数理统计基础课件

第一章第一章 数理数理统计统计基基础础与概率与概率论论一一样样,数理数理统计统计也是研究大量随机也是研究大量随机现现象的象的统计规统计规律的一律的一门门数学学科数学学科,它以概率它以概率论为论为理理论论基基础础,根据根据试验试验或或观观察得到的数据察得到的数据,对对研究研究对对象的客象的客观规观规律性作出种种合理的估律性作出种种合理的估计计和科和科学的推断学的推断.数理数理统计统计主要研究两主要研究两类问题类问题:(1)试验试验的的设计设计与研究，即如何合理有效地与研究，即如何合理有效地获获得数据得数据资资料料.(2)统计统计推断，即如何利用推断，即如何利用获获得的数据得的数据资资料料,对对所关心的所关心的统计问题统计问题作出尽可能有效可靠的判作出尽可能有效可靠的判断断.从本章起的接从本章起的接连连六章六章,是数理是数理统计统计学的初步学的初步,主主要要讲讲述估述估计计与与检验检验等原理等原理,回回归归分析与方差分分析与方差分析析,试验设计试验设计等等统计统计方法方法.1a1 数理数理统计统计中的几个概念中的几个概念1.1 总总体与个体体与个体 我们将研究对象的全体所构成的一个集合称为总总体体或母体母体,而把组成总体的每一单元成员称为个体个体.如为研究某厂生产的电子元件的使用寿命分布情况，则总体为该厂生产的所有电子元件，而每一个该厂生产的电子元件都是一个个体.2a 在数理统计中,我们将研究对象的某项数量指标的值的全体称为总总体体,总体中的每个元素称为个体个体.比如，对电子元件我们主要关心的是其使用寿命.而该厂生产的所有电子元件的使用寿命取值的全体，就构成了研究对象的全体，即总体，显然它是一个随机变量，常用X表示.为方便起见，今后我们把总体与随机变量X等同起来看，即总体就是某随机变量X可能取值的全体.它客观上存在一个分布，但我们对其分布一无所知，或部分未知，正因为如此，才有必要对总体进行研究.3a1.2 简单简单随机随机样样本本 对总对总体体进进行研究，首先需要行研究，首先需要获获取取总总体的有关信息体的有关信息.一般采用两种方法：一般采用两种方法：一是全面一是全面调查调查.如人口普如人口普查查，该该方法常要消耗大量的方法常要消耗大量的人力、物力、人力、物力、财财力力.有有时时甚至是不可能的，如甚至是不可能的，如测试测试某某厂生厂生产产的所有的所有电电子元件的使用寿命子元件的使用寿命.二是抽二是抽样调查样调查.抽抽样调查样调查是按照一定的方法，从是按照一定的方法，从总总体体X中抽取中抽取n个个体个个体.这这是我是我们对总们对总体掌握的信息体掌握的信息.数数理理统计统计就是要利用就是要利用这这一信息，一信息，对总对总体体进进行分析、估行分析、估计计、推断、推断.因此，要求抽取的因此，要求抽取的这这n个个体个个体应应具有很好具有很好的代表性的代表性.4a 按机会均等的原则随机地从客观存在的总体中抽取一些个体进行观察或测试的过程称为随随机抽机抽样样.从总体中抽出的部分个体,叫做总体的一个样样本本.从总体中抽取样本时,不仅要求每一个个体被抽到的机会均等,同时还要求每次的抽取是独立的,即每次抽样的结果不影响其他各次的抽样结果,同时也不受其他各次抽样结果的影响.这种抽样方法称为简单简单随机抽随机抽样样.由简单随机抽样得到的样本叫做简单简单随机随机样样本本.往后如不作特别说明,提到“样本”总是指简单随机样本.5a 从总体X中抽取一个个体,就是对随机变量X进行一次试验.抽取n个个体就是对随机变量X进行n次试验,分别记为X1,X2,Xn.则样本就是n维随机变量(X1,X2,Xn).在一次抽样以后,(X1,X2,Xn)就有了一组确定的值(x1,x2,xn),称为样样本本观测值观测值.样本观测值(x1,x2,xn)可以看着一个随机试验的一个结果,它的一切可能结果的全体构成一个样本空间,称为子子样样空空间间.6a 定定义义:设X是具有分布函数F(x)的随机变量,若X1,X2,Xn是具有同一分布函数F(x)的相互独立的随机变量,则称(X1,X2,Xn)为从分布函数(或总体F(x)、或总体X)得到的容量容量为为n的的简单简单随机随机样样本本,简称样本.它们的观察值(x1,x2,xn)称为样样本本值值,又称为X的n个独立的观察值.若(X1,X2,Xn)为X的一个样本,则(X1,X2,Xn)的联合分布函数为 若X具有概率密度p(x),则(X1,X2,Xn)的联合概率密度函数为7a总总体、体、样样本、本、样样本本观观察察值值的关系的关系总总体体 样样本本 样样本本观观察察值值 理理论论分布分布 统计统计是从手中已有的是从手中已有的资资料料样样本本观观察察值值，去推断，去推断总总体的情况体的情况总总体分布。体分布。样样本是本是联联系两者的系两者的桥桥梁。