控制系统的能控性和能观测性课件

第第3章章 控制系统的能控性和能观测性控制系统的能控性和能观测性 在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。本章的内容为：本章的内容为：1.引言引言能控性、能观测性的基本概念能控性、能观测性的基本概念2.能控性及其判据能控性及其判据3.能观测性及其判据能观测性及其判据4.离散系统的能控性和能观测性离散系统的能控性和能观测性5.对偶原理对偶原理6.能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形7.能控性、能观测性与传递函数的关系能控性、能观测性与传递函数的关系8.系统的结构分解系统的结构分解9.实现问题实现问题10.使用使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性判断系统的能控性和能观测性3.1 3.1 引言引言 首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。例例3-13-1 电路如下图所示。如果选取电容两端的电压电路如下图所示。如果选取电容两端的电压 为状态变为状态变量，即：量，即：。电桥平衡时，不论输入电压电桥平衡时，不论输入电压 如何如何改变，改变，不随着不随着 的变化而改变，或者说状态变量不受的变化而改变，或者说状态变量不受 的控制。即：该电路的状态是不能控的。的控制。即：该电路的状态是不能控的。显然，当电桥不平衡时，显然，当电桥不平衡时，该电路的状态是能控的。该电路的状态是能控的。例例3-23-2 电路如下图所示，如果选择电容电路如下图所示，如果选择电容C1、C2两端的电压为状态两端的电压为状态变量，即：变量，即：，电路的输出，电路的输出 为为C2上的电压，即上的电压，即 ，则电路的系统方程为，则电路的系统方程为如果初始状态为如果初始状态为系统状态转移矩阵为系统状态转移矩阵为系统状态方程的解为系统状态方程的解为可见，不论加入什么样的可见，不论加入什么样的输入信号，总是有输入信号，总是有一般情况下，系统方程可以表示为一般情况下，系统方程可以表示为（1）状态能控与否，不仅取决于状态能控与否，不仅取决于B 阵（直接关系），还取决于阵（直接关系），还取决于A 阵（间阵（间接关系）。接关系）。系统状态转移矩阵为系统状态转移矩阵为 系统能观测问题是研究测量输出变量系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。去确定状态变量的问题。例例3-33-3 电路如下图所示。选取电路如下图所示。选取 为输入量，为输入量，为输出量，为输出量，两个电感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为两个电感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为系统状态方程的解为系统状态方程的解为为了简便起见，令为了简便起见，令则则从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出 仅仅取决于其仅仅取决于其差值差值 。当。当 ，则输出恒等于零。，则输出恒等于零。显然，无法通过对输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不显然，无法通过对输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。能观测的。对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系，既无直接关系，又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C，还与，还与A 有关。有关。一般情况下，系统方程如式（一般情况下，系统方程如式（1）所示，状态能观测与否，不仅取）所示，状态能观测与否，不仅取决于决于C 阵（直接关系），还取决于阵（直接关系），还取决于A阵（间接关系）。阵（间接关系）。3.2 3.2 能控性及其判据能控性及其判据3.2.1 线性定常系统的能控性及其判据线性定常系统的能控性及其判据1.