结论成立的方法叫成立的方法叫综合法其思合法其思维特点是：特点是：由因索果，即从已知条件出由因索果，即从已知条件出发，利用已知的数学定理、性，利用已知的数学定理、性质和和公式，推出公式，推出结论本本书的的证明基本上都是用明基本上都是用综合法合法 本本题运用了运用了综合法，根据条件用合法，根据条件用“SSS”可得到全等的三角可得到全等的三角形，从全等三角形出形，从全等三角形出发可找到与可找到与结论有关的相等的角有关的相等的角总 结知2讲 综合法：利用某些已经证1 如如图，ABDE，ACDF，BCEF，则D 等于等于()A30 B50 C60 D100知知2 2练练 D1 如图，ABDE，ACDF，BCEF，则D知知2 2练练 2 如图是一个风筝模型的框架，由如图是一个风筝模型的框架，由DEDF，EH FH，就能说明，就能说明DEHDFH.试用你所学的知试用你所学的知 识说明理由识说明理由知2练 2 如图是一个风筝模型的框架，由DEDF知知2 2练练证明：明：连接接DH.在在DEH和和DFH中中 DEDF，EHFH，DH DH，DEHDFH(SSS)DEHDFH(全等三角形的全等三角形的对应相等相等)知2练证明：连接DH.在DEH和DFH中 判定两三角形全判定两三角形全等的基本事实：等的基本事实：“边边边边边边”全等三角形全等三角形“SSS”SSS”的简单应的简单应用用应用应用“边边边边边边”的尺规作图的尺规作图判定两三角形全等的基本事实：“边边边”全等三角形“SSS”的1.三三边对应相等的两个三角形全等相等的两个三角形全等(边边边或或SSS)；2.证明全等三角形明全等三角形书写格式：写格式：准准备条件；条件；三角形全等三角形全等书写的三步写的三步骤.3、证明是由明是由题设(已知已知)出出发，经过一步步的推理，一步步的推理，最后推出最后推出结论正确的正确的过程程.三边对应相等的两个三角形全等(边边边或SSS)；第十二章第十二章 全等三角形全等三角形12.2 全等三角形的判定全等三角形的判定第第2 2课时课时 利用两边夹角判定利用两边夹角判定 三角形全等三角形全等第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第2课时1课堂讲解判定两三角形全等的基本事实：边角边判定两三角形全等的基本事实：边角边全等三角形判定全等三角形判定“边角边边角边”的简单应用的简单应用2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1课堂讲解判定两三角形全等的基本事实：边角边2课时流程逐点课1知识点判定两三角形全等的基本事实判定两三角形全等的基本事实:“:“边角边边角边”知知1 1导导探究探究 先任意画出一个先任意画出一个ABC.再画出一个再画出一个ABC，使使AB=AB,AC=AC，AA(即两即两边和它和它们的的夹角分角分别相等）相等）,把画好的把画好的ABC剪下来，剪下来，放到放到ABC上，它上，它们全等全等吗？1知识点判定两三角形全等的基本事实:“边角边”知1导探究知知1 1导导A B C A D E 现象：两个三角形放在一起象：两个三角形放在一起 能完全重合能完全重合说明：明：这两个三角形全等两个三角形全等画法：画法：(1)画画DAE=A；(2)在射线在射线AD上截取上截取 AB=AB，在射线，在射线 AE上截取上截取AC=AC；(3)连接连接BCB C 知1导A B C A D E 现象：两个三角形放在一起知知1 1导导1.判定方法二：两边和它们的夹角分别相等的两个三判定方法二：两边和它们的夹角分别相等的两个三 角形全等角形全等(简写成简写成“边角边边角边”或或“SAS”)2.几何语言：在几何语言：在ABC和和ABC中，中，ABAB，ABCABC，BCBC，ABCABC.知1导1.判定方法二：两边和它们的夹角分别相等的两个三 例例1 已知：如图，已知：如图，AC=AD，CAB=DAB，求证：求证：ACBADB.知知1 1讲讲A B C D AC=AD（已知），（已知），CAB=DAB（已知），（已知），AB=AB（公共（公共边），），ACBADB（SAS）.