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第二章 事件的概率第二节 事件的概率历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义 公理化定义 统计定义 古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出1设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，频率频率则称 为事件 A 发生的 频率频率2频率的性质q q q 事件 A,B互斥，则可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性非负性归一性归一性可加性可加性稳定性稳定性某一定数某一定数q 3投一枚硬币观察正面向上的次数 n=4040,nH=2048,f n(H)=0.5069 n=12000,nH=6019,f n(H)=0.5016n=24000,nH=12012,f n(H)=0.5005频率稳定性的实例频率稳定性的实例 蒲丰(Buffon)投币 皮尔森(Pearson)投币4例例 Dewey G.统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率,发现各字母出现 的频率不同：A:0.0788 B:0.0156 C:0.0268 D:0.0389E:0.1268 F:0.0256 G:0.0187 H:0.0573I:0.0707 J:0.0010 K:0.0060 L:0.0394M:0.0244 N:0.0706 O:0.0776 P:0.0186Q:0.0009 R:0.0594 S:0.0634 T:0.0987U:0.0280 V:0.0102 W:0.0214 X:0.0016Y:0.0202 Z:0.00065 频 率 的 应 用第七章指出第七章指出:当试验次数较大时有当试验次数较大时有事件发生事件发生的的概概 率率事件发生事件发生的的频频 率率根据如下百年统计资料可得根据如下百年统计资料可得世界每年发生大地震的概率世界每年发生大地震的概率6 近百年世界重大地震1905.04.04 克什米尔地区 8.0 88 万1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4 2 1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万 时 间 地 点 级别死亡“重大”的标准 震级 7 级左右 死亡 5000人以上7 时 间 地 点 级别死亡1948.06.28 日本福井地区 7.3 0.51 万1970.01.05 中国云南 7.7 1 万1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2 1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5 1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7.4 1.7 万2003.12.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万世界每年发生大地震概率约为世界每年发生大地震概率约为1414%8 概率的概率的统计定义统计定义第一节第一节 概率的概念概率的概念在相同条件下重复进行的 n 次试验中,事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动,且随 n 越大摆动幅度越小,则称 p 为事件 A 的概率,记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价优点：直观 易懂缺点：粗糙 模糊不便使用9概率满足:10设 随机试验E 具有下列特点：q 基本事件的个数有限q 每个基本事件等可能性发生则称 E 为 古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记 则第二节第二节 古典（等可能）概型古典（等可能）概型 概率的概率的古典定义古典定义第二节古典概型11 例例 1 1 一批产品由一批产品由9090件正品和件正品和1010件次品件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大？大？解解 设设“取得一件产品是正品取得一件产品是正品”这一事这一事件为件为A A，则因为每一件产品都有可能被抽出来，则因为每一件产品都有可能被抽出来，总的抽取方法有（总的抽取方法有（90+1090+10）种，而取得正品的）种，而取得正品的取法有取法有9090种，按古典概率的定义，种，按古典概率的定义，所求概率为所求概率为 P(A)=0.9P(A)=0.9 排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具 。12 例例 2 2 一批产品由一批产品由9595件正品和件正品和5 5件次品组成，件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后不连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问再放回，问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？大？解解 用用A A表示事件表示事件“第一次取得正品且第一次取得正品且第二次取得次品第二次取得次品”，由于是无放回地抽取，由于是无放回地抽取，应用乘法原理可知总的抽取方法有：应用乘法原理可知总的抽取方法有：1009910099种，而第一次抽正品的方法有种，而第一次抽正品的方法有9595种，种，第二次取次品的方法有第二次取次品的方法有5 5种，则种，则A A中包含的抽中包含的抽取方法取方法13 例例 3 3 在例在例2 2中，若仍是不放回抽取两件中，若仍是不放回抽取两件产品，要求计算产品，要求计算“抽得一件为正品，一件为抽得一件为正品，一件为次品次品”，的概率。，的概率。共共955955种，所求概率为：种，所求概率为：解解 设设A A表示表示“第一次抽得正品且第二第一次抽得正品且第二次抽得次品次抽得次品”，B B表示表示“第一次抽得次品且第第一次抽得次品且第二次抽得正品二次抽得正品”，显然，显然A A与与B B是互斥事件，是互斥事件，（A+BA+B）14表示事件表示事件“一次取得正品，一次取得次品一次取得正品，一次取得次品”，从而所求概率为：从而所求概率为：15例例4 4 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m个球（),求其中恰有 k 个（）白球的概率解解（1）不放回情形不放回情形例416E1:球编号,一次取 m 个球,记下颜色1:记事件 A 为m个球中有k个白球，则因此称超几何分布17（2）放回情形放回情形E2:球编号,任取一球,记下颜色,放回去,重复 m 次2:记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球,则称二项分布二项分布18 设有 k 个不同的球,每个球等可能地落入 N 个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；（4）恰有 k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球()（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例例5 5（分房模型）（分房模型）例519解解设 (1)(6)的各事件分别为则20例例5的的“分房模型分房模型”可应用于很多类似场合可应用于很多类似场合“球”可视为人“盒子”相应视为房子信封信钥匙门锁女舞伴生日人男舞伴21解解例例6 6 在0,1,2,3,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.设 A为“能排成首位非零的四位偶数”四位偶数的末位为偶数,故有 种可能而前三位数有 种取法,由于首位为零的四 位数有 种取法,所以有利于A发生的取 法共有 种.例6221o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验,使其成为等可能概型.3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式,将复杂问题简单化.2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而不同,如 例3不放回试验的两种不同设计.一般 越小越好.计算古典概率注意事项23 若P(A)0.01,则称A为小概率事件.小概率事件 一次试验中小概率事件一般是不会发生的.