微积分第四章习题课-课件

第四章第四章 定定 积积 分分 与与 不不 定定 积积 分分 习 题 课主要内容典型例题1问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理反常积分反常积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、主要内容一、主要内容2精品资料 内容为微分的逆运算内容为微分的逆运算不定积分法不定积分法.1.基本概念基本概念2.计算计算(1)基本积分法基本积分法第一换元积分法又叫凑微分法第一换元积分法又叫凑微分法.凑凑第二换元积分法又叫代换法第二换元积分法又叫代换法.换换2)分部积分法分部积分法关键是要恰当选取关键是要恰当选取u和和dv.1)换元积分法换元积分法原函数与不定积分原函数与不定积分.4(2)特殊类型函数的积分特殊类型函数的积分1)有理函数积分有理函数积分2)三角函数有理式积分三角函数有理式积分3)简单无理函数的积分简单无理函数的积分 有理函数积分是关键有理函数积分是关键,一定要很好掌握一定要很好掌握.一方面一方面,另一方面另一方面,注注有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数;三角函数有理式三角函数有理式,无理函数的积分无理函数的积分最后总是归结为一个有理函数的积分最后总是归结为一个有理函数的积分.5特殊形式的定积分计算特殊形式的定积分计算特殊形式的定积分计算特殊形式的定积分计算1.对称区间上的积分对称区间上的积分考察被积函数是否为奇偶函数考察被积函数是否为奇偶函数,注意注意用奇偶函数用奇偶函数的的“特性特性”处理处理.2.分段函数的积分分段函数的积分认清积分限是被积函数定义域的哪个区间认清积分限是被积函数定义域的哪个区间的端点的端点,然后按段积分求和然后按段积分求和.3.周期函数的定积分周期函数的定积分 周期函数在任何长为一周期的区间上的定周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等积分都相等.4.被积函数中含有被积函数中含有“积分上限的函数积分上限的函数”的积分的积分用分部积分法做用分部积分法做,将积分上限的函数取作将积分上限的函数取作u.6二、典型例题二、典型例题例例解解7例例解解8例例解解(倒代换倒代换)9例例解解10例例解解11例例解解12例例解解13解解例例 分项分项14例例解解更为复杂更为复杂取取15例例解解分子分母同除以分子分母同除以16例例解解171819例例解解 对方程两边求导得对方程两边求导得20 选择题选择题1.下列等式中正确的是下列等式中正确的是DD21例例计算计算解解分析分析被积函数含有抽象因子的积分被积函数含有抽象因子的积分,通常是通常是用奇偶性积分的用奇偶性积分的“特性特性”处理处理.下面证明下面证明为奇函数为奇函数.令令则则又又即即可知可知为奇函数为奇函数.于是于是有有且对任何且对任何上连续上连续在在设设yxxf,),()(+-),()()(yfxfyxf+=+)0()()(fxfxf+=0)0(=f),()()(xfxfxxf-+=-+,0)()(=-+xfxf22例例解解23例例解解24例例25例例解解26例例解解计算定积分计算定积分令令27例例解解28例例解解则则29例例解解设设则则满足关系满足关系:30例例解解而其中而其中31 证明证明(1)是偶函数是偶函数,则则 也是偶函数也是偶函数;(2)是单调递减是单调递减,则则 也是单调递减也是单调递减.例例证证(1)由于由于 也是偶函数也是偶函数;则则32 证明证明(2)是单调递减是单调递减,也是单调递减也是单调递减.例例 则则证证 积分中值定理积分中值定理(2)33例例 利用闭区间上连续函数的性质利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一点证明存在一点证证最值定理最值定理 有最大值有最大值M 和最小值和最小值m,介值定理介值定理即证即证.34 因为因为时时,所以所以利用利用夹逼准则夹逼准则得得例例解解 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.注注 如如:证明证明35有关不等式的问题有关不等式的问题:1.1.利用定积分性质证明不等式利用定积分性质证明不等式(比较比较,估值估值,中值中值定理等定理等)例例证明证明证明：证明：36例例证法一证法一证法二证法二37例例证证 作辅助函数作辅助函数2.2.利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式构造变上限辅助函数构造变上限辅助函数382)()(dd)()(axtftttfxFx a x a-=39403.3.利用求最值方法证明积分不等式利用求最值方法证明积分不等式例例证明证明414.4.判别式法证判别式法证明积分不等式明积分不等式例例证明证明得证得证.证法二证法二42例例解解(1)43(2)44