数理方程-总结复习及练习要点课件

第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程1光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYu基本知基本知识u定定解解问题的确立及分析的确立及分析u定解定解问题求解之行波法求解之行波法u定定解解问题求解之分离求解之分离变量法量法u定定解解问题求解之求解之Green函数法函数法u定定解解问题求解之求解之积分分变换法法2光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY数理方程基本知数理方程基本知识数学物理方程主要是指数学物理所涉及的偏微分数学物理方程主要是指数学物理所涉及的偏微分方程，有方程，有时也包括相关的也包括相关的积分方程、微分分方程、微分积分方分方程，或者程，或者说物理物理规律用数学律用数学语言描述出来的偏微言描述出来的偏微分方程就是数学物理方程。分方程就是数学物理方程。数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下按照物理按照物理规律律变化的情况。化的情况。这些物理量所些物理量所满足的足的物理物理规律具有律具有共性共性,它反映的是同一它反映的是同一类物理物理现象的象的共同共同规律。物理量受某些特定条件律。物理量受某些特定条件约束，所束，所产生生的物理的物理问题又各具有自身的特殊性，即又各具有自身的特殊性，即个性个性。3光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY具有共性的物理具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述，律可以用偏微分方程的形式描述，这些方程在不附加个性条件的情况下称些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方程泛定方程。约束物理量的特定条件可以使符合共性物理束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的律的物理量确定，或者物理量确定，或者说，也能，也能够使使满足泛定方程的解足泛定方程的解确定下来，确定下来，这些特定条件都可以称些特定条件都可以称为定解条件定解条件。我。我们研究研究数理方程的目的数理方程的目的就是就是为了确定方程的解，了确定方程的解，进而研究特定条件下物理量确定而研究特定条件下物理量确定值或或变化情况。化情况。数理方程基本知数理方程基本知识4光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY数理方程基本知数理方程基本知识我我们研究的研究的这些定解条件或者些定解条件或者约束物理量的特定条束物理量的特定条件大体可以分件大体可以分为两大两大类，一，一类关乎于关乎于环境境对物理量物理量发展展过程的程的约束，束，这类约束主要体束主要体现于物理于物理环境周境周围边界的物理状况，即界的物理状况，即边界条件界条件。另一。另一类关乎于物关乎于物理量理量发展的展的历史状况，或者史状况，或者说这个物理量之前是什个物理量之前是什么么样的，的，这类约束主要体束主要体现于于时间上我上我们人人为定定义从何从何时开始开始针对于物理量的研究，或者于物理量的研究，或者说这个物理个物理量研究初始量研究初始时的状况，即的状况，即初始条件初始条件。数学上数学上边界条件界条件和和初始条件初始条件也也统称称为定解条件定解条件。5光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY数理方程基本知数理方程基本知识由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的问题称称为数学物理定解数学物理定解问题，准确地，准确地说就是在就是在给定定定解条件下求解数学物理方程。定解条件下求解数学物理方程。偏微分方程的基本概念偏微分方程的基本概念偏微分方程的偏微分方程的阶数数 最高的求最高的求导次数次数偏微分方程的偏微分方程的齐次与非次与非齐次次 不含有研究函数的非零不含有研究函数的非零项偏微分方程的偏微分方程的线性与非性与非线性性 6光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY数理方程基本知数理方程基本知识劈形算符符合矢量运算劈形算符符合矢量运算Laplace算符算符7光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY数理方程基本知数理方程基本知识场的概念的概念物理量在空物理量在空间或一部分空或一部分空间上的分布就称上的分布就称为场数量数量场和矢量和矢量场如果描写如果描写场的量是数量函数，也就是没有方向性，的量是数量函数，也就是没有方向性，只有大小之分，只有大小之分，这个个场就是就是数量数量场，如，如温度温度场，压力力场；如果描写；如果描写场的量是矢量函数就称的量是矢量函数就称这个个场为矢量矢量场，如，如速度速度场、电磁磁场、引力、引力场8光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY数理方程基本知数理方程基本知识场的表示的表示除用点的函数来描写除用点的函数来描写场的物理、力学性的物理、力学性质外，常在外，常在场中按一定中按一定规则绘出曲面或曲出曲面或曲线来表示来表示场中物理中物理量分布；量分布；数量数量场 矢量矢量场 其中其中A中各个分量代表了中各个分量代表了场矢量在矢量在x,y,z三个方向的分三个方向的分量量9光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY数理方程基本知数理方程基本知识方向方向导数数数量数量场函数函数 沿射沿射线的差商的极限存在，的差商的极限存在，则称此极限称此极限为数量数量场在点在点沿方向沿方向 方向方向导数，数，记作作如同一元函数如同一元函数导数反数反应的是函数的是函数变化率一化率一样，方向，方向导数反数反应的是数量的是数量场在点在点 出沿方向出沿方向e对距离距离的的变化率。