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“212”压轴满分练(一)1过抛物线yx2的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y1上，若ABC为正三角形，则其边长为()A11B12C13 D14解析：选B由题意可知，焦点F(0,1)，易知过焦点F的直线的斜率存在且不为零，设为k(k0)，则该直线方程为ykx1(k0)，联立方程得x24(kx1)，即x24kx40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24k，x1x24，设线段AB的中点为M，则M(2k，2k21)，|AB|4(1k2)，设C(m，1)，连接MC，ABC为等边三角形，kMC，m2k34k，点C(m，1)到直线ykx1的距离|MC|AB|，4(1k2)，2(1k2)，k，|AB|4(1k2)12.2已知函数f(x)2sin(x)(0,0)，f ，f 0，且f(x)在(0，)上单调下列说法正确的是()ABf C函数f(x)在上单调递增D函数f(x)的图象关于点中心对称解析：选C由题意得函数f(x)的最小正周期T，因为f(x)在(0，)上单调，所以，得01.因为f ，f 0，所以f(x)在(0，)上单调递减，又0，01，所以解得所以f(x)2sin.选项A显然不正确因为f 2sin2sin，所以B不正确因为当x时，0x，所以函数f(x)在上单调递增，故C正确因为f 2sin2sin0，所以点不是函数f(x)图象的对称中心，故D不正确3已知函数f(x)，g(x)，若函数yf(g(x)a有三个不同的零点x1，x2，x3(其中x1x2x3)，则2g(x1)g(x2)g(x3)的取值范围为_解析：g(x)，g(x).当0x0，g(x)单调递增；当xe时，g(x)0，g(x)单调递减作出函数g(x)的大致图象如图所示，令g(x)t，由f(t)aa0，得关于t的一元二次方程t2(a1)t1a0，又f(g(x)a0有三个根x1，x2，x3，且x1x2x3，结合g(x)的图象可知关于t的一元二次方程有两个不等实根，不妨设为t1，t2，且t1t2，则0t1，t2或t10t20，得1a4.当0t1，t2时，0t1t24，不符合题意，舍去t10t2，g(x1)t1，g(x2)g(x3)t2，2g(x1)g(x2)g(x3)2t12t22(t1t2)2(1a)令1a，(t)t2(a1)t1at2t，由t10t2可知，即解得b0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当F1MF290时，F1MF2的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，连接并延长AF1，AF2，分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2(O为坐标原点)，求证：k1k2为定值解：(1)设|MF1|r1，|MF2|r2，由题意，得a，c1，则b2a2c21，椭圆C的方程为y21.(2)证明：易知直线AF1，AF2的斜率均不为0.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，当直线AF1的斜率不存在时，不妨令A，则B，又F1(1,0)，F2(1,0)，直线AF2的方程为y(x1)，将其代入y21，整理可得5x22x70，x2，y2，则D ，直线BD的斜率k1，直线OA的斜率k2，k1k2.当直线AF2的斜率不存在时，同理可得k1k2.当直线AF1，AF2的斜率都存在且不为0时，设A(x0，y0)，则x0y00，则直线AF1的方程为y(x1)，联立，得消去y可得，(x01)22yx24yx2y2(x01)20，又y1，2y2x，(32x0)x22(2x)x3x4x00，x1x0，x1，则y1，B .直线AF2的方程为y(x1)，同理可得D，直线BD的斜率k1，直线OA的斜率k2，k1k2.综上，k1k2为定值，且定值为.5.已知函数f(x)(xb)(exa)(b0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为(e1)xeye10.(1)求a，b；(2)若方程f(x)m有两个实数根x1，x2，且x1x2，证明：x2x11.解：(1)由题意得f(1)0，所以f(1)(1b)0，所以a或b1.又f(x)(xb1)exa，所以f(1)a1，若a，则b2e0矛盾，故a1，b1.(2)证明：由(1)可知f(x)(x1)(ex1)，f(0)0，f(1)0，设曲线yf(x)在点(1,0)处的切线方程为yh(x)，则h(x)(x1)，令F(x)f(x)h(x)，则F(x)(x1)(ex1)(x1)，F(x)(x2)ex，当x2时，F(x)(x2)ex2时，设G(x)F(x)(x2)ex，则G(x)(x3)ex0，故函数F(x)在(2，)上单调递增，又F(1)0，所以当x(，1)时，F(x)0，所以函数F(x)在区间(，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，故F(x)F(1)0，所以f(x)h(x)，所以f(x1)h(x1)设h(x)m的根为x1，则x11，又函数h(x)单调递减，且h(x1)f(x1)h(x1)，所以x1x1，设曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yt(x)，易得t(x)x，令T(x)f(x)t(x)(x1)(ex1)x，T(x)(x2)ex2，当x2时，T(x)(x2)ex222时，设H(x)T(x)(x2)ex2，则H(x)(x3)ex0，故函数T(x)在(2，)上单调递增，又T(0)0，所以当x(，0)时，T(x)0，所以函数T(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，所以T(x)T(0)0，所以f(x)t(x)，所以f(x2)t(x2)设t(x)m的根为x2，则x2m，又函数t(x)单调递增，且t(x2)f(x2)t(x2)，所以x2x2.又x1x1，所以x2x1x2x1m1.
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