插值与最小二乘法课件

插值与最小二乘法（拟合）1数值分析 主讲教师 问题的提出 设某个未知函数关系y=f(x)的一些测量值列表如下:x11.523y2.33.4-1.75.6那么对,(i=0,1,2,.,n)应该如何估值 2数值分析 主讲教师 内插法肇始于中关于晷长的计算,后经东汉、隋、唐、元等朝代天文学家在日、月、五星的运行测量和计算中逐步得到发展.元代郭守敬的平立定三差法(招差法)标志着中国古代历法计算从二次到高次插值方法的演变.通过中外比较,有些成果比西方国家早4001 000年.3数值分析 主讲教师n等距节点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544-610年)首先提出的;n 不等距节点内插公式是由我国唐朝数学家张遂(公元683-727年)提出的;n 比西欧学者发表相应结果早一千余年.历史4数值分析 主讲教师问题的解决-插值方法概述n寻求较简单的连续函数(x)，使它在给定的n+1个点满足测量值，在其他点处估计未知函数值。n若将连续函数(x)取为多项式函数，则称为多项式(Polynomial)插值Pn(x)；当然还有三角插值、有理插值等形式。5数值分析 主讲教师插值与最小二乘法n1插值问题与插值多项式n2 Lagrange插值n3 均差与Newton插值公式 n4 差分与Newton前后插值公式n5 Hermite插值n6 分段低次插值n7 三次样条插值n8 曲线拟合的最小二乘法6数值分析 主讲教师1插值问题与插值多项式7数值分析 主讲教师 多项式插值多项式插值有着简单、应用广泛、实用的特点，并且有较完备的理论体系。因此本课主要介绍多项式插值。8数值分析 主讲教师9数值分析 主讲教师10数值分析 主讲教师2 Lagrange多项式插值n2.1 线性插值与二次插值-导引n2.2 Lagrange插值多项式n2.3插值余项与误差估计11数值分析 主讲教师2.1 线性插值与二次插值12数值分析 主讲教师2.1 线性插值与二次插值13数值分析 主讲教师2.2 Lagrange插值多项式14数值分析 主讲教师15数值分析 主讲教师2.3插值余项与误差估计前面的Cramer方法和该定理表明了插值多项式的唯一性。两插值函数在n+1个点上函数值相同，故两多项式相同。16数值分析 主讲教师17数值分析 主讲教师18数值分析 主讲教师19数值分析 主讲教师开始输入X（xi,yi）i=0,1,n0:=y0：=k1:=t(x-xj)/(xk-xj)*t:=tj=0,k-1,k+1,.ny+t*yk:=yK=n?不等K+1:=k等于输出y结束20数值分析 主讲教师3 Newton插值公式与均差（差商）21数值分析 主讲教师22数值分析 主讲教师23数值分析 主讲教师24数值分析 主讲教师25数值分析 主讲教师26数值分析 主讲教师27数值分析 主讲教师Newton均差（差商）表28数值分析 主讲教师关于k用数学归纳法证明（举例说明三阶差商）。29数值分析 主讲教师30数值分析 主讲教师31数值分析 主讲教师32数值分析 主讲教师33数值分析 主讲教师34数值分析 主讲教师Newton插值和均差的另一种形式推导*35数值分析 主讲教师Newton插值和均差的另一种形式推导*36数值分析 主讲教师Newton插值和均差的另一种形式推导*37数值分析 主讲教师三种多项式插值的关系*现已学的三种多项式插值方法：（1）直接（Cramer）法（2）Lagrange法（3）Newton法无非是选用了Pnx不同的基底，所获的插值多项式是一样的。38数值分析 主讲教师4 Hermite插值-带导数条件的多项式插值39数值分析 主讲教师40数值分析 主讲教师41数值分析 主讲教师42数值分析 主讲教师43数值分析 主讲教师44数值分析 主讲教师45数值分析 主讲教师正如Lagrange插值的弱点，也应有Newton型Hermite插值。