证明：在明：在ACB和和ADB中，中，例1 已知：如图，AC=AD，CAB=DAB，知1如图，如图，a，b，c分别表示分别表示ABC的三边长，则下面与的三边长，则下面与ABC一定全等的三角形是一定全等的三角形是()知知1 1练练 B如图，a，b，c分别表示ABC的三边长，则下面与ABC一2(中考中考莆田莆田)如如图，AEDF，AEDF，要使，要使EACFDB，需要添加下列，需要添加下列选项中的中的()3 AABCD BECBF4 CAD DABBC知知1 1练练 A(中考莆田)如图，AEDF，AEDF，要使EAC3(中考中考贵阳阳)如如图，点，点E，F在在AC上，上，ADBC，DFBE，要使，要使ADFCBE，还需要添加的需要添加的一个条件是一个条件是()4 AAC BDB5 CADBC DDFBE知知1 1练练 B(中考贵阳)如图，点E，F在AC上，ADBC，DFBE4如如图，两，两车从南北方向的路段从南北方向的路段AB的的A端出端出发，分，分5 别向向东、向西行、向西行进相同的距离，相同的距离，到达到达C，D两两地，地，6 此此时C，D到到B的距离相等的距离相等吗？为什么？什么？知知1 1练练 如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分知1练 知知1 1练练AB=AB（公共（公共边），），BAC=BAD，D A=CA，DABCAB(SAS)证明：因明：因为在在DAB和和CAB中中相等相等 DBCB.C，D到到B的距离相等的距离相等知1练AB=AB（公共边），BAC=BAD，证明：因为2知识点全等三角形判定全等三角形判定“边角边边角边”的简单应用的简单应用知知2 2讲讲问题 某同学不小心把一某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个三角形的玻璃从两个顶点点处打碎成两打碎成两块(如如图)，现要到玻璃店去配一要到玻璃店去配一块完完 全全一一样的玻璃的玻璃请问如果只准如果只准带一一块碎片，碎片，应该带哪一哪一 块去，能去，能试着着说明理由明理由吗？2知识点全等三角形判定“边角边”的简单应用知2讲问题 知知2 2讲讲利用今天所学利用今天所学“边角角边”知知识，带黑色的那黑色的那块因因为它完整地保留了两它完整地保留了两边及其及其夹角，一个三角，一个三角形两条角形两条边的的长度和度和夹角的大小确定了，角的大小确定了，这个三个三角形的形状、大小就确定下来了角形的形状、大小就确定下来了知2讲利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那知知2 2讲讲 例例2 如图如图,有一池塘，要测池塘两端有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先的距离，可先 在平地上取一个点在平地上取一个点C，从，从 点点C不经过池塘可以不经过池塘可以 直接到达点直接到达点A和和B.连接连接AC 并延长到点并延长到点D，使，使 CD=CA.连接连接BC并延长到点并延长到点 E，使，使CE=CB.连接连接DE，那么量出的长就那么量出的长就 是是A，B的距离的距离.为什么？为什么？ABCDE12知2讲 例2 如图,有一池塘，要测池塘两端A，B知知2 2讲讲分析：如果能证明分析：如果能证明ABCDEC，就可以，就可以 得出得出 AB=DE.由题意可知，由题意可知，ABC和和DEC 具备具备 “边角边边角边”的条件的条件.证明：在证明：在ABC和和DEC中，中，CA=CD,12,CB=CE,ABCDEC(SAS).AB=DE.知2讲分析：如果能证明ABCDEC，就可以 得出总结知知2 2讲讲 因因为全等三角形的全等三角形的对应边相等，相等，对应角相等，角相等，所以所以证明明线 段相等或者角相等段相等或者角相等时，常常通，常常通过证明它明它们是全等三角形的是全等三角形的对应边或或对应角来解决角来解决.总 结知2讲 因为全等三角形的对应边1 如如图，AA，BB表示两根表示两根长度相同的木条，若度相同的木条，若O是是 AA，BB的中点，的中点，经测量量AB=9 cm，则容器的内容器的内 径径AB为()A8 cmB9 cmC10 cmD11 cm知知2 2练练 B1 如图，AA，BB表示两根长度相同的木条，若O是知知2 2练练 2 (中考中考云南云南)如图，在如图，在ABC和和ABD中，中，AC与与 BD相交于点相交于点E，ADBC，DABCBA.求证：求证：ACBD.知2练 2 (中考云南)如图，在ABC和AB知知2 2练练AD=BC，DAB=CBA，AB=BABADABC(SAS)，证明：在明：在ABC和和BAD中，中，ACBD.知2练AD=BC，DAB=CBA，证明：在ABC和(1)本本节课学学习了哪些主要内容？了哪些主要内容？(2)我我们是怎么探究出是怎么探究出“SAS”判定方法的？用判定方法的？用 “SAS”判定三角形全等判定三角形全等应注意什么注意什么问题？(3)到到现在在为止，你学到了几种止，你学到了几种证明两个三角形明两个三角形 全等的方法？全等的方法？(1)本节课学习了哪些主要内容？