能控性定义能控性定义线性定常系统的状态方程为线性定常系统的状态方程为（2）给定系统一个初始状态给定系统一个初始状态 ，如果在，如果在 的有限时间的有限时间区间区间 内，存在容许控制内，存在容许控制 ，使，使 ，则称系统状态在，则称系统状态在 时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的。态都能控，则称系统是状态完全能控的。说明：说明：1）初始状态初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过是状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）坐标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）2）如果在有限时间区间）如果在有限时间区间 内，存在容许控制内，存在容许控制 ，使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态，使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态 ，则，则称系统是状态能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，称系统是状态能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控性和能达性是等价的。因此系统的能控性和能达性是等价的。3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。的。4）满足（）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。）式的初始状态，必是能控状态。（3）5）当系统中存在不依赖于）当系统中存在不依赖于 的确定性干扰的确定性干扰 时，时，不会改变系统的能控性。不会改变系统的能控性。（4）2.能控性判据能控性判据定理定理3-13-1 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的下面的nn维格拉姆矩阵满秩维格拉姆矩阵满秩（5）（证明参见教材（证明参见教材84页）页）（这个定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵，（这个定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）定理定理3-23-2 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的面的nnr 维能控性矩阵满秩。维能控性矩阵满秩。（6）（7）证明证明应用凯应用凯-哈定理，有哈定理，有上式代入（上式代入（3）式）式（8）于是于是（9）如果系统能控，必能够从（如果系统能控，必能够从（9）式中解得）式中解得 ，。这样就要求。这样就要求（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）定理定理3-33-3 （PBH判别法）判别法）（2）式的线性定常系统为状态能控）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是，对的充分必要条件是，对A 的所有特征值的所有特征值 ，都有，都有（10）（证明略）（证明略）（可以应用定理（可以应用定理3-2证明，详见教材证明，详见教材87页）页）（11）定理定理3-43-4（2）式的线性定常系统的矩阵）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值的特征值 互异，互异，将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵则系统能控的充分必要条件是矩阵则系统能控的充分必要条件是矩阵 中不包含元素全为零的行。中不包含元素全为零的行。例例3-63-6 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。有如下两个线性定常系统，判断其能控性。（1）（2）解解 根据定理根据定理3-4，系统（系统（1）不能控不能控；系统（系统（2）能控。）能控。且且 ，定理定理3-53-5（2）式的线性定常系统的矩阵）式的线性定常系统的矩阵 A 具有重特征值，具有重特征值，、分别为分别为 重、重、重、重、重、重、重。