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本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。利用计算机进行数值积分，虽然可以给出定解问题的数值解，但很难给出物理现象的全貌和一般规律，利用摄动法可以求得解析形式的近似解，对物理系统进行相当精确的定量和定性讨论。这里，主要讨论正则摄动正则摄动方法和奇异摄动奇异摄动方法。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。1 正则摄动方法正则摄动方法例例1：已知初值问题 （1）的解试求问题 （2）直到 一次项的近似解。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。解：(2)的精确解为将它关于 展开设（2）的准确解不知道，于是将（2）的解 表示为 （3）本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。代入方程有 （4）代入初值有 （5）本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。比较（4）和（5）的同次幂系数，可得满足的一系列方程，特别有将 代入，得本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。这是关于 的一阶线性方程，由初值 可得所以，直到 的一次项的近似解是与前面准确展开的结果一致。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。说明说明1：这个例子展开的方法就是正则摄动法正则摄动法（正则扰动法），又叫直接展开法直接展开法，这个例子可正确求解，但体现的方法和思想可用于那些不能精确求解的问题。说明说明2：当 时，可看出扰动项对问题的解的“影响”，时的问题称未扰动问题未扰动问题（退化问题），取到 一次项为止的称为一阶近似一阶近似。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。下面通过单摆问题讨论直接展开法直接展开法的主要步骤和内容：例例2：单摆问题：(6)(7)本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。对于要采用摄动法求解的问题，首先要考查问题是否是无量纲化形式?若不是，先进行无量纲化处理。因不同量纲的物理量无法进行量化比较，无量纲化后便于量级比较，从而可以确定哪一个量是小参数。引入无量纲参数：本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。则(6)(7)化为 (8)(9)通过标度变换，或者说无量纲化，可将不含参数的方程(6)化为含小参数小参数的方程(8)，从而可以利用摄动法。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。直接展开法的主要步骤直接展开法的主要步骤：第一步第一步：设 代入方程(8)得 (10)第二步第二步：将所有的项都按小参数(这里是 )展开，使每一项都可写成一个 的幂级数。利用 的展开式，上式中的第二项为：本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。(保留到 项)本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。第三步第三步：将方程中的所有同次幂项合并，并令各次幂系数为0，(11)依次有本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。原方程(8)为非线性方程，现已化为一系列的线性方程。第四步第四步：将初值或边值用幂级数展开式代入，得一系列关于 的初值或边值方程，由(9)有：本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。比较两边关于 的系数有第五步第五步：相继求解前四步得到的方程和初值组成的问题，现在有本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。关于 步(即 项)没有作修正，将 代入 的方程有该问题可用常数变易法或系数待定法求解。注意到 ，得利用初值，得本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。所以，注意到，上面的求解都是形式上的。设 (12)由此可得一阶近似：本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。为讨论所求近似解有效性问题，需研究级数(12)的一致收敛性问题，下面来介绍有关概念：定义定义1：设对任意固定的非负整数 ，当 时，对于 一致有本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。则称为 当 时，在区间 上的一致渐近幂级数，记为本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。并称 为 当 时在区间 上一致有效一致有效的阶渐近近似式阶渐近近似式。定义定义2：设有 的函数序列：对于任意固定的正整数 ，满足：本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。又设对任一固定的非负整数当 时，对于任意 一致地有则称 为 当 时,在区间 上一致有效的 阶渐近近似式阶渐近近似式。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。注意注意：注意渐近幂级数，渐近展开式，渐近近似式与以前的幂级数的区别。例例3：设 利用分步积分法有记本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。固定 ，若 时，则 (13)由 方法知，级数在 时处处发散，说明式(13)不能成立。下面换一个角度考虑问题，固定 ，由于 ，有本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。当 时，(固定)，表明 ，充分大时，可用：本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。作为 的近似式，记为可见渐近展开式是固定可见渐近展开式是固定 ，考虑考虑 变化变化，而幂级数而幂级数是固定是固定 ，考虑考虑 时的变化时的变化。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。对于前面得到的单摆问题的近似公式:(*)现在用前面介绍的有关一致有效的有效的 阶近似阶近似来衡量就有二种情况:(1),(2)。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。对于对于(1)，注意到(*)中有 的项，当 时，对于 ，则修正量是小的(的项)，即(*)在 区间上，当 时是一致有效的渐近近似式。对于对于(2)，时，情况就不同了，对给定的初始角位移 时，的振幅会不断增加，本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。从物理上看，这是不合理的，这种近似(或者说修正)是不正确的，应予排除，这一项称为长期项长期项，表明正则摄动法对 是失败的，必须引入奇异摄动奇异摄动法法。下面来给出正则摄动法的定义：定义定义：考虑本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。可以是无穷区间，或闭区间，设 为连续函数;对 连续，对其余变量在其变化范围内解析，则该问题称为摄动问题摄动问题 ，时对应的问题称为退化问题 ，若 问题的解 当 时，对 有一致渐近幂级数，即 则称 为 上的正则摄动正则摄动，否则称为奇异摄动奇异摄动。