12.2 三角形全等的判定三角形全等的判定第第3课时课时 “边角边边角边”应用的四种类型应用的四种类型第第12章章 全等三角形全等三角形12.2 三角形全等的判定第12章 全等三角形1如如图，在，在ABC中，中，D为BC的中点，的中点，E为AB上上一点，一点，DFDE交交AC于点于点F，延，延长ED至点至点G，使使GDED.求求证：(1)BECG；1知识点“边角边边角边”在证明线段关系中的应用在证明线段关系中的应用1如图，在ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，DF证明：证明：D为为BC的中点，的中点，BDCD.BDECDG(SAS)BECG.在在BDE和和CDG中，中，证明：D为BC的中点，BDECDG(SAS)在(2)BECFEF.连接连接FG.DFDE，FDEFDG90.(2)BECFEF.连接FG.EFDGFD(SAS)EFFG.CFCGFG，BECG，BECFEF.在在EFD和和GFD中，中，返回返回EFDGFD(SAS)在EFD和GFD中，返回2已知：如图，在已知：如图，在ABC和和ABC中，中，AB返回返回2知识点“边角边边角边”与与“边边边边边边”的综合应用的综合应用AB，ACAC，AM和和AM是是中线，且中线，且AMAM.求证求证ABCABC.2已知：如图，在ABC和ABC中，AB返回2知证明：如图，分别延长证明：如图，分别延长AM和和AM到点到点D，D，使，使得得MDAM，MDAM，连接，连接CD，CD.AMBDMC(SAS)ABDC，3D.在在AMB和和DMC中，中，证明：如图，分别延长AM和AM到点D，D，使得MDA同理同理ABDC，4D.ABAB，CDCD.又又AD2AM2AMAD，ACAC，ACDACD(SSS)同理ABDC，4D.12，DD.34.1324，即即BACBAC.又又ABAB，ACAC，ABCABC(SAS)返回返回12，DD.返回3如图，已知如图，已知A，D，E三点共线，三点共线，C，B，F三点共三点共3知识点构造全等三角形，用构造全等三角形，用“边角边边角边”与与“边边边边边边”说明两条线段的数量关系说明两条线段的数量关系线，线，ABCD，ADCB，DEBF，那么，那么BE与与DF之间有什么数之间有什么数量关系？请说明理由量关系？请说明理由3如图，已知A，D，E三点共线，C，B，F三点共3知识点构解：解：BEDF.理由如下：理由如下：连接连接BD.ABDCDB(SSS)AC.在在ABD和和CDB中，中，解：BEDF.理由如下：ABDCDB(SSS)在ADCB，DEBF，ADDECBBF，即，即AECF.ABECDF(SAS)BEDF.在在ABE和和CDF中，中，返回返回ADCB，DEBF，ABECDF(SAS)在4如图，如图，ABC是等边三角形，点是等边三角形，点D，E分别是边分别是边BC，AB所在直线所在直线上的动点，且上的动点，且BDAE，AD与与CE交于点交于点F.3知识点“边角边边角边”在探究动点问题中的应用在探究动点问题中的应用4如图，ABC是等边三角形，点D，E分别是边BC，AB所(1)当点当点D，E在边在边BC，AB上运动时，上运动时，DFC的度的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若变数是否发生变化？若不变，求出其度数；若变化，写出其变化规律化，写出其变化规律解：不变解：不变 ABC是等边三角形，是等边三角形，ABAC，BBAC60.(1)当点D，E在边BC，AB上运动时，DFC的度数是否发又又BDAE，ABDCAE(SAS)BADACE.DFCACFFACBADFACBAC60.DFC的度数不发生变化，为的度数不发生变化，为60.又BDAE，(2)当点当点D，E运动到运动到CB，BA的延长线上时，的延长线上时，(1)中中的结论是否改变？并说明理由的结论是否改变？并说明理由(1)中的结论不改变理由如下：中的结论不改变理由如下：ABCBAC60，ABDCAE.(2)当点D，E运动到CB，BA的延长线上时，(1)中的结论又又ABAC，BDAE，ABDCAE(SAS)DE.DFCEEAFDDABABC60.返回返回又ABAC，BDAE，返回第十二章第十二章 全等三角形全等三角形12.2 全等三角形的判定全等三角形的判定第第4 4课时课时 利用两角一边判定利用两角一边判定 三角形全等三角形全等第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第41课堂讲解判定两三角形全等的基本事实：角边角判定两三角形全等的基本事实：角边角判定两三角形全等的基本事实的推论：判定两三角形全等的基本事实的推论：角角边角角边2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1课堂讲解判定两三角形全等的基本事实：角边角2课时流程逐点课1.