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拉普拉斯变换拉普拉斯变换1拉氏变换的定义拉氏变换的定义2典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换3拉氏变换的性质拉氏变换的性质4有理分式函数的拉氏反变换有理分式函数的拉氏反变换5拉氏变换求解微分方程拉氏变换求解微分方程2024/6/231n微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形式的数学模型。通过对它求解，就可以得到系式的数学模型。通过对它求解，就可以得到系统在给定输入信号作用下的输出响应。拉普拉统在给定输入信号作用下的输出响应。拉普拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。用方法。n拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究线拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将时域的微分方程时域的微分方程变换为变换为复数域的代数方程复数域的代数方程，这，这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。拉普拉斯变换拉普拉斯变换2024/6/232n在控制工程中在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的使用拉氏变换的主要目的:拉普拉斯变换拉普拉斯变换用它来研究系统动态特性。用它来研究系统动态特性。因为描述系统动态特性的传递函数和频率因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。2024/6/233一、拉氏变换定义一、拉氏变换定义原函数原函数象函数象函数时间域时间域 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 复频域复频域f(t)f(t)为实变量为实变量t t的函数，（的函数，（t0t0时时,f(t)=0f(t)=0）称为称为原函数原函数 F(s)F(s)为复变量为复变量s s的函数，称为的函数，称为f(t)f(t)的的象函数象函数和 都为实数 2024/6/234二、二、典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换n加于控制系统的外作用一般事先是不完全知加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的道的,而且常常随着时间任意变化而且常常随着时间任意变化.为了便于为了便于对系统进行理论分析对系统进行理论分析,工程实践中允许采用以工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数作为系统的典型输入下几种简单的时间函数作为系统的典型输入,即即单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、指数函数、正弦函数、以及单位脉度函数、指数函数、正弦函数、以及单位脉冲函数冲函数等。等。2024/6/235在自动控制原理中，单位阶跃函数在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合关的闭合(或断开或断开)。在求它的象函。在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式定义式 t0 t 0 图图1-1 1-1 单位阶跃函数单位阶跃函数 10t其拉氏变换其拉氏变换1 1、单位阶跃函数、单位阶跃函数2024/6/236在自动控制原理中，斜坡函在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化数是一个对时间作均匀变化的信号。在研究随动系统时，的信号。在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输常以斜坡信号作为典型的输入信号。入信号。t0t 0图图1-2 1-2 单位斜坡函数单位斜坡函数其拉氏变换其拉氏变换2 2、单位斜坡函数、单位斜坡函数2024/6/2373 3、单位加速度函数、单位加速度函数t0t 0其拉氏变换其拉氏变换 2024/6/2384 4、指数函数、指数函数 t0t 0其拉氏变换其拉氏变换 2024/6/239t 0t 0其拉氏变换其拉氏变换 5 5、正弦函数、正弦函数 2024/6/2310注注:欧拉公式欧拉公式5 5、正弦函数、正弦函数 2024/6/2311求正弦函数（求正弦函数（Sinusoidal Function）的象函数。的象函数。5 5、正弦函数、正弦函数 解解:2024/6/2312t0t 0其拉氏变换其拉氏变换 6 6、余弦函数、余弦函数 2024/6/2313在自动控制系统中，单位脉在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动冲函数相当一个瞬时的扰动信号。信号。1性质性质其拉氏变换其拉氏变换 且且图图1-3 1-3 单位脉冲函数单位脉冲函数7、单位脉冲函数、单位脉冲函数2024/6/2314 设 则 三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质1 1、线性性质、线性性质齐次性和叠加性齐次性和叠加性2024/6/23152 2、微分性质、微分性质三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质2024/6/2316三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质2024/6/23173 3、积分性质积分性质三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质2024/6/2318三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质2024/6/23194 4、终值定理、终值定理且且 ,存在，则存在，则 三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质2024/6/23205 5、初值定理、初值定理三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质2024/6/2321时域时域位移定理位移定理复数复数域位移定理域位移定理6 6、位移定理、位移定理三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质2024/6/23227 7、卷积定理、卷积定理则则若若卷积符号卷积符号上式表明两个时间函数卷积的拉氏变换等于两个时间上式表明两个时间函数卷积的拉氏变换等于两个时间函数的拉氏变换的乘积。这个关系式在拉氏反变换中可函数的拉氏变换的乘积。这个关系式在拉氏反变换中可以简化计算以简化计算。三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质 卷积卷积2024/6/2323四、四、有理分式函数的拉氏反变换有理分式函数的拉氏反变换从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。2024/6/2324求拉氏反变换的方法有：求拉氏反变换的方法有：(1)(1)查表法查表法(2)(2)部分分式法部分分式法四、四、有理分式函数的拉氏反变换有理分式函数的拉氏反变换2024/6/2325四、四、有理分式函数的拉氏反变换有理分式函数的拉氏反变换常用常用拉氏反变换拉氏反变换2024/6/2326一般象函数可以表示成如下的有理分式一般象函数可以表示成如下的有理分式分母进行因式分解，得分母进行因式分解，得:四、四、有理分式函数的拉氏反变换有理分式函数的拉氏反变换2024/6/23271 1、当、当A(s)=0无重极点无重极点(n(n个不等根个不等根)时，时，四、四、有理分式函数的拉氏反变换有理分式函数的拉氏反变换2024/6/2328例例已知已知 ,试求原函数试求原函数。解：解：写成部分分式形式写成部分分式形式求待定系数求待定系数四、四、有理分式函数的拉氏反变换有理分式函数的拉氏反变换2024/6/2329四、四、有理分式函数的拉氏反变换有理分式函数的拉氏反变换2024/6/23302 2、当、当A(s)=0有有r重根重根p1时，时，F(s)F(s)可表示为可表示为四、四、有理分式函数的拉氏反变换有理分式函数的拉氏反变换2024/6/2332因此，原函数为因此，原函数为 四、四、有理分式函数的拉氏反变换有理分式函数的拉氏反变换系数系数:计算方法计算方法按照无重根系数按照无重根系数求解方法。求解方法。2024/6/2333例例 已知已知 ，试求原函数，试求原函数f(t)f(t)。解：解：四、四、有理分式函数的拉氏反变换有理分式函数的拉氏反变换2024/6/2334四、四、有理分式函数的拉氏反变换有理分式函数的拉氏反变换2024/6/2335五、拉氏变换解微分方程五、拉氏变换解微分方程利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：1方程两边进行拉普拉斯变换并代入初始条件方程两边进行拉普拉斯变换并代入初始条件 及输入。及输入。2求出表达式求出表达式Y(s)。3用部分分式法展开求出用部分分式法展开求出y(t).y(t).2024/6/2336解：解：将初始条件代入得将初始条件代入得例例求微分方程求微分方程满足初始条件满足初始条件的解。的解。五、拉氏变换解微分方程五、拉氏变换解微分方程2024/6/2337五、拉氏变换解微分方程五、拉氏变换解微分方程2024/6/2338课后作业课后作业 P37:2-22-32-4拉普拉斯变换拉普拉斯变换2024/6/2339谢谢
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