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第5练数学文化明晰考情1.命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：中档难度.考点一算法、数列中的数学文化方法技巧(1)和算法结合的数学文化，要读懂程序框图，按程序框图依次执行.(2)数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.1.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为()A.4B.2C.0D.14答案B解析由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2，故选B.2.(2018石嘴山模拟)张邱建算经是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为()A.B.C.D.答案B解析依题意设每天多织d尺，依题意得S30305d390，解得d.3.(2018葫芦岛模拟)20世纪70年代，流行一种游戏角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n1；如果n是个偶数，则下一步变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的421循环，而永远也跳不出这个圈子，下面程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为()A.5B.16C.5或32D.4或5或32答案C解析当n5时，执行程序框图，i1，n16，i2，n8，i3，n4，i4，n2，i5，n1，i6，结束循环，输出i6；当n32时，执行程序框图，i1，n16，i2，n8，i3，n4，i4，n2，i5，n1，i6，结束循环，输出i6.易知当n4时，不符合，故n5或n32，故选C.4.名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n等于()A.2B.3C.4D.5答案C解析当n1时，a，b4，满足进行循环的条件，当n2时，a，b8，满足进行循环的条件，当n3时，a，b16，满足进行循环的条件，当n4时，a，b32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n值为4.5.九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为40%.今共有粮m(m0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为()A.20%,369B.80%,369C.40%,360D.60%,365答案A解析设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意，得解得b125，a20%，m369.6.(2018浙江)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则当z81时，x_，y_.答案811解析方法一由题意，得即解得方法二1008119(只)，81327(元)，1002773(元).假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则51995(元).因为957322(元)，所以鸡母：22(53)11(只)，鸡翁：19118(只).考点二三角函数与几何中的数学文化方法技巧从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.7.我国古代数学名著九章算术在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是()A.3步B.6步C.4步D.8步答案B解析由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r，则有815(等积法)，解得r3，故其直径为6步.8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为，则tan等于()A.B.C.5D.答案A解析由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，210cos10sin，cossin，又为锐角，易求得tan.9.(2018全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.10.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A.4B.8C.8D.82答案C解析由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.V正方体238，V半圆柱(12)2，三视图对应几何体的体积V8.根据祖暅原理，不规则几何体的体积VV8.11.(2018蚌埠模拟)我国古代数学名著张邱建算经中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛1.62立方尺，3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为()A.5尺B.9尺C.10.6尺D.21.2尺答案D解析设谷堆的高为h尺，底面半径为r尺，则2r54，r9.粟米250斛，则体积为2501.6292h，h5.谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R尺.则R2(hR)2r2，解得R10.6(尺).2R21.2(尺).12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中正确的式子的序号是()A.B.C.D.答案D解析由题图知2a12a2,2c12c2，即a1a2，c1c2，a1c1a2c2，不正确.a1c1|PF|，a2c2|PF|，a1c1a2c2，正确.a1a20，c1c20，aa，cc.又a1c1a2c2，即a1c2a2c1，即ac2a1c2ac2a2c1，acca2a1c22a2c1，即(a1c1)(a1c1)(a2c2)(a2c2)2a1c22a2c1，整理得(a1c1)(a1a2c1c2)2a1c22a2c1.a1c1，a1a2，c1c2，2a1c2a1c2，正确.c1a2a1c2，a10，a20，即，不正确.故选D.考点三概率、统计与推理证明中的数学文化方法技巧(1)概率、统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型.(2)推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论.13.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石答案B解析由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为1534169(石).14.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22,33，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是()A.B.C.D.答案B解析三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1,2B2,3B3，B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，共有91090(个)；其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2,4B4,6B6,8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，其有41040(个)，三位数的回文数中，偶数的概率P.15.(2018永州模拟)我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，9填入33的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地，将连续的正整数1,2,3，n2填入nn的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为Nn (如：在3阶幻方中，N315)，则N10等于()492357816A.1020B.1010C.510D.505答案D解析n阶幻方共有n2个数，其和为12n2，n阶幻方共有n行，每行的和为，即Nn，N10505.16.(2018贵港市联考)九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为()A.B.C.D.答案A解析如图所示，设水深为x尺，由题意得(x2)2x252，求解关于实数x的方程，可得x，即水深为尺，又葭长为尺，则所求问题的概率为P.故选A.17.(2018北京朝阳区模拟)庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”).今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案A解析由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲乙丙丁由分析可知，中奖者是甲.1.南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：每等人比下等人多得几斤？”()A.B.C.D.答案B解析设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列an构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得即解得d，每一等人比下一等人多得斤金.2.(2018山东、湖北部分重点中学模拟)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少升大米？()A.1170B.1380C.3090D.3300答案D解析设第n天派出的人数为an，则an是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n天修筑堤坝的人数为Sna1a2an64n7，所以前5天共分发的大米数为3(S1S2S3S4S5)3(12345)64(13610)73300(升).3.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里答案B解析设等比数列an的首项为a1，公比为q，由题意得378，解得a1192，则a219296，即第二天走了96里，故选B.4.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是()(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)A.1寸B.2寸C.3寸D.4寸答案C解析如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.积水深9寸，水面半径为(146)10(寸)，则盆中水的体积为9(62102610)588(立方寸).平地降雨量等于3(寸).故选C.5.(2018吉林调研)算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S值为0，则开始输入的S值为()A.B.C.D.答案C解析模拟程序的运行，可得当i1时，S2S1，i1满足条件i3，执行循环体；当i2时，S2(2S1)1，i2满足条件i3，执行循环体；当i3时，S22(2S1)11，i3不满足条件i0)，即1x，即x2x10，解得x，故1.11.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4095个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_.答案解析依题意，正方形的边长构成以为首项，公比为的等比数列.因为共有4095个正方形，则12222n14095，所以n12.所以最小正方形的边长为12112.12.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn.可以推测：(1)b2012是数列an中的第_项；(2)b2k1_.(用k表示)答案(1)5030(2)解析由题意可得an123n，nN*，故b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，由上述规律可知，b2ka5k(kN*)，b2k1a5k1，故b2012b21006a51006a5030，即b2012是数列an中的第5030项.
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