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数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理数字信号处理数字信号处理绪论绪论第第1 1章章 离散时间信号和系统的时域分析离散时间信号和系统的时域分析第第2 2章章 离散时间信号和系统的频域、复频域分析离散时间信号和系统的频域、复频域分析第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换第第4 4章章 快速傅里叶变换快速傅里叶变换第第5 5章章 数字滤波器的结构数字滤波器的结构第第6 6章章 无限长脉冲响应数字滤波器设计无限长脉冲响应数字滤波器设计第第7 7章章 有限长脉冲响应数字滤波器设计有限长脉冲响应数字滤波器设计第第8 8章有限字长效应章有限字长效应1数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理第第8 8章章 有限字长效应有限字长效应数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理第第8 8章章 有限字长效应有限字长效应8.1 8.1 引言引言8.2 A/D8.2 A/D转换的有限字长效应转换的有限字长效应8.3 8.3 数字滤波器系数的有限字长效应数字滤波器系数的有限字长效应8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应3数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.1 8.1 引言引言有有限限字字长效效应对数数字字系系统输出出造造成成的的误差差主主要表要表现在以下三个方面。在以下三个方面。（1）A/D转换器器将将模模拟输入入信信号号变为一一组离离散散电平平时产生生的的量量化化效效应。一一般般情情况况下下被被处理理的的模模拟信信号号要要经过A/D转换器器变成成二二进制制数数字字序序列列，转换过程程包包括括采采样和和量量化化两两个个步步骤，采采样以以后后信信号号仍仍然然是是无无限限精精度度的的，由由于于实际数数字字系系统二二进制制位位数数有有限限，必必须对无无限限精精度度的的信信号号值进行行量量化化，由由此此产生生量化量化误差。差。4数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理（2）把把滤波波器器系系数数用用有有限限位位二二进制制数数表表示示时产生生的的量量化化效效应。就就某某些些滤波波器器的的结构构类型型来来说，它它们的的零零点点和和极极点点位位置置对于于滤波波器器系系数数的的变化化特特别敏敏感感，因因而而滤波波器器系系数数由由于于量量化化误差差引引起起的的微微小小改改变有有可可能能对滤波波器器的的频率率特特性性产生生很很大大的的影影响响。特特别是是那那些些单位位圆内内且且非非常常靠靠近近单位位圆的的极极点点，如如果果由由于于滤波波器器系系数数的的量量化化误差差，而而使使这些些极极点点变到到单位位圆上上或或圆外外时，滤波波器器就就失去了失去了稳定性。定性。8.1 8.1 引言引言5数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理（3）在在数数字字运运算算过程程中中，如如进行行乘乘法法运运算算时，乘乘积的的有有效效位位数数会会增增加加，须用用截截尾尾或或舍舍入入方方法法限限制制乘乘积结果果的的字字长。在在用用定定点点运运算算实现递归结构构的的IIR滤波波器器时，有有限限字字长效效应有有可可能能引引起起零零输入入极极限限环振振荡，使使滤波波器性能不器性能不稳定。定。8.1 8.1 引言引言6数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.1 8.1 引言引言1 1）在整个运算中，二）在整个运算中，二进制小数点在数制小数点在数码中的中的位置固定不位置固定不变，这种运算称种运算称为定点运算。定点运算。2 2）原）原则上小数点在数上小数点在数码中的位置是任意的，中的位置是任意的，但但为了运算方便，通常定点制了运算方便，通常定点制总是把数限制是把数限制在在11之之间；这时小数点固定在第一位二小数点固定在第一位二进制制码之后，第之后，第一位一位为符号位，符号位，0 0为正，正，1 1为负，小数点，小数点紧跟跟在符号位后；数的本身只有小数部分，称在符号位后；数的本身只有小数部分，称为“尾数尾数”；7数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理3）定定点点运运算算在在整整个个运运算算过程程中中，所所有有运运算算结果果的的绝对值都都不不能能大大于于1。为此此绝对值大大于于1的的数数需需要要表表示示时，可可乘乘上上一一个个衰衰减减因因子子，保保证该数数在在运运算算中中不不超超过1；运运算算后后再再除除以以该因因子子还原原。如如运运算算过程程中中出出现绝对值超超过1时，数数就就进位位到到整整数数部部分分的的符符号号位位，这就就出出现错误，称称为“溢溢出出”，这时应修修正正衰衰减减因因子子；但但在在IIR滤波波器器中中，分分母母的的系系数数决决定着极点的位置，所以不适合用比例因子。定着极点的位置，所以不适合用比例因子。8.1 8.1 引言引言8数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理4）定定点点运运算算的的加加法法运运算算不不会会增增加加字字长，但但若若没没有有选择合合适适的的比比例例因因子子，则加加法法运运算算很很可可能能会会出出现溢溢出出现象象；定定点点乘乘法法运运算算不不会会溢溢出出，但但字字长要要增增加加一一倍倍。如如两两个个小小数数字字长为b位位的的二二进制制数数相相乘乘，则结果果为2b字字长。为保保证字字长不不变，乘乘法法运运算算后后，一一般般要要对增增加加的的尾尾数数作作截截尾尾或或舍舍入入处理理。截截尾尾就就是是将将信信号号值小小数数部部分分b位位以以后后的的数数直直接接略略去去，舍舍入入是是将将信信号号值小小数数部部分分第第b+1位位逢逢1进位位，并并将将b位位以以后后的的数数略略去去。