数理统计的基本概念课件_002

第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念 由于大量随机现象必然呈现出其规律性，由于大量随机现象必然呈现出其规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多足够多次的观察次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚，随机现象的规律性就一定能够清楚地呈现出来。地呈现出来。但是，客观上只允许我们对随机现象进行但是，客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得的只能是局部的或有限的观察资料。的只能是局部的或有限的观察资料。数理统计的任务就是研究怎样有效地数理统计的任务就是研究怎样有效地收集收集、整理整理和和分析分析所获得的有限资料，并对所研究的所获得的有限资料，并对所研究的问题尽可能地给出精确而可靠的问题尽可能地给出精确而可靠的估计估计和和推断推断。现实世界中存在着形形色色的数据，分析现实世界中存在着形形色色的数据，分析这些数据需要多种多样的方法。这些数据需要多种多样的方法。因此，数理统计中的方法和支持这些方法的相因此，数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的。概括起来可以归纳成两大类。应理论是相当丰富的。概括起来可以归纳成两大类。参数估计参数估计:根据数据，对分布中的未知参数根据数据，对分布中的未知参数 进行估计；进行估计；假设检验假设检验:根据数据，对分布的未知参数的根据数据，对分布的未知参数的 某种假设进行检验。某种假设进行检验。参数估计与假设检验参数估计与假设检验构成了统计推断的两种基本构成了统计推断的两种基本形式形式，这两种推断渗透到了数理统计的每个分支。，这两种推断渗透到了数理统计的每个分支。6.1 总体与样本总体与样本6.1.1 6.1.1 总体与样本总体与样本在数理统计中，我们往往关心所研究对象的在数理统计中，我们往往关心所研究对象的某项数某项数量指标量指标（比如灯泡的使用寿命（比如灯泡的使用寿命,学生的身高等）学生的身高等）.把研究对象的某项数量指标值的全体称为把研究对象的某项数量指标值的全体称为总体总体，每个，每个研究对象的数量指标值称为研究对象的数量指标值称为个体个体。总体中的个体数目。总体中的个体数目称为总体容量。称为总体容量。1.1.总体与个体总体与个体 在研究在研究2000名学生的年龄时名学生的年龄时,这些学这些学生的年龄的全体就构成一个总体生的年龄的全体就构成一个总体,每个学生的每个学生的年龄就是个体年龄就是个体.实例实例1 某工厂某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的月份生产的灯泡寿命所组成的总体中总体中,个体的总数就是个体的总数就是10月份生产的灯泡数月份生产的灯泡数,这是一个有限总体这是一个有限总体;而该工厂生产的所有灯泡寿而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体命所组成的总体是一个无限总体,它包括以往生它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命产和今后生产的灯泡寿命.2.2.有限总体和无限总体有限总体和无限总体实例实例2 当有限总体包含的个体的当有限总体包含的个体的总数很大时总数很大时,可近似地将它看可近似地将它看成是无限总体成是无限总体.3.3.总体分布总体分布 在在2000名大学一年级学生的年龄中名大学一年级学生的年龄中,年年龄指标值为龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”，“19”，“20”的依次有的依次有9，21，132，1207，588，43 名名,它们在总体中所占比率依次为它们在总体中所占比率依次为实例实例3即学生年龄的取值有一定的分布即学生年龄的取值有一定的分布.一般地一般地,我们所研究的总体我们所研究的总体,即研究对象的某即研究对象的某项数量指标项数量指标 X,其取值在客观上有一定的分布其取值在客观上有一定的分布,X是一个随机变量是一个随机变量.如如实例实例3中中,总体就是数集总体就是数集 15,16,17,18,19,20.总体分布为总体分布为:即总体就是一个随机变量，总体的分布就是随机变即总体就是一个随机变量，总体的分布就是随机变量的分布量的分布.4.4.样本样本在实际问题中，总体的分布一般是未知的，或分布形式在实际问题中，总体的分布一般是未知的，或分布形式已知，却含有未知参数已知，却含有未知参数（比如服从比如服从P（），），未知未知).我们往往从总体中抽出部分个体，根据获得的数据对我们往往从总体中抽出部分个体，根据获得的数据对总体的分布进行推断总体的分布进行推断.被抽出的部分个体称为总体的一个样本被抽出的部分个体称为总体的一个样本.所谓从总体中抽出一个个体，所谓从总体中抽出一个个体，就是对总体就是对总体X进行一次进行一次观察，并其记录结果观察，并其记录结果.在相同的条件下对总体在相同的条件下对总体X进行进行n次重复独立观察次重复独立观察，其结果，其结果显然显然，都是随机变量都是随机变量，而且而且它们它们相互独立，与总体相互独立，与总体X同分布同分布.与总体与总体X具有相同的概率分布，则称随机变量具有相同的概率分布，则称随机变量为来自总体为来自总体X的容量为的容量为n的的简单随机简单随机定义定义1：若随机变量若随机变量相互独立且都相互独立且都样本，简称样本样本，简称样本注意：样本的二重性。注意：样本的二重性。样本样本 X1,X2,Xn 可以被看作可以被看作n维随机向量维随机向量,自然自然需要研究其联合分布。需要研究其联合分布。