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。下面再考虑一个使正则摄动失效的例子：例例4：（1）（2）该问题的解为：(3)本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。设 ，代入(1)式比较同次幂的系数，有：相应的解展开式 (4)本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。可以看出，不管取零阶，一阶或二阶近似，端点条件 均不能满足，对大的 ，当 是小量时，渐近解与精确解很接近;在 附近，即使很小，两者相称仍很大，在 附近，精确解变化迅速，称此区域为边界层边界层。将精确解展开，有 (5)本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。对照(4)和(5)，在边界层中，渐近展开式(4)之所以非一致有效非一致有效，问题就出在(1)中在最高阶导数前有 ，而0阶近似：，不是常微分方程，失去边界条件。类似的情况对 的边值问题也会发生。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。2 奇异摄动法奇异摄动法从前面讨论的正则摄动法看到，有的情况是部分边值不满足，有的是出现了“长期项”，而有的则是展开式中出现了奇性。凡此种种表明，正则摄动法失效的情况不止限于“长期项”一种，需要对直接展开法予以改正。这里引出奇异摄动法，主要讨论多重多重尺度法尺度法和 方法。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。一、多重尺度法一、多重尺度法 在实际的物理现象中，某些变量变化比较“缓慢”，如非线性振动中的“振幅”，另外一些变量，变化可能比较剧烈，如流体在管壁附近管壁附近其沿法向流速变化较快，启发人们用不同的时间尺度或空间尺度来作渐近展开，即采用多种尺度多种尺度。下面举例来说明，若采用多重尺度法，如果尺度取得恰当，零阶渐近就给出精确解精确解。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。例例1：问题的精确解为将它在 展开可以看到，一次项就出现了长期项，当 时式在 内一致有效一致有效。当 时，不能一致有效。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。现采用两种尺度现采用两种尺度：1和 ，设 ，前者相当于时间尺度 1，是快变量，后者相当于大的时间尺大的时间尺度度 ，是慢变量，在 范围内用。设：本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。利用代入方程和初值，得 ：通解为：(2)本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。其中 为 的任意函数，但 (3)：本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。将(2)代入方程，有 (4)为消除 中的长期项，令(4)式中 的系数为0：利用(3)，有本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。代回到(2)中得0阶近似解为即零解近似即给出了精确解。多重尺度法，关键是对研究的问题中出现的变量采用不同适当的尺度。具体的选择方法多种多样，这里不具体介绍了。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。2、多变量展开法仍以线性阻尼振动问题 (1)(2)该问题的精确解为 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。可见解不仅与 有关,而且与 等等有关.于是,引进三种时间尺度:设本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。利用记 ,则本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。于是(1)式成为(2)式成为比较 各次幂的系数,得递推方程:本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。(3)(4)(5)本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。以上各式 中的由(3)得 (6)且将(6)代入(4)得 (7)为使 中不出现长期项,令本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。且有解得将它们代入(6)得本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。而(7)成为有解将 代入(5),得本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。为了 不出现长期项,令上式 、的系数为0,为了使 中不出现长期项,应有本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。解得代回 的方程,得其中,须利用 的方程来定,最后得零阶渐近解本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。这里三、三、方法方法19世纪末,天文学家 研究行星轨迹时,遇到了含小参数的非线性微分方程,无法求出它的解,就尝试将解用小参数 的幂级数来表示,为了防止长期项的出现,对正则摄动法作了改进,其基本思想是：不不仅仅对解作展开对解作展开,且对方程中的有关参数也作展开且对方程中的有关参数也作展开。本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。例例:(1)(2)为弱的非线性项.解:设 (3)本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。待定,代入(1)（2）,得:(4)本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。未扰动问题(3)的解：将 代入(4)，得其中右边第一项产生“长期项”(齐次方程的特征根 是特征单根),为使 不含长期项,令本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。即 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。由初值,得最后有一阶渐近解本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。讨论讨论:方程(1)是弱非线性恢复力的非线性振动方程,非线性振动的特点是频率与振幅的依赖关系,一阶渐近解反映了这一依赖性.正则摄动正则摄动不能反映这一物理特性,从而失败.说明说明:因将参数对 展开,故称为变形参数变形参数,实质上相于对自变量作变换:(5)本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。变换(5)可以说是对时间 作微小的形变,目的为了消除常数项,由于式中的 是待定的,这样就有选择的余地.和 在研究行星轨迹时都用了这个方法,故称故称 方法方法.这是发展较早的一种奇异摄动法.最后,需指出的是,奇异摄动中还有很多方法,如渐近展开匹配法,合法展开法,平均展开法,法等,这里不再具体讨论。
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