梁。总总体分布决定了体分布决定了样样本取本取值值的概率的概率规规律，也就是律，也就是样样本本取到取到样样本本观观察察值值的的规规律，因而可以用律，因而可以用样样本本观观察察值值去去推断推断总总体体8a1.3 统计统计量量 定定义义：设(X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,Xn)是关于X1,X2,Xn的一个连续函数且g(X1,X2,Xn)中不含有任何未知参数,则称g(X1,X2,Xn)是样本(X1,X2,Xn)的一个统计统计量量.设(x1,x2,xn)是相应于样本(X1,X2,Xn)的样本值,则g(x1,x2,xn)称是g(X1,X2,Xn)的观观察察值值.9a1.3 常用的常用的统计统计量量 设(X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本,则10a 设（x1,x2,xn）是样本(X1,X2,Xn)的观察值,则11a若若总总体均体均值值E(X)E(X)存在，存在，总总体方差体方差D(X)D(X)存在，存在，则则由由X X1 1,X,X2 2,X,Xn n的独立性及同分布性，有的独立性及同分布性，有12a证证明明 定理定理:设总体X的均值为,方差为2,(X1,X2,Xn)是X的一个样本,则有13a 定理定理:设总体X的均值为E(X)=,方差D(X)=2,(X1,X2,Xn)是X的一个样本,则有证证明明14a15a解解 因为16a2 数理数理统计统计中常用的三个分布中常用的三个分布2.1 2分布分布2.1.1 2分布的概念分布的概念17a2分布的的密度函数的示意图18a2.1.2 2分布的构造分布的构造 定理定理:设X1,X2,Xn是相互独立的随机变量,且XiN(0,1),则统计量19a2.1.3 2分布的性分布的性质质 定理定理:设12 2(n1),22 2(n2),且12与 22相互独立,则12+22 2(n1+n2).证证明明 由分布的可加性即可证明.定理定理:若2 2(n),则E(2)=n,D(2)=2n.证证明明 因XiN(0,1),故E(Xi2)=D(Xi)=1;D(Xi2)=E(Xi4)-E(Xi2)2=3-1=2,i=1,2,n于是20a2.1.4 2分布的上分位点分布的上分位点对对于于(0,1)给给定定,称称满满足条件足条件:的点的点n2()为为n2分布的上分布的上 分位点分位点.aca2(n)21a2.2 T分布分布2.2.1 T分布的概念分布的概念22aT分布的的密度函数的示意图23a2.2.2 T分布的构造分布的构造24a2.2.3 T分布的性分布的性质质(1)f(t)(1)f(t)关于t=0t=0(纵轴)对称，且 E(T)=0，D(T)0(2)f(t)(2)f(t)的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即 25a2.2.4 T分布的上分位点分布的上分位点 设T Tt(n),t(n),对对于于(0,1)(0,1)给给定定,称称满满足条件足条件:的点t tn n()为为t t分布的上分布的上 分位点分位点.ta(n)a26a注注:27a2.3 F分布分布2.3.1 F分布的概念分布的概念28aF分布的的密度函数的示意图(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)O29a2.3.2 F分布的构造分布的构造 定理定理:设X 2(n1),Y 2(n2),且X,Y独立,则随机变量30a2.3.3 F分布的上分位点分布的上分位点设F(n1,n2)，对于给定的a,0a1,称满足条件的点的点F F (n1,n2)为为F F分布的上分布的上 分位点分位点.OFa(n1,n2)a31a2.3.4 F分布的性分布的性质质定理：定理：证证明明:设设FF(n1,n2),则则得得证证!32a解解 因此有 33a试确定Z的分布.解解 由样本的同分布性知：由此得：由t分布的构造知:34a035a3 一个正一个正态总态总体下的体下的统计统计量的分布量的分布证证明明36a 定理定理:设(X1,X2,Xn)是来自总体XN(,2)的一个样本,则37a且它们表示的随机变量是相互独立的,故证证明明38a解解 所以39a解解 查表得 则有 由于40a4 两个正两个正态总态总体下的体下的统计统计量的分布量的分布41a定理：定理：证证 42a其中 注注:此定理只有在两个总体的方差相等时才成立.43a 证证明明:(1)因为所以(2)因为(3)故所以44a特别,当X2=Y2时,有45a证证 由F分布的构造知 即 由于且相互独立46a解解 47a解解 其中 则 48a解解 因为所以查表得因此49a