6.1.2 6.1.2 样本的分布样本的分布 假设总体假设总体 X 具有概率密度函数具有概率密度函数 f(x)，因样本，因样本X1,X2,Xn独立独立同分布同分布于于 X，于是，样本的，于是，样本的联合概联合概率密度函数为：率密度函数为：若总体若总体 X 是离散型的，其分布律为：是离散型的，其分布律为：则样本的联合分布为则样本的联合分布为由由样样本本推推断断总总体体的的某某些些情情况况时时，需需要要对对样样本本进进行行“加加工工”，构构造造出出若若干干个个样样本本的的已已知知 (确确定定)的的函函数数，其其作作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来。用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来。6.2.1 统计量的概念统计量的概念 这种这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。它是完全由样本所决定的量。它是完全由样本所决定的量。6.2 6.2 抽样分布抽样分布是样本是样本的函数，如果的函数，如果中不包含任何未知参数，则称它中不包含任何未知参数，则称它定义定义2：设设是来自总体是来自总体X的样本，的样本，是一个统计量是一个统计量。定义：几个常用的统计量定义：几个常用的统计量样本均值样本均值样本方差样本方差 反映总体反映总体均值的信息均值的信息 反映总体反映总体方差的信息方差的信息样本标准差样本标准差样本样本 k 阶原点矩阶原点矩样本样本 k 阶中心矩阶中心矩 k=1,2,反映总体反映总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息 反映总体反映总体k 阶矩的信息阶矩的信息 它们的观察值分别为它们的观察值分别为 定理定理1：设设来自总体来自总体X的样本，则的样本，则若总体若总体X的的k阶矩存在，由大数定律可以得到：阶矩存在，由大数定律可以得到：定理定理2 2：设设 X1,X2,Xn是来自均值为是来自均值为 ,方差为方差为 2 2 的正态总体的样本，则有的正态总体的样本，则有 统计量的分布称为抽样分布，下面介绍来自正统计量的分布称为抽样分布，下面介绍来自正态总体的几个重要统计量的分布，称为统计学的三态总体的几个重要统计量的分布，称为统计学的三大分布：大分布：分布，分布，t分布和分布和F分布分布.6.2.2 2 分布分布 定义定义4:设设 X1,X2,Xn 是来自总体是来自总体 N(0,1),的样本，则称统计量的样本，则称统计量服从自由度为服从自由度为 n 的的卡方卡方分布，记为：分布，记为：注意：注意：若若X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体 的样本，则随机变量的样本，则随机变量的概率密度为：的概率密度为：分布概率密度曲线分布概率密度曲线分布的性质：分布的性质：定理定理 3：证明略证明略.t 分布的概率分布的概率密度为密度为为服从自由度为服从自由度 n 的的 t 分布，记为分布，记为 T t(n)。6.2.3 t 分布分布 定义定义5:设设 X N(0,1),Y 2(n),且且 X与与Y 相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量t 分布的概率分布的概率密度图形密度图形当当 n 充分大时，充分大时，f(x;n)趋近于标准正态趋近于标准正态分布的概率密度。分布的概率密度。定理定理 4：6.2.4 F 分布分布且且U与与V相互独立相互独立，则称则称 F=(U/m)/(V/n)服从第一自由度为服从第一自由度为m，第二自由度为，第二自由度为n 的的 F 分布。记成分布。记成 F F(m,n)。定义定义6 6：设设其概率密度函数为其概率密度函数为F 分布的性质：分布的性质：（1）若）若F F(m,n)，则，则1/F F(n,m);（2）若）若X t(n)，则，则结论：结论：6.2.5 正态总体样本均值与样本方差的分布正态总体样本均值与样本方差的分布定理定理5：设：设X1,X2,Xm 与与Y1,Y2,Yn分别来自总体分别来自总体 两样本独立，两样本独立，则有则有定理定理6*：设：设X1,X2,Xm 与与Y1,Y2,Yn分别来自分别来自 两样本独立，两样本独立，则有则有其中其中6.3 分位数分位数 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x)，设，设 满足满足0 1,若数若数x，使使则称则称x 为此概率分布的为此概率分布的 分位数（或上侧分位数（或上侧 分位数）。分位数）。标准正态分布的分位数记为标准正态分布的分位数记为z ，满足条件，满足条件即即 例如例如,由于概率分布的对称性由于概率分布的对称性,有有例例1:1:总体总体为其样本，求为其样本，求解解:即即例例2:2:总体总体为其样本，求为其样本，求a,b使随机变量使随机变量并写出自由度并写出自由度.解解:二者独立，二者独立，要使要使Y服从服从必须使必须使例例3:3:设设X与与Y独立，都服从独立，都服从分别为来自总体分别为来自总体X,Y的两个样本，则统计量的两个样本，则统计量服从什么分布？服从什么分布？解解:时，时，相互独立相互独立，即即U与与V独立，由独立，由t分布的定义分布的定义例例5:5:设总体设总体为其样本，求为其样本，求解解:（1）且相互独立，且相互独立，因此因此反查反查P173表表4.0.1.（2）设总体设总体X的分布函数为的分布函数为F(x),则则的分布函数为的分布函数为所求概率为所求概率为例例6:总体总体为其两独立为其两独立样本，计算样本，计算解解且两者独立，且两者独立，即即练习练习从总体从总体中抽取容量是中抽取容量是n的样本，若要求的样本，若要求样本均值位于（样本均值位于（1.4，5.4）内的概率不少于）内的概率不少于0.95,问问n至少取多大？至少取多大？附正态分布的分布函数部分值表：附正态分布的分布函数部分值表：1.28 1.645 1.96 2.33 0.9 0.95 0.975 0.99解解 即即n至少取至少取35.xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！