重。经过非奇异线性变换，得到约当阵经过非奇异线性变换，得到约当阵则系统能控的充分必要条件是矩阵则系统能控的充分必要条件是矩阵 中与每一个约当子块最下中与每一个约当子块最下面一行对应行的元素不全为零。面一行对应行的元素不全为零。（12）例例3-73-7 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。有如下两个线性定常系统，判断其能控性。（1）（2）解解根据定理根据定理3-5，系统（系统（1）能控）能控；系统（系统（2）不能控）不能控 （定理（定理（3-43-4）、定理（）、定理（3-53-5）不仅可以判断系统能控性，而且对）不仅可以判断系统能控性，而且对于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。）于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。）说明：说明：1.1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等价的。价的。2.2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此，在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此，能控性判据同样可以判断能达性。能控性判据同样可以判断能达性。3.2.2 线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据（13）线性时变系统的状态方程为线性时变系统的状态方程为定理定理3-63-6 状态在时刻状态在时刻 能控的充分必要条件是存在一个有限时间能控的充分必要条件是存在一个有限时间 ，使得函数矩阵，使得函数矩阵 的的n个行在个行在 上线性上线性无关。无关。（证明略）（证明略）定理定理3-73-7 状态在时刻状态在时刻 能控的充分必要条件是存在一个有限时间能控的充分必要条件是存在一个有限时间 ，使得以下格拉姆矩阵非奇异。，使得以下格拉姆矩阵非奇异。（14）（15）定义：定义：（16）当当定理定理3-83-8 如果线性时变系统的如果线性时变系统的 和和 的元是的元是(n1)阶连阶连续可微的。如果存在一个有限的续可微的。如果存在一个有限的 ，使得，使得（17）则系统在则系统在 是能控的。是能控的。例例3-83-8 线性事变系统方程为线性事变系统方程为 ，初始时刻初始时刻 ，试判别系统的能控性。，试判别系统的能控性。解而而所以，能控。所以，能控。3.3 3.3 能观测性判据能观测性判据3.3.1 线性定常系统能观测性及其判据线性定常系统能观测性及其判据1.能观测性定义能观测性定义（18）线性定常系统方程为线性定常系统方程为如果在有限时间区间如果在有限时间区间 （）内，通过观测）内，通过观测 ，能够惟一地确定系统的初始状态，能够惟一地确定系统的初始状态 ，称系统状态在，称系统状态在 是能是能观测的。如果对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。如果对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。观测的。说明说明：1）已知系统在有限时间区间已知系统在有限时间区间 内的内的输出输出 ，观测的目标是为了确定，观测的目标是为了确定 。2）如果根据）如果根据 内的输出内的输出 能够惟能够惟一地确定任意指定状态一地确定任意指定状态 ，则称系统是可检测的。连续系，则称系统是可检测的。连续系统的能观测性和能检测性等价。统的能观测性和能检测性等价。3）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是能观测的。）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是能观测的。4）系统的输入）系统的输入 以及确定性的干扰信号以及确定性的干扰信号 均不改变均不改变系统的能观测性。系统的能观测性。2.