高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第5讲 圆锥曲线中的定点、定值与范围专题强化训练 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第5讲 圆锥曲线中的定点、定值与范围专题强化训练 理(时间：45分钟满分：60分)1已知抛物线y24x，过点M(0，2)的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线l与x轴交于点C.(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；(2)设 ， ，试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由解：(1)证明：设直线l的方程为ykx2(k0)，联立方程得k2x2(4k4)x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(，0)，则x1x2，x1x2.|MA|MB|(1k2)x1x2，|MC|2()222，所以|MC|2|MA|MB|，即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列(2)由，得(x1，y12)(x1，y1)，(x2，y22)(x2，y2)，即，则.将代入得1，故为定值且定值为1.2已知动圆过定点A(2，0)，且在y轴上截得的弦MN的长为4.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)过点F(1，0)的直线交轨迹C于A，B两点，交它的准线于点N，已知1，2，求证：12为定值解：(1)设动圆圆心为O1(x，y)，当O1不在y轴上时，有|O1M|O1A|，化简整理可得y24x(x0)；当O1在y轴上时，O1即为O，则O(0，0)也满足方程y24x.动圆圆心的轨迹C的方程为y24x.(2)证明：设直线AB的方程为xmy1，则N(1，)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得y24my40，.由1，2可知y11y1，y22y2，则11，21.1222()220.3已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)已知定点A(4，2)，B，C为E上的两个动点，若直线AB与直线AC垂直，求证：直线BC恒过定点解：(1)设P(x，y)，则(y1)1x28y，故所求E的方程为x28y.(2)证明：设直线BC：ykxb，B(x1，y1)，C(x2，y2)，将直线BC：ykxb代入到x28y中得，x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b.又(x14，y12)，(x24，y22)，所以(x14)(x24)(y12)(y22)(x14)(x24)(kx1b2)(kx2b2)(k21)x1x2k(b2)4(x1x2)(b2)2168b(k21)8kk(b2)4(b2)216b212b16k232k20(b6)216(k1)20，故b4k10或b4k2，所以直线BC恒过定点(4，10)4已知A(2，0)、B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的动点，且APB面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明解：(1)由题意可设椭圆C的方程为1(ab0)，F(c，0)易知a2，b，c1.故椭圆C的方程为1，离心率为.(2)以BD为直径的圆与直线PF相切证明如下：由题意可设直线AP的方程为yk(x2)(k0)则点D的坐标为(2，4k)，BD的中点E的坐标为(2，2k)由，得(34k2)x216k2x16k2120.设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0.所以x0，y0k(x02).点F的坐标为(1，0)，当k时，点P的坐标为(1，)，点D的坐标为(2，2)直线PFx轴，此时以BD为直径的圆(x2)2(y1)21与直线PF相切当k时，则直线PF的斜率kPF，所以直线PF的方程为y(x1)点E到直线PF的距离d2|k|.又因为|BD|4|k|，所以d|BD|.故以BD为直径的圆与直线PF相切综上，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切5已知椭圆C的两个焦点是(0，)和(0，)，并且经过点，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F.(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值解：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，则由题意得c，2a4，a2，b2a2c21，椭圆C的标准方程为x21.右顶点F的坐标为(1，0)设抛物线E的标准方程为y22px(p0)，1，2p4，抛物线E的标准方程为y24x.(2)设l1的方程：yk(x1)，l2的方程：y(x1)，A(x1，y1)、B(x2，y2)、G(x3，y3)、H(x4，y4)由消去y得：k2x2(2k24)xk20，4k416k2164k40，x1x22，x1x21.同理x3x44k22，x3x41，()()|x11|x21|x31|x41|(x1x2x1x21)(x3x4x3x41)84k28216，当且仅当4k2，即k1时，有最小值16.6.在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1(1，0)，P为椭圆G的一个顶点，且PF1O45.(1)求椭圆G的标准方程；(2)如图，已知直线l1：ykxm1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：ykxm2(m1m2)与椭圆G交于C，D两点，且|AB|CD|.证明：m1m20；求四边形ABCD的面积S的最大值解：(1)设椭圆G的标准方程为1(ab0)，因为F1(1，0)，PF1O45，所以bc1.所以a2b2c22.所以椭圆G的标准方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)证明：由消去y，得(12k2)x24km1x2m20，则8(2k2m1)0，所以|AB|2.同理|CD|2.因为|AB|CD|，所以22，即mm.因为m1m2，所以m1m20.由题意，知四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则d.因为m1m20，所以d.所以S|AB|d2442(或S442 ，当且仅当2k212m时，四边形ABCD的面积S取得最大值2.