什么是全等三角形？什么是全等三角形？2.我们已经学过了哪几种判定两个三角形全等的方法？我们已经学过了哪几种判定两个三角形全等的方法？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.边边边边边边(SSS)和边角边和边角边(SAS).1.什么是全等三角形？2.我们已经学过了哪几种判定两个三1知识点判定两三角形全等的基本事实：角边角判定两三角形全等的基本事实：角边角知知1 1导导 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？怎么怎么办？可以？可以帮帮我帮帮我吗？1知识点判定两三角形全等的基本事实：角边角知1导 画一个画一个ABC，使，使AB=AB,AA，BB：(1)画画A B=A B；(2)在在AB 的同旁画的同旁画DA B A,EB A B,AD,BE相交于点相交于点C.知知1 1导导 画一个ABC，使AB=AB,AA，知知1 1导导归纳1.判定方法三：两角和它们的夹边分别相等的两个三判定方法三：两角和它们的夹边分别相等的两个三 角形全等角形全等(简写成简写成“角边角角边角”或或“ASA”)2.证明书写格式：在证明书写格式：在ABC和和ABC中，中，AA,ABAB，BB，ABCABC.知1导归 纳1.判定方法三：两角和它们的夹边分别相等的 例例1 已知：如图，点已知：如图，点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，AB=AC，B=C，求证：，求证：AD=AE.知知1 1讲讲 AC=AB，C=B，ACDABE（ASA）.AD=AE.分析：分析：证明明ACDABE中，就可以得出中，就可以得出AD=AE.A=A（公共角），（公共角），证明：在明：在ACD和和ABE中，中，例1 已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，总结知知1 1讲讲 在在证两三角形全等所需要的角相等两三角形全等所需要的角相等时，目前通常采，目前通常采用的方法有：用的方法有：(1)公共角、公共角、对顶角分角分别相等；相等；(2)等角加等角加(减减)等角，其和等角，其和(差差)相等，即等式的性相等，即等式的性质；(3)同角或等角的同角或等角的余余(补)角相等；角相等；(4)角平分角平分线得到相等角；得到相等角；(5)平行平行线的同的同位角、内位角、内错角相等；角相等；(6)直角都相等；直角都相等；(7)全等三角形全等三角形对应角相等；角相等；(8)第三角代第三角代换，即等量代，即等量代换等等总 结知1讲 在证两三角形全等所需要的1如如图，已知，已知ABC的六个元素，的六个元素，则下列甲、乙、丙三下列甲、乙、丙三个三角形中一定和个三角形中一定和ABC全等的全等的图形是形是()2 3 A甲、乙甲、乙B甲、丙甲、丙C乙、丙乙、丙D乙乙知知1 1练练 C如图，已知ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中一2如如图，某同学不小心把一，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店配一在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最与原来完全相同的玻璃，最省事的方法是省事的方法是()3 A带(1)和和(2)去去 B只只带(2)去去4 C只只带(3)去去 D都都带去去知知1 1练练 C如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店3(中考中考安安顺)如如图，已知，已知AECF，AFDCEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判，那么添加下列一个条件后，仍无法判定定ADFCBE的是的是()4 AAC BADCB5 CBEDF DADBC知知1 1练练 B(中考安顺)如图，已知AECF，AFDCEB，那么4如图，如图，AB BC,AD DC，垂足分别为，垂足分别为 B，D,1=2.求证求证AB=AD.知知1 1练练 如图，AB BC,AD DC，垂足分别为 B，D,知知1 1练练 证明：证明：ABBC，ADDC，BD90.