高考数学二轮复习 第二篇 第12练 数列的综合问题精准提分练习 文-人教版高三数学试题

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资源描述
第12练数列的综合问题明晰考情1.命题角度:考查等差数列、等比数列的判定与证明;以an, Sn的关系为切入点,考查数列的通项、前n项和等;数列和函数、不等式的综合应用;一般位于解答题的17题位置.2.题目难度:中等偏下难度.考点一等差数列、等比数列的判定与证明方法技巧判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法:若an1and,d为常数,则an为等差(比)数列.(2)中项公式法.(3)通项公式法.1.已知数列an的前n项和为Sn,a11,an0,anan1Sn1,其中为常数.(1)证明:an2an;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.(1)证明由题设知,anan1Sn1,an1an2Sn11,两式相减得an1(an2an)an1,由于an10,所以an2an.(2)解由题设知,a11,a1a2S11,可得a21.由(1)知,a31.令2a2a1a3,解得4.故an2an4,由此可得数列a2n1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n14n3;数列a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n4n1.所以an2n1,an1an2,因此存在4,使得数列an为等差数列.2.已知数列an满足a12,且an12an2n1,nN*.(1)设bn,证明:bn为等差数列,并求数列bn的通项公式;(2)在(1)的条件下,求数列an的前n项和Sn.解(1)把an2nbn代入到an12an2n1,得2n1bn12n1bn2n1,两边同除以2n1,得bn1bn1,即bn1bn1,bn为等差数列,首项b11,公差为1,bnn(nN*).(2)由bnn,得ann2n,Sn121222323n2n,2Sn122223324(n1)2nn2n1,两式相减,得Sn2122232nn2n1(1n)2n12,Sn(n1)2n12(nN*).3.设数列an的前n项和为Sn,且首项a13,an1Sn3n(nN*).(1)求证:Sn3n是等比数列;(2)若an为递增数列,求a1的取值范围.(1)证明an1Sn3n,Sn12Sn3n,Sn13n12(Sn3n).a13,数列Sn3n是首项为a13,公比为2的等比数列.(2)解由(1)得,Sn3n(a13)2n1.Sn(a13)2n13n.当n2时,anSnSn1(a13)2n223n1.an为递增数列,当n2时,(a13)2n123n(a13)2n223n1,当n2时,2n20,a19.a2a13a1,a1的取值范围是(9,).考点二数列的通项与求和方法技巧(1)根据数列的递推关系求通项的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的数列,可用累加法;形如f(n)的数列,可用累乘法.构造数列法形如an1,可转化为,构造等差数列;形如an1panq(pq0,且p1),可转化为an1p构造等比数列.(2)数列求和的常用方法倒序相加法;分组求和法;错位相减法;裂项相消法.4.已知数列an的前n项和为Sn,且满足an2Sn1(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn(2n1)an,求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n1时,a12S112a11,解得a11.当n2时,由an2Sn1,得an12Sn11,两式相减得anan12an,化简得anan1,所以数列an是首项为1,公比为1的等比数列,则可得an(1)n.(2)由(1)得bn(2n1)(1)n,当n为偶数时,Tn1357911(2n3)(2n1)2n,当n为奇数时,n1为偶数,TnTn1bn1(n1)(2n1)n.所以数列bn的前n项和Tn(1)nn.5.已知数列an,bn满足a1,anbn1,bn1.(1)求数列bn的通项公式;(2)设Sna1a2a2a3a3a4anan1,求Sn.解(1)bn1.a1,b1,因为bn111,所以1,所以数列是以4为首项,1为公差的等差数列,所以4(n1)n3,所以bn1.(2)因为an1bn,所以Sna1a2a2a3a3a4anan1.6.设数列an满足a12,an1an322n1.(1)求数列an的通项公式;(2)令bnnan,求数列bn的前n项和Sn.解(1)由已知,当n2时,an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.所以an22n1,而a12,也满足上式,所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知,Sn12223325n22n1,22Sn123225327n22n1,得(122)Sn2232522n1n22n1,即Sn(3n1)22n12.考点三数列的综合问题方法技巧(1)以函数为背景的数列问题,一般要利用函数的性质或图象进行转化,得出数列的通项或递推关系.(2)数列是特殊的函数,解题时要充分利用函数的性质解决数列问题,如数列中的最值问题.(3)解决数列与不等式综合问题的常用方法有比较法(作差法、作商法)、放缩法等.7.