能观测性能观测性定理定理3-93-9 （18）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下格）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下格拉姆能观性矩阵满秩，即拉姆能观性矩阵满秩，即（19）（20）其中其中（证明见教材（证明见教材92页）页）（这个定理为能观测性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩（这个定理为能观测性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）定理定理3-103-10 （18）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下能观性矩阵满秩，即能观性矩阵满秩，即（21）（22）证明证明 设设 ，系统的齐次状态方程的解为系统的齐次状态方程的解为（23）应用凯应用凯-哈定理，有哈定理，有则则或者写成或者写成由于由于 是已知函数，因此，根据有限时间是已知函数，因此，根据有限时间 内内的的 能够唯一地确定初始状态能够唯一地确定初始状态 的充分必要条件为的充分必要条件为 满秩。满秩。定理定理3-113-11（PBH判别法）判别法）系统（系统（18）为能观测的充分必要的条件）为能观测的充分必要的条件是：对于是：对于A 的每一个特征值的每一个特征值 ，以下矩阵的秩均为，以下矩阵的秩均为n（24）例例3-93-9 系统方程如下，试判断系统的能控性系统方程如下，试判断系统的能控性解解不满秩，故系统不能观测。不满秩，故系统不能观测。（由于以上判据很简单，因此最为常用）定理定理3-123-12 如果（如果（18）式描述的系统的）式描述的系统的A 阵特征值阵特征值 互异，经过互异，经过非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是 矩阵中不包含元素全为零的列。矩阵中不包含元素全为零的列。例例3-10 有如下两个线性定常系统，判断它们的能观测性。有如下两个线性定常系统，判断它们的能观测性。（1）（2）解解 根据定理根据定理3-12可以判断，系统（可以判断，系统（1）是不能观测的。系统）是不能观测的。系统（2）是能观测的。）是能观测的。且且 ，定理定理3-133-13 如果（如果（18）式描述的系统的）式描述的系统的A 阵具有重特征值，阵具有重特征值，、分别为分别为 重、重、重、重、重。重。经过非奇异线性变换，得到约当阵经过非奇异线性变换，得到约当阵则系统能观测的充分必要条件是矩阵则系统能观测的充分必要条件是矩阵 中与每一个约当子块第中与每一个约当子块第一列对应的列，其元素不全为零。一列对应的列，其元素不全为零。例例3-113-11 如下线性定常系统如下线性定常系统试判别系统的能观测性。试判别系统的能观测性。解解 应用定理应用定理3-13可知，系统能观测。可知，系统能观测。（定理（定理（3-123-12）、定理（）、定理（3-133-13）不仅可以判断系统能观测性，而）不仅可以判断系统能观测性，而且对于不能观测的系统，可以知道哪个状态分量不能观测。）且对于不能观测的系统，可以知道哪个状态分量不能观测。）说明：说明：1.1.上面通过几个定理给出判断系统能观测性的判据。虽然它上面通过几个定理给出判断系统能观测性的判据。虽然它们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能观测性时们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能观测性时是等价的。是等价的。2.2.在线性连续定常系统中，由于能检测性和能观测性是等价的，在线性连续定常系统中，由于能检测性和能观测性是等价的，因此，能观测性判据同样可以判断能检测性。因此，能观测性判据同样可以判断能检测性。3.3.2 线性时变系统的能观测性判据线性时变系统的能观测性判据线性时变系统方程为线性时变系统方程为（25）定理定理3-143-14 状态在时刻状态在时刻 能观测的充分必要条件是存在一个有限能观测的充分必要条件是存在一个有限时刻时刻 ，使得函数矩阵，使得函数矩阵 的的n个列在个列在 上线性无关。上线性无关。定理定理3-153-15 状态在时刻状态在时刻 能观测的充分必要条件是存在一个有限能观测的充分必要条件是存在一个有限时间时间 ，使得以下能观性格拉姆矩阵非奇异。，使得以下能观性格拉姆矩阵非奇异。定义定义（26）（27）定理定理3-163-16 如果线性时变系统的如果线性时变系统的 和和 的元是的元是(n1)阶连阶连续可微的。