在在ABC和和ADC中，中，BD，12，AC AC（公共边），（公共边），ABCADC(AAS)ABAD(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)知1练 证明：ABBC，ADDC，2知识点判定两三角形全等的推论：角角边判定两三角形全等的推论：角角边知知2 2讲讲例例2 如图，如图，AD是是ABC的中线，过的中线，过C，B分别作分别作AD及及 AD的延长线的垂线的延长线的垂线CF，BE.求证：求证：BECF.2知识点判定两三角形全等的推论：角角边知2讲例2 知知2 2讲讲导引：要证明导引：要证明BECF，可根据中线及垂线的定义和，可根据中线及垂线的定义和 对顶角的性质来证明对顶角的性质来证明BDE和和CDF全等全等证明：证明：AD是是ABC的中线，的中线，BDCD.CFAD，BEAE，CFDBED90.在在BDE和和CDF中，中，BEDCFD，BDECDF，BDCD，BDECDF(AAS)BECF.知2讲导引：要证明BECF，可根据中线及垂线的定义和总结知知2 2讲讲 判定两三角形全等，先根据已知条件或求判定两三角形全等，先根据已知条件或求证的的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法看缺什么条件，再去法看缺什么条件，再去证什么条件，什么条件，简言之：即言之：即综合利用分析法和合利用分析法和综合法合法寻找找证明途径明途径 总 结知2讲 判定两三角形全等，先根据已知条件或1(中考中考六六盘水水)如如图，已知，已知ABCDCB，下列所，下列所2 给条件不能条件不能证明明ABCDCB的是的是()3 AAD BABDC4 CACBDBC DACBD知知2 2练练 D(中考六盘水)如图，已知ABCDCB，下列所知2练知知2 2练练 2 (中考中考通辽通辽)如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，E点在点在AD上，上，其中其中BAEBCEACD90，且，且BC CE.求证：求证：ABC与与DEC全等全等知2练 2 (中考通辽)如图，四边形ABCD中，知知1 1练练 证明：证明：BCEACD90，3445，35，在在ACD中，中，ACD90，2D90，BAE1290，1D，在在ABC和和DEC中，中，ABCDEC(AAS)知1练 证明：BCEACD90，利用两角一利用两角一边判定，三边判定，三角形全等角形全等两角及其夹边两角及其夹边（ASAASA）两角和其中一角两角和其中一角的对边（的对边（AAS)AAS)利用两角一边判定，三角形全等两角及其夹边两角和其中一角的对边(1)本本节课学学习了几种判断两个三角形全等的方法？了几种判断两个三角形全等的方法？分分别是什么？它是什么？它们之之间有什么共同点和区有什么共同点和区别？(2)本本节课学学习的两种方法能否用的两种方法能否用“两角一两角一边相等，相等，则三角形全等三角形全等”来代替？来代替？(1)本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？第十二章第十二章 全等三角形全等三角形12.2 全等三角形的判定全等三角形的判定第第5 5课时课时 利用斜边和直角边判利用斜边和直角边判 定直角三角形全等定直角三角形全等第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第1课堂讲解判定两直角三角形全等的方法：判定两直角三角形全等的方法：斜边、直角边斜边、直角边直角三角形全等的综合判定直角三角形全等的综合判定2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1课堂讲解判定两直角三角形全等的方法：斜边、直角边2课时流程 舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮工作人员想个你能帮工作人员想个办法吗？办法吗？舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工1知识点判定两直角三角形全等的方法：斜边、直角边判定两直角三角形全等的方法：斜边、直角边知知1 1导导问题任意画一个任意画一个RtABC，使，使C=90，再，再画一个画一个RtABC，使，使C=90，BC=BC，AB=AB，然后把画好的，然后把画好的RtABC剪下来放到剪下来放到RtABC上，你上，你发现了什么？了什么？