尾尾数数处理理会会带来来截截尾或舍入尾或舍入误差。差。8.1 8.1 引言引言9数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理浮点制浮点制x=2CM式中，式中，C和和M都是二都是二进制数。制数。C是二是二进制整数，称制整数，称为阶码或或阶；M是二是二进制小数，称制小数，称为尾数。尾数。尾数和指数尾数和指数阶码都用都用带符号位的定点制表示。符号位的定点制表示。x的符号由的符号由M的符号决定，整个运算的符号决定，整个运算过程中，程中，C的数的数值可以随意可以随意调整。整。8.1 8.1 引言引言10数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理两个二两个二进制浮点数制浮点数x1=20100.1100，x2=20000.1001，求它求它们的浮点相加的浮点相加结果。果。解：将解：将阶码较小的小的x2的的阶码变成与成与x1一一样，即将，即将x2的的尾数小数点左移两位而尾数小数点左移两位而阶码加加2，得，得x2=20100.001001然后将两数相加得然后将两数相加得x=x1+x2=20100.1110018.1 8.1 引言引言11数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理不不论是定点制是定点制还是浮点制，都是将整数位用是浮点制，都是将整数位用作符号位，小数位代表尾数作符号位，小数位代表尾数值。对于于负数，数，有原有原码、反、反码和和补码三种表示方式。原三种表示方式。原码的尾数部分代表数的的尾数部分代表数的绝对值，符号位代表，符号位代表数的正数的正负号。反号。反码的的负数数则是将是将该数的正数的正数表示形式中的所有数表示形式中的所有0改改为1，所有，所有1改改为0，即，即“求反求反”。补码是在原是在原码反反码的基的基础上，上，在所得数的末位加在所得数的末位加1，简称称为对尾数的尾数的“取取反加反加1”。8.1 8.1 引言引言12数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理用用补码计算算0.1875-0.8125。解：解：0.1875为正数，它的正数，它的补码与原与原码同同为0.00110.8125的原的原码为0.1101，则-0.8125反反码为1.0010，补码表示表示为1.0011则两个两个补码相加得到的相加得到的结果仍果仍为补码表示，表示，为0.0011+1.0011=1.0110由由补码求原求原码的的过程是程是补码尾数的最后位减尾数的最后位减1，并把，并把尾数每位取反，由此可得原尾数每位取反，由此可得原码为1.1010，相，相应的的十十进制数制数为-0.625。8.1 8.1 引言引言13数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理综上所述，上所述，原原码的的优点是直点是直观，但做加减运算，但做加减运算时要判断要判断符号位的异同，因而运算符号位的异同，因而运算时间较长；反反码只是将只是将负数的原数的原码转换为补码时的一个的一个中中间过渡代渡代码，用得，用得较少；少；补码做加减运算做加减运算时较简单，可以将加法和减，可以将加法和减法运算法运算统一一为加法运算，加法运算，对于乘法于乘法补码比比原原码稍复稍复杂，但目前在并行，但目前在并行补码乘法方面乘法方面已有一些快速算法，可作已有一些快速算法，可作为大大规模集成模集成电路的内核而被广泛路的内核而被广泛应用，因而在数字信号用，因而在数字信号处理系理系统中普遍使用的是中普遍使用的是补码。8.1 8.1 引言引言14数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.1 8.1 引言引言15数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.1 8.1 引言引言16数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.2 A-D8.2 A-D转换的有限字长效应转换的有限字长效应17数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理对该模型做如下假模型做如下假设：（1）e(n)是平是平稳随机序列；随机序列；（2）e(n)与采与采样信号信号x(n)不相关；不相关；（3）e(n)序列本身任意两个序列本身任意两个值之之间不相关；不相关；（4）e(n)在自身取在自身取值范范围内呈均匀分布。内呈均匀分布。8.2 A-D8.2 A-D转换的有限字长效应转换的有限字长效应18数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.2 A-D8.2 A-D转换的有限字长效应转换的有限字长效应19数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.2 A-D8.2 A-D转换的有限字长效应转换的有限字长效应20数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理设信号信号x(n)的功率的功率为，则信噪比信噪比为 信噪比的分信噪比的分贝数数为：输入信号入信号x(n)压缩为A x(n)，0A2-20，所以若，所以若选b为19，则系数的舍系数的舍入入误差差绝对值不会超不会超过2-20或或10-6，从而保，从而保证极点不会移到极点不会移到单位位圆上或上或单位位圆处，保持，保持滤波器工作的波器工作的稳定性。定性。8.3 8.3 数字滤波器的有限字长效应数字滤波器的有限字长效应30数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.3 8.3 数字滤波器的有限字长效应数字滤波器的有限字长效应31数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理我我们引入极点位置灵敏度的概念，来衡量每个引入极点位置灵敏度的概念，来衡量每个极点位置极点位置对各系数量化偏差的敏感程度。