如果存在一个有限的续可微的。如果存在一个有限的 ，使得，使得（28）则系统在则系统在 是能观测的。是能观测的。3.4 3.4 离散系统的能控性和能观测性离散系统的能控性和能观测性线性定常离散系统方程为线性定常离散系统方程为（29）3.4.1 能控性定义能控性定义系统（系统（29）的任一个初始状态）的任一个初始状态 ，存在，存在 ，在有限时，在有限时间区间间区间 内，存在容许控制序列内，存在容许控制序列 ，使得，使得 ，则称，则称系统是状态完全能控的。系统是状态完全能控的。3.4.2 能控性判据能控性判据（证明见教材（证明见教材96页）页）例例3-123-12 线性定常离散系统状态方程为线性定常离散系统状态方程为判断系统的能控性。判断系统的能控性。（30）解解所以系统能控。所以系统能控。定理定理3-173-17 系统（系统（29）能控的充分必要条件是能控性矩阵）能控的充分必要条件是能控性矩阵 的的秩为秩为n，即，即 3.4.3 能观测性定义能观测性定义对于（对于（29）式所描述的系统，根据有限个采样周期的）式所描述的系统，根据有限个采样周期的 ，可以惟一地确定系统的任一初始状态可以惟一地确定系统的任一初始状态 ，则称系统是状态完，则称系统是状态完全能观测的。全能观测的。3.4.4 能观测性判据能观测性判据定理定理3-183-18 系统（系统（29）能观测的充分必要条件是能观性矩阵）能观测的充分必要条件是能观性矩阵 的秩为的秩为n，即，即（证明请参见教材（证明请参见教材97页）页）例例3-133-13 线性定常离散系统方程为线性定常离散系统方程为试判断系统的能观测性。试判断系统的能观测性。解解因此，系统能观测。因此，系统能观测。3.4.5 连续系统离散化后的能控性与能观测性连续系统离散化后的能控性与能观测性线性定常系统方程为线性定常系统方程为（31）离散化后的系统方程为离散化后的系统方程为（32）其中其中T 是采样周期是采样周期定理定理3-193-19 如果线性定常系统（如果线性定常系统（31）不能控（不能观测），则离散）不能控（不能观测），则离散化后的系统（化后的系统（32）必是不能控（不能观测）。其逆定理一般不成立。）必是不能控（不能观测）。其逆定理一般不成立。定理定理3-203-20 如果线性离散化后系统（如果线性离散化后系统（32）能控（能观测），则离散）能控（能观测），则离散化前的连续系统（化前的连续系统（31）必是能控（能观测）。其逆定理一般不成立。）必是能控（能观测）。其逆定理一般不成立。定理定理3-21 如果连续系统（如果连续系统（31）能控（能观测），）能控（能观测），A 的全部特征的全部特征值互异，值互异，并且对，并且对 的特征值，的特征值，如果如果与采样周期的关系满足条件与采样周期的关系满足条件（33）则离散化后的系统仍是能控（能观测）的。则离散化后的系统仍是能控（能观测）的。3.5 3.5 对偶原理对偶原理线性定常系统方程为线性定常系统方程为（34）构造一个系统构造一个系统（35）系统（系统（34）和（）和（35）互）互为对偶系统。为对偶系统。（上面介绍了系统能控性和能观测性。从概念上和形式上都很相似。它给人们一个启示，即能控性和能观测性之间存在某种内在的联系。这个联系就是系统的对偶原理）（式（35）的系数矩阵为 ，输入矩阵为 ，输出矩阵为 ）对偶系统具有两个基本特征对偶系统具有两个基本特征1.对偶的两个系统传递函数矩阵互为转置对偶的两个系统传递函数矩阵互为转置2.对偶的两个系统特征值相同对偶的两个系统特征值相同对偶原理对偶原理：系统（系统（34）的能控性等价于系统（）的能控性等价于系统（35）的能观测性；）的能观测性；系统（系统（34）的能观测性等价于系统（）的能观测性等价于系统（35）的能控性。）的能控性。例例3-153-15 线性定常系统如下，判断其能观测性。线性定常系统如下，判断其能观测性。解解以上系统的对偶系统为以上系统的对偶系统为该对偶系统的能控性矩阵该对偶系统的能控性矩阵对偶系统能控，根据对偶原理，原系统能观测。对偶系统能控，根据对偶原理，原系统能观测。有了对偶原理，一个系统的能控性问题可以通过它的对偶系统有了对偶原理，一个系统的能控性问题可以通过它的对偶系统的能观测性问题的解决而解决；而系统的能观测性问题可以通过它的能观测性问题的解决而解决；而系统的能观测性问题可以通过它的对偶系统的能控性问题的解决而解决。这在控制理论的研究上有的对偶系统的能控性问题的解决而解决。