46数值分析 主讲教师误差估计47数值分析 主讲教师5 Hermite插值-多点情形48数值分析 主讲教师49数值分析 主讲教师50数值分析 主讲教师多点Hermite多项式插值误差估计51数值分析 主讲教师证明：52数值分析 主讲教师Hermite插值的两个性质53数值分析 主讲教师6 分段低次插值n5.6.1 多项式插值的收敛性问题 （Runge现象）n5.6.2 分段线性插值n5.6.3 分段三次Hermite插值n5.6.4 三次样条插值54数值分析 主讲教师6.1多项式插值收敛性问题n前面介绍了n+1个插值节点上构造不超过n次的插值多项式的方法，并分析了它们的余项，从余项的表达式看到，插值多项式与被插函数逼近的程度是与分点的数目、位置及被插函数的特性有关。n考虑如下问题：是否插值节点越多，插值多项式对函数的逼近程度就越好呢？龙格现象55数值分析 主讲教师56数值分析 主讲教师6.2 分段线性插值n多项式插值虽有许多优点，但由于多项式“在一点的性质足以决定其整体性质”的特点，难以描述自然界“在不同的区域内的性状可以完全不相关”的大范围现象，如Runge现象；因此高次插值收敛性没有保证，实际的计算稳定性也没保证。故当插值节点n较大时通常不采用高次多项式插值，而改用低次分段插值。57数值分析 主讲教师58数值分析 主讲教师59数值分析 主讲教师利用Lagrange插值基底的思想60数值分析 主讲教师证明：逐段应用Lagrange插值的误差估计。61数值分析 主讲教师6.3 分段三次Hermite插值62数值分析 主讲教师63数值分析 主讲教师利用Lagrange插值基底的思想64数值分析 主讲教师65数值分析 主讲教师66数值分析 主讲教师67数值分析 主讲教师7 三次样条插值n 三次样条函数n 三弯矩方程n 三次样条插值收敛性68数值分析 主讲教师 7.1三次样条函数（Spline）n由于分段线性插值和分段Hermite插值的光滑性不够（例如船体放样、飞机的外形曲线设计常需二阶可导），况且节点处的导数值难以获得。n下面介绍的样条仍是一种分段多项式，各相邻段将具有更高阶光滑连接性质，因而它既保持了多项式的简单性，又保持了各段相对独立的局部性质和整体光滑性。69数值分析 主讲教师样条函数70数值分析 主讲教师三次样条函数的求法（三弯矩方程）71数值分析 主讲教师三次样条函数的求法（三弯矩方程）72数值分析 主讲教师三次样条函数的求法（三弯矩方程）73数值分析 主讲教师三次样条函数的求法（三弯矩方程）74数值分析 主讲教师三次样条函数的求法（三弯矩方程）75数值分析 主讲教师7.2三弯矩方程组的定解条件76数值分析 主讲教师77数值分析 主讲教师78数值分析 主讲教师79数值分析 主讲教师例80数值分析 主讲教师81数值分析 主讲教师82数值分析 主讲教师83数值分析 主讲教师EX:A natural cubic spline s(x)on 1,3 which interpolates(2,1),(3,0)is defined by（1）Find b,D,d;(2)Use Lagrange or Newton interpolating polynomials of 2-degree to approximate s(1.5)from the data:s(1),s(2),s(3);%(3)Find the least square polynomial of order 1 from the data s(1),s(2),s(3).Solution:(1)b=-1/2,D=1/4,d=1/4,thus:s(1)=1,s(2)=1,s(3)=0,(2),(3)Assume p(x)=ax+b,then obtain the normal equations,solve it gives a=-0.5,b=5/3,so p(x)=-0.5x+5/3.84数值分析 主讲教师7.3 三次样条插值收敛性85数值分析 主讲教师8 曲线拟合的最小二乘法86数值分析 主讲教师线性函数拟合线性函数拟合87数值分析 主讲教师88数值分析 主讲教师89数值分析 主讲教师90数值分析 主讲教师i12345xiyi16512315012314118712617212514891数值分析 主讲教师92数值分析 主讲教师一般拟合函数一般拟合函数93数值分析 主讲教师94数值分析 主讲教师95数值分析 主讲教师96数值分析 主讲教师97数值分析 主讲教师98数值分析 主讲教师99数值分析 主讲教师100数值分析 主讲教师101数值分析 主讲教师102数值分析 主讲教师