若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.小概率原理小概率原理(即实际推断原理)24例例7 7 区长办公室某一周内曾接待过9次来 访,这些来访都是周三或周日进行的,是否 可以断定接待时间是有规定的？解解 假定办公室每天都接待，则P(9次来访都在周三、日)=0.0000127这是小概率事件,一般在一次试验中不会发 发生.现居然发生了,故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的.例725例8(抽奖问题)设某超市有奖销售,投放n张奖券,只有一张有奖.每位顾客可抽一张.求第k位顾客中奖的概率。（1kn）解 依问题的实际情况，抽奖券是不放回抽样。记A为欲求概率的事件，到第k个顾客为止试验的样本点总数为n*(n-1)*(n-k+1)，有利于A的样本点必须是：前k-1个顾客未中奖，而第k个顾客中奖。因而有利A的样本点数为（n-1）*(n-k+1)，于是 26此结果表明，抽奖活动与抽奖先后无关，对所有参与者都是公平的。27引例引例 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率9点10点10分钟第三节几何概型第三节几何概型 (等可能概型的推广)第三节几何概型例528几何概型几何概型 设样本空间为有限区域,若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比,则样本点落入G内的概率为29例例9 9 两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待空出码头的概率.解解 设船1 到达码头的瞬时为 x,0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y,0 y 24设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头例930 xy2424y=xy=x+1y=x-231 设 是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为P(A),称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：q 非负性：q 规范性：q 完全可加性：其中 为两两互斥事件，概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.H.)1933年建立.第四节第四节 概率的公理化定义概率的公理化定义第四节公理化定义32概率的性质概率的性质q q q 有限可加性:设 两两互斥q 若33q 对任意两个事件A,B,有 BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+P(B AB)B-ABAB34q 加法公式：对任意两个事件A,B,有 推广：35一般：右端共有 项.36例例1010 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王解解 事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2)至少有一类问题能答出的概率 (3)两类问题都答不出的概率(2)(3)例1037 例11 已知某城市中有50%的用户订日报，65%的用户订晚，85%用户至少报中的一种，问同时订两种报的用户占百分之几？解 设“用户订日报”事件为A,”用户订晚报”事件为B，则“订两种报中的一种”为由已知，则所求概率为即同时订两种报的用户占30%38例例12 12“分房模型分房模型”的应用的应用计科系二年级有 n 个人，求至少有两人生日相同（设为事件A)的概率.解解为 n 个人的生日均不相同,这相当于本问题中的人可被视为“球”，365天为365只“盒子”若 n=64，每个盒子至多有一个球.由例4（6）39作业 P 15 习题二 2,4,6,9,10,1140完全可加性完全可加性随机地向区间(0,1 投掷一个质点，令事件 A 为该质点落入区间 事件 Ak 为该质点落入区间01（A(0(附录附录4142排列组合有关知识复习排列组合有关知识复习加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 种不同的方法乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 种不同的方法43排列排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有全排列全排列可重复排列可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排,不同的排法有种44不尽相异元素的全排列不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类，第 i 类中有 个相同的元素，将这 n 个元素按一定的次序排成一排，种不同的排法共有45，不同的分法共有多组组合多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组（组编号），各组分别有 个元素，种组合组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组，不同的分法共有46 将15 名同学(含3 名女同学),平均分成三组.求(1)每组有1 名女同学(设为事件A)的概率；(2)3 名女同学同组(设为事件B)的概率解解（1）（2）例例1 13 3 47例例1 14 4 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率解解 设 A 为所求的事件设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒，i=1,2,3,4则48由广义加法公式49补充作业补充作业 设事件设事件A,B,C 同时发生必导致事件同时发生必导致事件D 发生，则发生，则50 柯尔莫哥洛夫 (A.H.1903-1987)1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员.为 20 世纪最有影响的俄国数学家.俄国数学家51 柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献.他建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础.他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括:20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作;52 1933年在概率论的基本概念一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题)30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程;用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论;40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;53 在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理论;50年代中期开创了研究函数特征的信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德的工作解决并深化了希尔伯特第13问题用较少变量的函数表示较多变量的函数;60年代后又创立了信息算法理论;54 1980年由于它在调和分析,概率论,遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖;他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括.M.盖尔范德,B.阿诺尔德,.西奈依等人.他还非常重视基础教育,亲自领导了中学 数学教科书的编写工作.55 第第 2 周周 问问 题题 已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6 则事件A，B，C 全不发生的概率为 .通过做此题 你能发现什么问题？（此题是1992年考研填空题）56一般会解出一般会解出 57由题设得由题设得 另一方面又可得另一方面又可得 于是得矛盾于是得矛盾 若将条件修改为若将条件修改为 P(AC)=P(BC)=1/9便无矛盾便无矛盾 58
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