极各系数量化偏差的敏感程度。极点位置灵敏度指每个极点位置点位置灵敏度指每个极点位置对各系数偏差各系数偏差的敏感程度。极点位置的的敏感程度。极点位置的变化将直接影响系化将直接影响系统的的稳定性。所以极点位置灵敏度可以反映定性。所以极点位置灵敏度可以反映系数量化系数量化对滤波器波器稳定性的影响。定性的影响。8.3 8.3 数字滤波器的有限字长效应数字滤波器的有限字长效应32数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.3 8.3 数字滤波器的有限字长效应数字滤波器的有限字长效应33数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理（1）分母多）分母多项式中，式中，是极点是极点 指向极点指向极点 的矢的矢量，整个分母是所有极点与第量，整个分母是所有极点与第i个极点之个极点之间的矢量乘的矢量乘积。如果。如果这些距离都很小，即如些距离都很小，即如果所有果所有N个极点都聚集在一起，那么距离的个极点都聚集在一起，那么距离的矢量乘矢量乘积就很小，第就很小，第i个极点的位置个极点的位置对系数系数量化量化误差就非常敏感，即极点位置灵敏度差就非常敏感，即极点位置灵敏度高，相高，相应的极点偏差就大。的极点偏差就大。这些矢量越些矢量越长，极点彼此极点彼此间的距离越的距离越远，极点位置灵敏度，极点位置灵敏度越低。即极点位置灵敏度与极点越低。即极点位置灵敏度与极点间距离成距离成反比。反比。8.3 8.3 数字滤波器的有限字长效应数字滤波器的有限字长效应34数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理（2）极点偏差与系）极点偏差与系统函数的函数的阶数数N有关，有关，阶数越高，数越高，滤波器的极点位置波器的极点位置对系数量化系数量化误差越敏感，极点偏差也大。高差越敏感，极点偏差也大。高阶直接型直接型结构构滤波器的极点数目多而密，低波器的极点数目多而密，低阶直接型直接型结构构滤波器的极点数目少而稀疏，因而前波器的极点数目少而稀疏，因而前者者对系数量化系数量化误差要更加敏感，同理，并差要更加敏感，同理，并联型型结构和构和级联型型结构比直接型构比直接型结构要好构要好得多。因此，高得多。因此，高阶结构构时，由于各二，由于各二阶节相互独立相互独立级联或并或并联的的结构来构来实现，而很，而很少采用直接型少采用直接型结构。构。8.3 8.3 数字滤波器的有限字长效应数字滤波器的有限字长效应35数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理（3）当采用二）当采用二阶节级联或并或并联结构构时，由于，由于各二各二阶节相互独立，各有一相互独立，各有一对复共复共轭极点，极点，特特别是是对于窄于窄带带通通滤波器来波器来说，每，每对复复共共轭极点的两极点都相距极点的两极点都相距较远，因而系数，因而系数量化量化误差差对极点位置的影响很小。极点位置的影响很小。8.3 8.3 数字滤波器的有限字长效应数字滤波器的有限字长效应36数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理【例例8-5】一个共一个共轭极点在虚极点在虚轴附近的附近的滤波器如波器如图8-5（a），），一个共一个共轭极点在极点在实轴附近的附近的滤波器如波器如图8-5（b）8.3 8.3 数字滤波器的有限字长效应数字滤波器的有限字长效应37数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理【例例8-6】一个三一个三对共共轭极点的极点的滤波器波器 H(z)，用三种，用三种结构构实现。8.3 8.3 数字滤波器的有限字长效应数字滤波器的有限字长效应38数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理1）用直接型）用直接型结构构实现，极点分布如，极点分布如图8-6a所所示示,2）用三个二）用三个二阶网网络级联的形式的形式实现，极点分，极点分布如布如图8-6b所示所示，8.3 8.3 数字滤波器的有限字长效应数字滤波器的有限字长效应39数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理影响极点位置灵敏度的几个因素：影响极点位置灵敏度的几个因素：(1)与零极点的分布状与零极点的分布状态有关；极点位置灵敏有关；极点位置灵敏度大小与极点度大小与极点间距离成反比；距离成反比；(2)与与滤波器波器结构有关。高构有关。高阶直接型极点位置直接型极点位置灵敏度高；并灵敏度高；并联或或级联型，系数量化型，系数量化误差差的影响小；的影响小；(3)高高阶滤波器避免用直接型，尽量分解波器避免用直接型，尽量分解为低低阶网网络的的级联或并或并联。8.3 8.3 数字滤波器的有限字长效应数字滤波器的有限字长效应40数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应考考虑一一阶IIR系系统，其差分方程，其差分方程为设输入信号入信号x(n)=0.875(n)，a=0.5，并，并设系系统的初始状的初始状态为零，即零，即y(-1)=0，不，不难求出求出输出出y(n)=0.875an,n0，这是一个衰减序列。是一个衰减序列。假定系假定系统的寄存器字的寄存器字长为4位，第一位位，第一位为符号符号位，将位，将x和和a写成二写成二进制，即制，即 x(n)=0.111,a=0.100。41数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应42数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理在在n3后，比如后，比如n=4时，将，将 乘以乘以0.100得得0.000111，舍入后，舍入后变成成0.001，仍和，仍和 一一样。这实际上是将上是将a变为1，其，其结果等效于将系果等效于将系统的极点移的极点移动到到单位位圆上，所以系上，所以系统处于于临界界稳定状定状态。这种种现象称象称为极限极限环振振荡。