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2024/6/1812023/8/912024/6/1822023/8/92 随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写（1）随机变量的平均取值数学期望数学期望；（2）随机变量的取值平均偏离平均值的情况 方差方差；（3）描述随机变量之间的相关关系 协方差和相关系数协方差和相关系数；2024/6/183 随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写（1）随机变一、数学期望的定义二、数学期望的性质基本内容：第一节第一节 数数 学学 期期 望望 第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2024/6/184一、数学期望的定义基本内容：第一节 数 学 期 望 抽象出抽象出 3.1 数学期望数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入：例例1 甲班有甲班有30名学名学生，他们的数学考试成绩生，他们的数学考试成绩(按五级记分按五级记分)如右表所示如右表所示,则平均成绩则平均成绩 平均值平均值 =以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均 以频率为权以频率为权的加权平均的加权平均频率和频率和概率的关系概率的关系 改以概率为权改以概率为权 的加权平均的加权平均数学期望数学期望 试验次数很大时试验次数很大时,频率会接近于概率频率会接近于概率pk2024/6/1853.1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和红球数的数学期望。红球数的数学期望。例例 1 从装有从装有6个红球与个红球与4个白球的袋中任意取出个白球的袋中任意取出3个球，求其中个球，求其中解解 设设 X 为红球数为红球数,则则 X 的分布列为的分布列为 它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均 超几何分布超几何分布2024/6/186离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和红球数的数学期2024/6/1872023/8/970-1分布分布几种常见分布的数学期望几种常见分布的数学期望二项分布二项分布 2024/6/1880-1分布几种常见分布的数学期望二项分布 2023/8/98Poisson 分布分布2024/6/189Poisson 分布2023/8/99定义定义2 设设 X 是连续型随机变量是连续型随机变量,其密度函数为其密度函数为 f(x),若若 收敛收敛,则称则称 为为 X 的的数学期望数学期望，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分小面积近似为小面积近似为简称简称期望期望或或均值均值.f(x)x2024/6/1810定义2 设 X 是连续型随机变量,其密度函数为 f(x)例例设随机变量设随机变量 X 密度为密度为试证试证 E(X)不存在不存在.解解 柯西分布柯西分布=+,E(X)不存在不存在.不绝对收敛不绝对收敛2024/6/1811例设随机变量 X 密度为试证 E(X)不存在.解 均匀分布均匀分布指数分布指数分布2024/6/1812均匀分布指数分布2023/8/912 如果如果 收敛收敛,三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 定理定理 设随机变量设随机变量Y 是随机变量是随机变量X 的连续函数的连续函数Y=g(X),(1)1)设设 X 为离散型随机变量为离散型随机变量,其分布列为其分布列为P(X=Xi)=pi,i=1,2,(2)(2)设设X 是连续型随机变量是连续型随机变量,其密度函数为其密度函数为 f(x),如果如果 收敛收敛,则则 则则 2024/6/1813 =0.1+0.2 +0.4 +0.3例例 设随机变量设随机变量X 的分布列为的分布列为pkX -1 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.3求求 E(2X-1),),E(X 2).解解 E(2X-1)-1)=1.4;解解2024/6/1814=0.1+四、数学期望的性质四、数学期望的性质证证:证证:推广推广2024/6/1815四、数学期望的性质证:证:推广2023/8/915证：证：仅就连续随机变量情形2024/6/1816证：仅就连续随机变量情形2023/8/916五、期望及其性质的应用五、期望及其性质的应用2024/6/1817五、期望及其性质的应用2023/8/917例例(P74)设随机变量设随机变量X服从超几何分布服从超几何分布H(n,M,N),求求E EX。五、期望及其性质的应用五、期望及其性质的应用解解 设设 Xi 表示第表示第 i 次取出的次取出的 样品数中的次品数，则样品数中的次品数，则 Xi服从如下的服从如下的“0-1”0-1”分布分布,且且 Xi 的分布列为的分布列为 这种将这种将 X 分解为有限多个随机变量之和分解为有限多个随机变量之和,再利用期望性质求得再利用期望性质求得X 的期望的方法是较常见的基本方法的期望的方法是较常见的基本方法.取出的取出的n件样品中的次品数件样品中的次品数2024/6/1818例(P74)设随机变量X服从超几何分布H(n,M,N)设每次命中率设每次命中率为为 p,例例 对某一目标连续射击对某一目标连续射击,直到命中直到命中n 次为止次为止.五、期望及其性质的应用五、期望及其性质的应用求消耗子弹数求消耗子弹数 X 的数学期望的数学期望.解解 设设 Xi 表示从第表示从第 i 1 次命中后至第次命中后至第 i 次命中时所消耗的子弹数，次命中时所消耗的子弹数，则则 X=X1+X2+Xn,且且 Xi 的分布列为的分布列为 P(Xi=k)=(1-(1-p)k-1p,2024/6/1819 而商场每销而商场每销售一单位商品可获利售一单位商品可获利500元元,若供大于求若供大于求,则削价处理则削价处理,每单位每单位商品亏损商品亏损100元元;例例 某种商品每周的需求量某种商品每周的需求量 XU 10,30,若供不应求若供不应求,则可从外部调剂供应则可从外部调剂供应,此时每单位商品此时每单位商品可获利可获利300元元.要使商场获得最大的收益要使商场获得最大的收益,问应进货多少问应进货多少?解解 设应进货量为设应进货量为 a(10至至 30 间的某数间的某数),),利润为利润为Y,则则 连续连续 故当故当 a=23.33 时时,EY 最大最大,供不应求供不应求供大于求供大于求2024/6/1820 精品课件精品课件！2024/6/1821精品课件！2023/8/921精品课件精品课件！2024/6/1822精品课件！2023/8/922 我们介绍了随机变量的我们介绍了随机变量的数学期望，数学期望，它反映了随机变量取它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.小结小结 保线性运算保线性运算 五条性质五条性质:独立性与积独立性与积2024/6/1823 我们介绍了随机变量的数学期望，
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