微积分第一章函数课件

calculus微积分微积分6/18/2024calculus 利用数学定量分析已成为经济学整个理利用数学定量分析已成为经济学整个理论体系中的重要组成部分。例如：论体系中的重要组成部分。例如：极限极限在连在连续复利问题中的应用、续复利问题中的应用、导数导数在边际和弹性经在边际和弹性经济变量中的应用、济变量中的应用、积分积分在消费者剩余和求总在消费者剩余和求总函数中的运用。函数中的运用。更为重要的是：更为重要的是：经济学依靠边际方法与经济学依靠边际方法与思想来进行决策，依靠各种形式的数学模型思想来进行决策，依靠各种形式的数学模型来推导经济学的基本理论。来推导经济学的基本理论。6/18/2024calculus微积分主要分为微分学与积分学两部分。微积分主要分为微分学与积分学两部分。极限概念是微积分的基石，微分学与积分学极限概念是微积分的基石，微分学与积分学都借助极限方法来描述基本概念。都借助极限方法来描述基本概念。微积分的研究对象是变量以及反映变量之间微积分的研究对象是变量以及反映变量之间相互依赖关系的函数。相互依赖关系的函数。微积分微积分知识体系逻辑结构：知识体系逻辑结构：6/18/2024calculus函函 数数函数性质函数性质反函数反函数初等函数初等函数分段函数分段函数函数极限函数极限导导数数微微分分不不定定积积分分中中值值定定理理导导数数应应用用定定积积分分多多元元微微分分 微微分分 方方程程重重积积分分级级数数 穷穷无无6/18/2024calculus第一章第一章 函数函数1.1 函数及其性质函数及其性质1.2 经济函数介绍经济函数介绍6/18/2024calculus1.1 函数及其性质函数及其性质一、区间与邻域一、区间与邻域1.区间区间设设a和和b都是实数，且都是实数，且ab（1）满足不等式）满足不等式axb的所有实数的所有实数x的集合，称为的集合，称为以以a，b为端点的开区间，记作为端点的开区间，记作(a，b)即即 (a，b)=x|axb（2）满足不等式）满足不等式axb的所有实数的所有实数x的集合，称的集合，称为以为以a，b为端点的闭区间，记作为端点的闭区间，记作a,b即即 a,b=x|axbababxx6/18/2024calculus（3）满足不等式）满足不等式axb或或axb的所有实数的所有实数x的集的集合，称为以合，称为以a，b为端点的半开半闭区间，记作为端点的半开半闭区间，记作(a,b或或a,b)。即即 (a,b=x|axb或或 a,b)=x|ax0,a1)它的定义域（它的定义域（-,+），值域为），值域为 （0,+），），图形通过（图形通过（0，1）点，）点，且总在且总在x轴上方轴上方.当当a1时，函数单调增加时，函数单调增加.当当0a0,a1）它的定义域为（它的定义域为（0,+），图形都），图形都 通过（通过（1，0）点，且总在）点，且总在y轴的右轴的右 方，当方，当a1时，函数单调增加，时，函数单调增加，当当0a1)y=ax(0a1)(0a1)y=logax6/18/2024calculus（5）三角函数）三角函数常用的三角函数有常用的三角函数有y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx y=sinx与与y=cosx的定义域为（的定义域为（-,+），且都是以），且都是以2 为为周期的周期函数周期的周期函数,值域为值域为-1,1,都是有界函数都是有界函数.y=sinx为奇函数，为奇函数，y=cosx为偶函数为偶函数 y=cosx的图象的图象 y=sinx的图象的图象6/18/2024calculusy=tanx的定义域为的定义域为y=cotx的定义域为的定义域为它们都是奇函数它们都是奇函数,且均以且均以为周期为周期,它们的值域它们的值域(-,+)y=tanx的图象的图象6/18/2024calculusy=cotx的图象的图象另外，还有两个三角函数另外，还有两个三角函数6/18/2024calculus （6）反三角函数）反三角函数 由于三角函数在定义域内不是一一对应由于三角函数在定义域内不是一一对应的，因此，三角函数在定义域内不存在的，因此，三角函数在定义域内不存在反函数，但是，如果在定义域内选取一反函数，但是，如果在定义域内选取一个区间个区间I I，使三角函数在区间，使三角函数在区间I I内（上）内（上）一一对应，则三角函数在区间一一对应，则三角函数在区间I I内（上）内（上）也存在反函数也存在反函数.对于对于y=sinx而言，在定义域内选取一个而言，在定义域内选取一个区间区间 ，y=sinx在在 上一一上一一对应。对应。称为反正弦函数，其定义域为称为反正弦函数，其定义域为-1，1，值域为，值域为 ，是单调增加函数，是单调增加函数.