化率。10光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY数理方程基本知数理方程基本知识梯度梯度gradu称称为数量数量场u的梯度，它的方向与的梯度，它的方向与u在在M点点上升上升的的最快的方向同向最快的方向同向11光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY数理方程基本知数理方程基本知识发散量散量对于一般的矢量于一般的矢量场 和封和封闭曲面曲面 ，我，我们称称 向着向着的外法矢量的外法矢量 方向流方向流过 的流量的流量为发散量散量散度散度单位体位体积的的发散量在点散量在点M0处的极限称的极限称为矢量矢量场在点在点M0的散度，用于描述的散度，用于描述场发散或散或汇聚的快慢，聚的快慢，记作作12光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY数理方程基本知数理方程基本知识Gauss定理定理对于一般的矢量于一般的矢量场 13光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYu基本知基本知识u定解定解问题的确立及分析的确立及分析u定解定解问题求解之行波法求解之行波法u定定解解问题求解之分离求解之分离变量法量法u定定解解问题求解之求解之Green函数法函数法u定定解解问题求解之求解之积分分变换法法14光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY泛定方程的建立泛定方程的建立如何如何获得得给出出问题的泛定方程？的泛定方程？将各将各类不均匀的非不均匀的非线性的物理性的物理问题以微分以微分转化化为均匀的均匀的线性的符合已知物理性的符合已知物理规律的律的问题；例如：例如：线的振的振荡问题通通过分析分析线元受力元受力获得；得；杆的杆的纵振振动通通过分析杆微元受力分析杆微元受力获得；得；浓度度扩散通散通过分析微小均匀体分析微小均匀体积内的内的扩散散获得；得；温度温度扩散通散通过分析微小均匀体分析微小均匀体积内温度内温度获得得15光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY泛定方程的建立泛定方程的建立16光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY泛定方程的建立泛定方程的建立如何如何获得得给出出问题的泛定方程？的泛定方程？扩散方程散方程结合高斯定律合高斯定律热传导定律定律结合高斯定律合高斯定律17光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY泛定方程的建立泛定方程的建立从物理角度看三大从物理角度看三大类泛定方程泛定方程波波动方程方程(描述波的描述波的传播、杆振播、杆振动、电路中路中电流流传播等物播等物理理现象的泛定方程象的泛定方程)其中其中齐次情况下次情况下f(M,t)=0f(M,t)=0输运运方程方程(描述温度描述温度传播、播、浓度度扩散的散的泛定方程泛定方程)其中其中齐次情况下次情况下f(M,t)=f(M,t)=0 0稳态方程方程(描述静描述静电场、稳定定浓度分布的度分布的泛定方程泛定方程)其中其中齐次次情况情况为拉普拉斯方程拉普拉斯方程18光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY泛定方程的建立泛定方程的建立从数学角度看三大从数学角度看三大类泛定方程泛定方程波波动方程方程 属于双曲型属于双曲型输运运方程方程 属于抛物型属于抛物型稳态方程方程 属于属于椭圆型型双曲型双曲型抛物型抛物型椭圆型型判定依据判定依据19光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY定解条件的确定定解条件的确定初始条件初始条件t=0t=0时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值也可以是也可以是对时间变量的量的导数数或者两者皆有或者两者皆有(视偏微分方程中偏微分方程中对时间变量求量求导的的阶数而定数而定)注：注：1.1.初始条件描述物理量的状初始条件描述物理量的状态为整个系整个系统并非并非单个点个点;2.2.稳定定场问题没有初始状没有初始状态；20光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY定解条件的确定定解条件的确定边界条件界条件边界上物理量的状况，数学上可以是物理量本身的界上物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值也可以也可以是物理量在是物理量在边界外法界外法线方向上方向方向上方向导数的数的值，或上述两种情，或上述两种情况的况的线性性组合，具体分合，具体分为三种三种边界条件：界条件：第一第一类 狄里希利狄里希利问题第二第二类 诺依曼依曼问题第三第三类 