1知识点判定两直角三角形全等的方法：斜边、直角边知1导问题知知1 1导导ABC(1)画画MCN=90；(2)在射在射线CM上取上取BC=BC；(3)以以B为圆心，心，AB为半径画弧，半径画弧，交射交射线C N于点于点A；(4)连接接AB现象：两个直角三角形能重合象：两个直角三角形能重合说明：明：这两个直角三角形全等两个直角三角形全等画法：画法：A NMCB知1导ABC(1)画MCN=90；现象：两个直角三 由上面可以得到判定两个直角三角形全等的一由上面可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等全等(可以简写成可以简写成“斜边、斜边、直角边直角边”或或“HL”).知知1 1导导 归纳 由上面可以得到判定两个直角三角形全等的一知1 例例1 重庆江津，节选重庆江津，节选如图，在如图，在ABC中，中，AB CB，ABC90，F为为AB延长线上一点，点延长线上一点，点 E在在BC上，且上，且AECF.求证：求证：RtABE RtCBF.知知1 1讲讲导引：根据导引：根据ABABCBCB，ABEABECBFCBF9090，AEAE CFCF，可利用，可利用“HL”HL”证明证明RtABERtCBF.RtABERtCBF.例1 重庆江津，节选如图，在ABC中，AB证明：证明：ABC90，CBFABE90.在在RtABE和和RtCBF中，中，AECF，ABCB，RtABE RtCBF(HL)知知1 1讲讲 证明：ABC90，知1讲 总结知知1 1讲讲 应用应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上两个三角形符号前要加上“Rt”总 结知1讲 应用“HL”判定两个直角三1如图，点如图，点C，E，B，F在一条直线上，在一条直线上，ABCF于点于点B，DECF于点于点E，ACDF，ABDE.求求证：证：CEBF.知知1 1练练 如图，点C，E，B，F在一条直线上，ABCF于点B，DE证明：证明：ABCF，DECF，ABCDEF90.在在RtABC和和RtDEF中，中，RtABC RtDEF(HL)BCEF.BCBEEFBE，即即CEBF.知知1 1练练 证明：ABCF，DECF，知1练 2如如图，CD90，添加一个条件，可使用，添加一个条件，可使用“HL”判定判定Rt ABC与与Rt ABD全等以下全等以下给出出的条件适合的是的条件适合的是()3 AACAD 4 BABAB5 CABCABD 6 DBACBAD知知1 1练练 A如图，CD90，添加一个条件，可使用“HL”判定R3(中考中考西宁西宁)下列可使两个直角三角形全等的条下列可使两个直角三角形全等的条件是件是()4 A一个一个锐角角对应相等相等 5 B两个两个锐角角对应相等相等6 C一条一条边对应相等相等 7 D两条两条边对应相等相等知知1 1练练 D(中考西宁)下列可使两个直角三角形全等的条件是()知12知识点直角三角形全等的综合判定直角三角形全等的综合判定知知2 2导导 直角三角形全等的判定既可以用直角三角形全等的判定既可以用“SSS”“SAS”“ASA”和和“AAS”,有可以用有可以用“HL”.2知识点直角三角形全等的综合判定知2导 知知2 2讲讲 例例2 已知：如已知：如图，ACBC，BDAD，垂，垂足足 分分别为C,D,AC=BD,求求证；BC=AD.证明：明：ACBC，BDAD，C与与D都是直角都是直角.在在RtABC RtBAD中，中，AB=BA,AC=BD,RtABC RtBAD(HL).BC=AD.知2讲 例2 已知：如图，ACBC，BD知知2 2练练1 下列条件可使两个直角三角形全等的是下列条件可使两个直角三角形全等的是()A一条边对应相等一条边对应相等 B两条直角边对应相等两条直角边对应相等 C一个锐角对应相等一个锐角对应相等 D两个锐角对应相等两个锐角对应相等 B知2练1 下列条件可使两个直角三角形全等的是()2 下列条件不能使两个直角三角形全等的是下列条件不能使两个直角三角形全等的是()A斜边和一锐角对应相等斜边和一锐角对应相等 B有两边对应相等有两边对应相等 C有两个锐角对应相等有两个锐角对应相等 D有一直角边和一锐角对应相等有一直角边和一锐角对应相等知知2 2练练 C2 下列条件不能使两个直角三角形全等的是()知2知知2 2练练3 如图，如图，ACB90，ACBC，BECE于点于点 E，ADCE于点于点D，下面四个结论：，下面四个结论：ABE BAD；CEBADC；ABCE；AD BEDE.其中正确的是其中正确的是 _ (将你认为正将你认为正 确结论的序号都写上确结论的序号都写上)知2练3 如图，ACB90，ACBC，BE4 如图，如图，MNPQ，ABPQ，点，点A，D在直线在直线MN上，上，点点B，C在直线在直线PQ上，点上，点E在在AB上，上，ADBC7，ADEB，DEEC，则，则AB_.