极限极限环振振荡的幅度范的幅度范围又称又称为系系统输出的出的死死带。8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应43数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理在分析数字在分析数字滤波器乘法舍入的影响波器乘法舍入的影响时，需，需对各种噪声源作相关假各种噪声源作相关假设：（1）系）系统中所有的运算量化噪声都是平中所有的运算量化噪声都是平稳的的白噪声（均白噪声（均值为零）；零）；（2）所有的运算量化噪声之）所有的运算量化噪声之间不相关；不相关；（3）运算量化噪声和）运算量化噪声和输入信号之入信号之间不相关；不相关；（4）量化噪声在自身量化范）量化噪声在自身量化范围内均匀分布。内均匀分布。8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应44数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应45数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应46数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理采用定点制算法，尾数作舍入采用定点制算法，尾数作舍入处理，分理，分别计算其直算其直接型、接型、级联型、并型、并联型三种型三种结构的舍入构的舍入误差。差。8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应47数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应48数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应49数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应50数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应51数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应52数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应53数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应54数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应55数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应56数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应57数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应58数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应59数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应60数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应61数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应62数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理若比若比较小于小于1的系数前置的系数前置时三种三种结构的构的误差大小，一差大小，一般来般来说直接型直接型 级联型型 并并联型。型。原因有如下几点：原因有如下几点：l）直接型）直接型结构的所有舍入构的所有舍入误差都差都经过全部网全部网络的反的反馈环节，反，反馈过程中程中误差差积累，累，输出出误差很大。差很大。2）级联型型结构，每个舍入构，每个舍入误差只通差只通过其后面的反其后面的反馈环节，而不通，而不通过它前面的反它前面的反馈环节，误差小于直差小于直接型。接型。3）并）并联型型结构，每个并构，每个并联网网络的舍入的舍入误差只通差只通过本本身的反身的反馈环节，与其它并，与其它并联网网络无关，无关，积累作用累作用最小，最小，误差最小。差最小。8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应63数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应64数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应65数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应66数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理8.4 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应67数字信号处数字信号处数字信号处数字信号处理理理理本章总结本章总结本章首先本章首先讨论了数的表示方法，主要有定点表示和了数的表示方法，主要有定点表示和浮点表示；尾数浮点表示；尾数处理法有舍入和截尾两种方法理法有舍入和截尾两种方法接着分析了三种有限字接着分析了三种有限字长效效应：1.A/D转换的有限字的有限字长效效应，对量化量化误差差进行行统计分分析析2.数字数字滤波器系数的有限字波器系数的有限字长效效应，分析了，分析了系数量系数量化化误差差对滤波器波器零极点位置及零极点位置及稳定性的影响定性的影响3.数字数字滤波器运算中的有限字波器运算中的有限字长效效应，对FIR和和IIR滤波器分波器分别进行了定点舍入运算中的行了定点舍入运算中的误差噪声差噪声计算算68
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