这在控制理论的研究上有重要意义。重要意义。3.6 3.6 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形（36）3.6.1 能控标准形能控标准形线性定常系统线性定常系统设设A的特征多项式的特征多项式能控性矩阵能控性矩阵定理定理3-223-22 系统（系统（36）能控，通过线性变换可以将其变成如下形式）能控，通过线性变换可以将其变成如下形式的能控标准形。的能控标准形。（37）推论推论：具有能控标准形的系统一定能控。：具有能控标准形的系统一定能控。（证明参见教材（证明参见教材104页）页）例例3-163-16 已知能控的线性定常系统已知能控的线性定常系统（1）能控性矩阵）能控性矩阵解解系统能控系统能控（2）A 的特征多项式的特征多项式（3）计算变换矩阵）计算变换矩阵 P（4）计算）计算（5）能控标准形）能控标准形3.6.2 能观测标准形能观测标准形系统（系统（36）的能观测性矩阵为）的能观测性矩阵为则系统能观测则系统能观测（38）定理定理3-233-23 系统（系统（36）能观测，通过线性变换可以将其变成如下形）能观测，通过线性变换可以将其变成如下形式的能观标准形。式的能观标准形。推论推论：具有能观标准形的系统一定能观。：具有能观标准形的系统一定能观。变换矩阵可取为变换矩阵可取为（39）3.7 3.7 能控性、能观性与传递函数的关系能控性、能观性与传递函数的关系考察考察SISO线性定常系统线性定常系统（40）其传递函数为其传递函数为（41）传递函数的分子、分母分别为传递函数的分子、分母分别为可以看出，在没有零极点对消的情况下，传递函数的特征根和系统可以看出，在没有零极点对消的情况下，传递函数的特征根和系统矩阵矩阵A 的特征值相同。的特征值相同。定理定理3-243-24 SISO系统系统（40）能控又能观的充分必要条件是）能控又能观的充分必要条件是 不存在零、极点对消。不存在零、极点对消。例例3-173-17 线性定常系统方程如下，求系统传递函数，并且判断系统线性定常系统方程如下，求系统传递函数，并且判断系统能控性与能观性。能控性与能观性。解解 传递函数为传递函数为能控性能控性能观性能观性可见，系统传递函数有零、极点对消，能控但不能观。可见，系统传递函数有零、极点对消，能控但不能观。应当指出，定理3-24对MIMO系统不适用。举例说明如下。例例3-193-19 MIMO线性定常系统方程为线性定常系统方程为传递函数矩阵传递函数矩阵能控性能控性能观性能观性可见，传递函数矩阵虽然有零极点对消，但是可见，传递函数矩阵虽然有零极点对消，但是系统既能控又能观。这是因为极点系统既能控又能观。这是因为极点(s-1)还剩一还剩一个，并未消失，只是降低系统重极点的重数。个，并未消失，只是降低系统重极点的重数。（42）MIMO线性定常系统线性定常系统定理定理3-253-25 若系统（若系统（42）的状态向量和输入向量之间的传递函数矩）的状态向量和输入向量之间的传递函数矩阵阵 的各行线性无关，则系统能控。的各行线性无关，则系统能控。定理定理3-263-26 若系统（若系统（42）的输出向量和状态向量之间的传递函数矩）的输出向量和状态向量之间的传递函数矩阵阵 的各列线性无关，则系统能的各列线性无关，则系统能观。观。3.8 3.8 系统的结构分解系统的结构分解 一个不能控、不能观测的系统，从结构上来说，必定包括能控、一个不能控、不能观测的系统，从结构上来说，必定包括能控、不能控以及能观测、不能观测的子系统。如何按照能控性或能观测不能控以及能观测、不能观测的子系统。如何按照能控性或能观测性进行分解呢？性进行分解呢？我们知道，线性变换不改变系统的能控性和能观测性。因此，可我们知道，线性变换不改变系统的能控性和能观测性。因此，可采用线性变换方法将其分解。这里必须解决采用线性变换方法将其分解。这里必须解决3个问题：个问题：1、如何分解？、如何分解？2、分解后系统方程的形式为何？、分解后系统方程的形式为何？3、变换矩阵如何确定？、变换矩阵如何确定？下面介绍结构分解问题。下面介绍结构分解问题。线性定常系统线性定常系统（43）3.8.1 按能控性分解按能控性分解定理定理3-273-27 若系统（若系统（43）不能控，且状态）不能控，且状态 有有 个状态分量能个状态分量能控，则存在线性变换控，则存在线性变换 ，使其变换成下面形式，使其变换成下面形式（44）并且并且 维子系统为维子系统为系统的传递函数矩阵系统的传递函数矩阵（46）（45）变换矩阵变换矩阵 的确定方法：因为的确定方法：因为即矩阵即矩阵 中有中有n1个线性无关的列向量，再补充个线性无关的列向量，再补充 个列个列向量，从而构成非奇异的矩阵向量，从而构成非奇异的矩阵 例例3-20 系统方程如下，要求按能控性进行结构分解。