已知f(x)2sinx,集合Mx|f(x)|2,x0,把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列an,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn,设数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn.(1)解因为|f(x)|2,所以xk,x2k1,kZ.又因为x0,所以an2n1(nN*).(2)证明因为bn(nN*),bn,所以Tnb1bn,所以Tn.8.已知等比数列an满足2a1a33a2,且a32是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式;(2)若bnanlog2,Snb1b2bn,求使Sn2n1470成立的n的最小值.解(1)设等比数列an的公比为q,依题意,有即由得q23q20,解得q1或q2.当q1时,不满足式,舍去;当q2时,代入得a12,所以an22n12n.故所求数列an的通项公式为an2n(nN*).(2)因为bnanlog22nlog22nn,所以Sn212222332nn(222232n)(123n)2n12nn2.因为Sn2n1470,所以2n12nn22n1470,解得n9或n10(舍).因为nN*,所以使Sn2n147bn恒成立,求实数t的取值范围.解(1)a26,a312,当n2时,ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)222232n2(123n)n(n1).因为当n1时,a12也满足上式,所以ann(n1).(2)bn.因为bn1bn0,所以bn1bn恒成立,所以t22t,解得t2,所以实数t的取值范围为(,0)(2,).典例(12分)已知单调递增的等比数列an满足:a2a3a428,且a32是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn,Snb1b2bn,求使Snn2n130成立的正整数n的最小值.审题路线图规范解答评分标准解(1)设等比数列an的首项为a1,公比为q.由题意知2(a32)a2a4,代入a2a3a428,可得a38,所以a2a420,所以解得或3分又数列an单调递增,所以q2,a12,所以数列an的通项公式为an2n.5分(2)因为bnn2n,6分所以Sn(12222n2n),2Sn122223(n1)2nn2n1,两式相减,得Sn222232nn2n12n12n2n1.8分又Snn2n130,可得2n1230,即2n13225,10分所以n15,即n4.所以使Snn2n130成立的正整数n的最小值为5.12分构建答题模板第一步求通项:根据题目条件,列方程(组)求解,得到数列的通项公式.第二步巧求和:根据数列的类型,选择适当方法求和或经适当放缩后求和.第三步得结论:利用不等式或函数性质求证不等式或解决一些最值问题.1.(2018全国)等比数列an中,a11,a54a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和,若Sm63,求m.解(1)设an的公比为q,由题设得anqn1.由已知得q44q2,解得q0(舍去),q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN*).(2)若an(2)n1,则Sn.由Sm63得(2)m188,此方程没有正整数解.若an2n1,则Sn2n1.由Sm63得2m64,解得m6.综上,m6.2.(2018上饶模拟)数列an的前n项和为Sn,且Sn1,数列bn为等差数列,且a2(b22)1,a1b1.(1)分别求数列an和bn的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)a1S11,n2时,anSnSn1,适合a1,an,nN*.由a1b1得b11,由a2(b22)1得(b22)1,b22,d1,bn1(n1)1n.(2)由Tn,得Tn,两式相减,得Tn1,Tn2.3.已知等差数列an的首项a11,公差d0,且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn(nN*),Snb1b2bn,是否存在t,使得对任意的n均有Sn总成立?若存在,求出最大的整数t;若不存在,请说明理由.解(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2,整理得2a1dd2.a11,d0,d2.an2n1(nN*).(2)bn,Snb1b2bn.假设存在整数t满足Sn总成立,又Sn1Sn0,数列Sn是递增的.S1为Sn的最小值,故,即t9.又tZ,适合条件的t的最大值为8.4.若数列bn对于nN*,都有bn2bnd(常数),则称数列bn是公差为d的准等差数列,如数列cn,若cn则数列cn是公差为8的准等数列.设数列an满足a1a,对于nN*,都有anan12n.(1)求证:an为准等差数列;(2)求an的通项公式及前20项和S20.(1)证明因为an1an2n,所以an2an12n2.由得an2an2(nN*),所以an是公差为2的准等差数列.(2)解已知a1a,an1an2n(nN*),所以a1a22,即a22a.所以由(1)可知a1,a3,a5,成以a为首项,2为公差的等差数列,a2,a4,a6,成以2a为首项,2为公差的等差数列.所以当n为偶数时,an2a2na,当n为奇数时,ana2na1,所以anS20a1a2a19a20(a1a2)(a3a4)(a19a20)21232192200.
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