知知2 2练练 74 如图，MNPQ，ABPQ，点A，D在直线MN判定直角三角形全等的判定直角三角形全等的“四种思路四种思路”：(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用用“HL”判定判定(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定判定(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，若有一组锐角和一组直角边分别相等，直角边是锐直角边是锐 角的对边，用角的对边，用“AAS”判定；判定；直角边是锐角的邻边，直角边是锐角的邻边，用用“ASA”判定判定(4)若有两组直角边分别相等，用若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定判定 判定直角三角形全等的“四种思路”：第十二章第十二章 全等三角形全等三角形12.3 角的平分线的性质角的平分线的性质第第1 1课时课时 角的平分线角的平分线 的性质的性质第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质第1课堂讲解角的平分线的画法角的平分线的画法 角的平分线的性质角的平分线的性质2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1课堂讲解角的平分线的画法 2课时流程逐点课堂小结作业 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角的角.你有什么办法？你有什么办法？AOBC再打开纸片再打开纸片，看看折痕与这，看看折痕与这个角有何关系？个角有何关系？对折对折 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等AOBC再打1知识点角的平分线的画法角的平分线的画法知知1 1导导 下下图是一个平分角的是一个平分角的仪器，其中器，其中AB=AD，BC=DC.将点将点A放在角的放在角的顶点，点，AB和和AD 沿着角的两沿着角的两边放下，放下，沿沿AC画一条射画一条射线AE，AE就就 是是这个角的平分个角的平分线,你能你能说明明它的道理它的道理吗？ABDCE1知识点角的平分线的画法知1导 下图是一个平知知1 1讲讲证明：证明：在在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角（全等三角 形的对应角相等）形的对应角相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE知1讲证明：ADBCE作已知角的平分线的方法作已知角的平分线的方法.已知：已知：AOB.求作：求作：AOB的平分线的平分线.作法：（作法：（1)以点以点O为圆心，适当长为半径画弧，为圆心，适当长为半径画弧，交交OA于点于点M，交，交OB于点于点N.(2)分别以点分别以点M，N为圆心，大于为圆心，大于 MN的长的长 为半径画弧，两弧在为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点的内部相交于点C.(3)画射线画射线OC.射线射线OC即为所求（如图即为所求（如图).知知1 1讲讲 作已知角的平分线的方法.知1讲 1作作AOB的平分的平分线时，以，以O为圆心，某一心，某一长度度为半径半径作弧，与作弧，与OA，OB分分别相交于相交于C，D，然后分，然后分别以以C，D为圆心，适当的心，适当的长度度为半径作弧，使两弧相交于一半径作弧，使两弧相交于一点，点，则这个适当的个适当的长度度为()2 A大于大于 CD B等于等于 CD3 C小于小于 CD D以上答案都不以上答案都不对知知1 1练练 A作AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA2如如图所示，已知所示，已知AOB，求作：，求作：AOM 3 AOB.知知1 1练练 如图所示，已知AOB，求作：AOM 知1练导引导引)：要作射线：要作射线OM，使，使AOM AOB，其实质是作，其实质是作 AOB的平分线的平分线作法：作法：(1)以点以点O为圆心，适当长为半径画弧，交为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点于点E，交交OB于点于点F；(2)分别以点分别以点E，F为圆心，大于为圆心，大于 EF的长为半径画弧，的长为半径画弧，两弧在两弧在AOB的内部交于点的内部交于点C；(3)画射线画射线OC；(4)同理，作同理
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