系统方程如下，要求按能控性进行结构分解。解解系统不能控系统不能控由于由于 的秩为的秩为1。说明。说明 中线性独立的列向量只有一列。中线性独立的列向量只有一列。选择选择 ，再补充一个列向量，且与其线性无关，再补充一个列向量，且与其线性无关，经过线性变换后经过线性变换后3.8.2 按能观性分解按能观性分解定理定理3-283-28 若系统（若系统（43）不能观，且状态）不能观，且状态 有有 个状态分量个状态分量能观，则存在线性变换能观，则存在线性变换 ，使其变换成下面形式，使其变换成下面形式（47）并且并且 维子系统维子系统（48）系统传递函数为系统传递函数为（49）能观性矩阵能观性矩阵 中有中有 个线性无关的行向量，在它们的个线性无关的行向量，在它们的基础上，再补充基础上，再补充 个行向量，构成变换矩阵。个行向量，构成变换矩阵。例例3-213-21 系统方程如下，要求按能观性进行结构分解。系统方程如下，要求按能观性进行结构分解。解解从从 中任选两个行向量，例如中任选两个行向量，例如 ，再补充，再补充一个与之线性无关的行向量。一个与之线性无关的行向量。线性变换后线性变换后3.8.3 同时按能控性和能观性进行结构分解同时按能控性和能观性进行结构分解定理定理3-293-29 若系统（若系统（43）不能控，不能观，且存在线性变换）不能控，不能观，且存在线性变换 ，使其变换成下面形式，使其变换成下面形式系统传递函数矩阵系统传递函数矩阵（50）（51）3.9 3.9 实现问题实现问题（52）如果给定一个传递函数如果给定一个传递函数 ，求得一个系统方程，求得一个系统方程（53）或者或者注：当传递函数分子的阶次小于分母的阶次时，有（注：当传递函数分子的阶次小于分母的阶次时，有（52）式形式；）式形式；当传递函数分子的阶次等于分母的阶次时，有（当传递函数分子的阶次等于分母的阶次时，有（53）式形式。）式形式。在基于状态空间方法分析和设计控制系统时，要知道系统的状态空间表达式。然而在有的情况下，只知道系统的传递函数（矩阵），这时就要将给定的传递函数（矩阵）描述变成与之输入输出特性等价的状态空间表达式描述。这个问题称为系统实现问题。这里只讨论SISO系统的实现问题。3.9.1 能控标准形实现能控标准形实现系统传递函数为系统传递函数为1.不含零点不含零点（54）即：即：进行拉普拉斯反变换进行拉普拉斯反变换选择系统的状态变量选择系统的状态变量于是有于是有 ，写成矩阵形式写成矩阵形式其中其中2.含零点含零点 ，写成矩阵形式写成矩阵形式其中其中3.9.2 能观标准形实现能观标准形实现系统传递函数为系统传递函数为如果令如果令于是于是写成矩阵形式写成矩阵形式3.9.3 并联形实现并联形实现为简单起见，以两阶系统传递函数为例，进行介绍。为简单起见，以两阶系统传递函数为例，进行介绍。1）传递函数极点互异）传递函数极点互异选取选取有有则则2）传递函数有重极点）传递函数有重极点矩阵形式矩阵形式3.9.4 串联形实现串联形实现设设3.9.5 最小实现最小实现在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。最小实现也在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。最小实现也不是惟一的。不是惟一的。定理定理3-30 系统方程系统方程（55）为传递函数为传递函数 的一个最小实现的充分必要条件是系统（的一个最小实现的充分必要条件是系统（55）能控且能观测。能控且能观测。3.10 3.10 MATLAB的应用的应用3.10.1 判断线性系统的能控性和能观测性判断线性系统的能控性和能观测性 用用MATLAB可以很方便地求出线性控制系统的能控性矩阵和能可以很方便地求出线性控制系统的能控性矩阵和能观测性矩阵，并且求出它们的秩。从而判断系统的能控性和能观测观测性矩阵，并且求出它们的秩。从而判断系统的能控性和能观测性。函数性。函数ctrb()和和obsv()分别计算系统的能控性矩阵和能观测性分别计算系统的能控性矩阵和能观测性矩阵。格式为：矩阵。