以上为以上为y=sinx在在 上图象上图象y=arcsinx的图象的图象 因此，因此，y=sinx在在 上存在上存在反函数反函数x=arcsiny，改写，改写y=arcsinx6/18/2024calculus y=arctanx是是y=tanx x 的反函数称的反函数称为为反正切函数反正切函数,定义域为定义域为(-,+),值域值域 是单调增加函数是单调增加函数.y=arccosx图象图象 同理，同理，y=arccosx 是是y=cosx x 0,上的上的反函数称为反余弦函数反函数称为反余弦函数,定义域定义域-1,1,值域值域0,是单调减少函数是单调减少函数.y=arctanx图象图象6/18/2024calculus y=arccotx是是y=cotx x (0,)内的反函数称为反余切函内的反函数称为反余切函数数,定义域定义域(-,+),值域是（值域是（0,）,是单调减少函数是单调减少函数.由反三角函数的概念可知，由反三角函数的概念可知，y=arcsinx和和y=arctanx为奇函数为奇函数.y=arccosx和和y=arccotx为非奇非偶函数，所有的反三角函数均为为非奇非偶函数，所有的反三角函数均为有界函数有界函数 y=arccotx图象图象6/18/2024calculus6/18/2024calculus2.复合函数复合函数定义定义7注意注意 复合函数就是在一定条件下将一个函数代入另一个函数得到的新函数.例如:6/18/2024calculus 复合函数可以复合多次,即在一定条件下可由多个中间变量复合而成.例例9 利用复合函数的概念，可以将一个复合函数看成是由几个简单函数复合而成，即复合函数可以分解成几个简单函数，简单函数是指基本初等函数和有理整函数（多项式函数）6/18/2024calculus例例10解解:6/18/2024calculus3.初等函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所得到的，且可以用一个公式表示的函数统称为初等函数.例例116/18/2024calculus解解:本课程讨论的函数绝大多数是初等函数本课程讨论的函数绝大多数是初等函数.6/18/2024calculus六六、分段函数分段函数分段函数一般不是初等函数.注意注意6/18/2024calculus例例12 设分段函数设分段函数解解:6/18/2024calculus6/18/2024calculus6/18/2024calculus1.2 经济函数介绍经济函数介绍一、需求函数6/18/2024calculus二、供给函数二、供给函数注意注意由于需求量随价格增加而减少，所以需求函数是单调减少的。6/18/2024calculus三、市场均衡三、市场均衡当某商品的需求量等于供给量时，我们称该商品处于市场均衡状态，此时的价格称为该商品的均衡价格，此时的需求量（供给量）称为该商品的均衡量.商品的均衡量和均衡价格相当于需求曲线和供给曲线交点的坐标.一般来说，市场均衡表示此时的需求量、供给量、产量、销量均相等，因而市场均衡又称为供求平衡或产销平衡.如图(见下页)6/18/2024calculus6/18/2024calculus四、总成本函数四、总成本函数6/18/2024calculus注意注意平均成本函数一般不是单调函数.6/18/2024calculus例例1解解:6/18/2024calculus6/18/2024calculus五、收益函数五、收益函数收益函数：生产者出售一定数量的产品所得收益函数：生产者出售一定数量的产品所得到的全部收入。它是销量与价格的乘积到的全部收入。它是销量与价格的乘积 注注6/18/2024calculus例例2解解:6/18/2024calculus6/18/2024calculus六、总利润函数六、总利润函数由经济理论知：利润=收益-成本6/18/2024calculus6/18/2024calculus例例3解解:6/18/2024calculus6/18/2024calculus设某产品的需求函数为,为需求量,若固定成本为1万元,多生产一个单位产品成本增加5万元,假定产销平衡,求:（）总成本函数，（）收益函数，（）总利润函数为价格（单位：万元），6/18/2024calculus解解答答6/18/2024calculus七、库存函数：全年存货成本与批量的七、库存函数：全年存货成本与批量的函数关系函数关系6/18/2024calculus6/18/2024calculus例例5解解:6/18/2024calculus1.P17,T62.P22,T3作业作业先看书再做练习6/18/2024