注：注：边界界问题同同样需要与需要与阶数相同的条件个数来确定解数相同的条件个数来确定解21光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY定解定解问题的形成及分析的形成及分析泛定方程的泛定方程的齐次与非次与非齐次；次；边界条件的界条件的类型；是否有初型；是否有初始条件；始条件；可用的方法：可用的方法：行波法行波法(达朗达朗贝尔公式公式)，分离，分离变量法量法+傅傅里叶里叶级数法数法+冲量定理法冲量定理法+叠加原理，叠加原理，GreenGreen函数函数(+(+冲量冲量定理定理)，积分分变换法；法；22光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYu基本知基本知识u定解定解问题的确立及分析的确立及分析u定解定解问题求解之行波法求解之行波法u定定解解问题求解之分离求解之分离变量法量法u定定解解问题求解之求解之Green函数法函数法u定定解解问题求解之求解之积分分变换法法23光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY定解定解问题求解之一求解之一行波法行波法无界一无界一维波波动问题的特殊求解的特殊求解达朗达朗贝尔公式公式24光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYu基本知基本知识u定解定解问题的确立及分析的确立及分析u定解定解问题求解之行波法求解之行波法u定解定解问题求解之分离求解之分离变量法量法u定定解解问题求解之求解之Green函数法函数法u定定解解问题求解之求解之积分分变换法法25光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY定解定解问题求解之二求解之二分离分离变量法量法齐次次泛定方程泛定方程及及边界条件定解界条件定解问题求解思路求解思路(具有具有变量分离形式的量分离形式的试探解探解 )回代入方程探回代入方程探讨关于关于x x的特征的特征值及特征函数及特征函数根据根据边界条件确定特征界条件确定特征值及特征函数及特征函数傅里叶傅里叶级数确定含数确定含时间函数函数级数形式的系数数形式的系数26光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY定解定解问题求解之二求解之二分离分离变量法量法非非齐次次泛定方程，泛定方程，齐次次边界条件定解界条件定解问题(方案一方案一)结合分离合分离变量法与傅里叶量法与傅里叶级数法数法确定泛定方程解的傅里叶确定泛定方程解的傅里叶级数形式数形式(通通过齐次方程分离次方程分离变量推量推导)，保，保证基函数不基函数不变，系数改，系数改变，通通过分离分离变量确定量确定回代非回代非齐次方程利用待定系数法求解关于次方程利用待定系数法求解关于 的的级数解数解27光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY定解定解问题求解之二求解之二分离分离变量法量法非非齐次次泛定方程，泛定方程，齐次次边界条件定解界条件定解问题(方案二方案二)通通过叠加原理分解叠加原理分解问题，再通，再通过分离分离变量法与冲量定理法量法与冲量定理法求解求解(Page164(Page164页)28光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY定解定解问题求解之二求解之二分离分离变量法量法齐次次泛定方程，泛定方程，非非齐次次边界条件定解界条件定解问题构建函数取构建函数取 ，利用构建的函数，利用构建的函数 使使 在在边界上界上变为齐次条件次条件(page173)(page173)29光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY定解定解问题求解之二求解之二分离分离变量法量法球坐球坐标拉普拉斯方程的分离拉普拉斯方程的分离变量量过程程自然自然边界条件的概念及一般界条件的概念及一般应用用勒勒让德方程的形式德方程的形式贝塞塞尔方程的形式方程的形式欧拉型方程的形式及求解方法欧拉型方程的形式及求解方法30光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY定解定解问题求解之二求解之二分离分离变量法量法线性二性二阶常微分方程的常微分方程的级数解法数解法常点和奇点的定常点和奇点的定义及判及判别31光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYu基本知基本知识u定解定解问题的确立及分析的确立及分析u定解定解问题求解之行波法求解之行波法u定解定解问题求解之分离求解之分离变量法量法u定解定解问题求解之求解之Green函数法函数法u定定解解问题求解之求解之积分分变换法法32光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY定解定解问题求解之三求解之三Green函数法函数法定解定解问题转化化为格林函数的定解形式格林函数的定解形式泊松方程的基本泊松方程的基本积分公式分公式各各类边值条件下格林函数解的形式条件下格林函数解的形式第一第一类边值问题的的积分表示式分表示式第三第三类边值问题的的积分表示分表示格林函数的基本解格林函数的基本解33光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYu基本知基本知识u定解定解问题的确立及分析的确立及分析u定解定解问题求解之行波法求解之行波法u定解定解问题求解之分离求解之分离变量法量法u定解定解问题求解之求解之Green函数法函数法u定解定解问题求解之求解之积分分变换法法34光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院光学与电子科技学院COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGYCOLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY定解定解问题求解之四求解之四积分分变换法法傅里叶傅里叶变换及逆及逆变换的形式的形式(Page 78)(Page 78)傅里叶傅里叶变换的特性的特性无界无界问题的傅里叶的傅里叶变换求解求解(Page 329)(Page 329)拉普拉斯拉普拉斯变换及逆及逆变换的形式的形式拉普拉斯拉普拉斯变换的特性的特性限定源限定源浓度度扩散散问题的求解的求解35