格式为：Qc=ctrb(A,B),Qo=obsv(A,C)。例例 3-233-23 判断下面的线性系统是否能控？是否能观测？判断下面的线性系统是否能控？是否能观测？其中其中 解解 先分别计算系统的能控性矩阵和能观测性矩阵。然后，再用先分别计算系统的能控性矩阵和能观测性矩阵。然后，再用rank()函数计算这两个矩阵的秩。函数计算这两个矩阵的秩。输入以下语句输入以下语句这些语句的执行结果为这些语句的执行结果为 从计算结果可以看出，系统能控性矩阵和能观测性矩阵的秩都从计算结果可以看出，系统能控性矩阵和能观测性矩阵的秩都是是3，为满秩，因此该系统是能控的，也是能观测的。，为满秩，因此该系统是能控的，也是能观测的。注：当系统的模型用注：当系统的模型用sys=ss(A,B,C,D)输入以后，也就是当系统模输入以后，也就是当系统模型用状态空间的形式表示时，我们也可以用型用状态空间的形式表示时，我们也可以用Qc=ctrb(sys)，Qo=obsv(sys)的形式求出该系统的能控性矩阵和能观测性矩阵。的形式求出该系统的能控性矩阵和能观测性矩阵。3.10.2 线性系统按能控性或者能观测性分解线性系统按能控性或者能观测性分解在用在用MATLAB进行结构分解时，不能控（不能观）的系统，其结构进行结构分解时，不能控（不能观）的系统，其结构分解的系统方程形式与本章分解的系统方程形式与本章3.8节不同。节不同。当系统能控性矩阵的秩当系统能控性矩阵的秩 时，我们可以使用时，我们可以使用函数命令函数命令ctrbf()可以对线性系统进行能控性分解。其调用格式可以对线性系统进行能控性分解。其调用格式为为 。其中，。其中，T为相似变换矩阵。为相似变换矩阵。输出为一个向量，输出为一个向量，sum(K)可以求出能控的状态分量的个数。可以求出能控的状态分量的个数。类似地，当系统能观测性矩阵的秩类似地，当系统能观测性矩阵的秩 时，我时，我们可以使用函数命令们可以使用函数命令obsvf()可以对线性系统进行能观测性分解。可以对线性系统进行能观测性分解。其调用格式为其调用格式为 。其中，其中，T 为相似变换矩阵。为相似变换矩阵。输出为一个向量，输出为一个向量，sum(K)可以求出能观测的状态分量的个数。可以求出能观测的状态分量的个数。例例3-243-24 系统方程为系统方程为 其中其中 试按能控性进行结构分解。试按能控性进行结构分解。解解 输入下列语句输入下列语句 语句执行结果为语句执行结果为从输出的向量可以看出有两个状态分量是能控的。可以验证从输出的向量可以看出有两个状态分量是能控的。可以验证 ，输入语句，输入语句得到的结果为得到的结果为 可见，可见，A1=Abar，所得到的结果是正确的。，所得到的结果是正确的。3.10.3 线性系统转换成能控标准形和能观标准形线性系统转换成能控标准形和能观标准形 下面通过两个例子来说明将系统变换成能控标准形和能观下面通过两个例子来说明将系统变换成能控标准形和能观标准形的方法。标准形的方法。例例3-253-25 系统方程为系统方程为 其中其中 求线性变换，将其变换成能控标准形。求线性变换，将其变换成能控标准形。解解 1）判断系统是否能控，并且求出）判断系统是否能控，并且求出A 阵的特征多项式阵的特征多项式输入下面语句输入下面语句运行结果为运行结果为表明系统为能控，因此可以变换成能控标准形。而且求出表明系统为能控，因此可以变换成能控标准形。而且求出A 的特的特征多项式为征多项式为（即：（即：，）2）计算变换矩阵）计算变换矩阵输入以下语句输入以下语句计算结果为计算结果为3）计算出能控标准形）计算出能控标准形 输入以下语句输入以下语句计算结果为计算结果为表明经过变换以后的系统方程为表明经过变换以后的系统方程为例例3-263-26 系统方程为系统方程为 其中其中 求线性变换，将其变换成能观标准形。求线性变换，将其变换成能观标准形。解解 1）判断系统是否为能观测，并且求出）判断系统是否为能观测，并且求出A阵的特征多项式阵的特征多项式 输入下面语句输入下面语句运行结果为运行结果为 表明系统为能观测，因此可以变换成能观标准形。而且求出的表明系统为能观测，因此可以变换成能观标准形。而且求出的特征多项式为特征多项式为（即：（即：，）2）计算变换矩阵）计算变换矩阵 输入以下语句输入以下语句计算结果为计算结果为3）计算出能观标准形）计算出能观标准形 输入以下语句输入以下语句计算结果为计算结果为表明经过变换以后的系统方程为表明经过变换以后的系统方程为第第3章章 结束结束