有限元的力学基础第二章课件

有限元的力学基础第二章有限元的力学基础第二章有限元的力学基础第二章2第二章第二章 有限元法的力学基础有限元法的力学基础2-1 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容2.2 弹性力学与材力、结构力学课程的区别弹性力学与材力、结构力学课程的区别2.3 弹性力学的几个基本概念弹性力学的几个基本概念2.4 弹性力学基本方程弹性力学基本方程2.5 虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程2第二章 有限元法的力学基础2-1 弹性力学的研究内容3材料力学材料力学-研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。弹性力学弹性力学-研究各种形状的弹性体，如杆 件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容 结构力学结构力学-在材料力学基础上研究杆系结构 （如 桁架、刚架等）。研究对象3材料力学-研究杆件（如梁、柱和轴）4 ：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程三套方程;在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界条件边界条件;并在边界条件下求解上述方并在边界条件下求解上述方程程，得出较精确的解答。弹力研究方法弹力研究方法 在研究方法上，弹力和材力也有区别：第一节第一节第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容弹性力学的内容弹性力学的内容研究方法研究方法研究方法研究方法4 ：在区域V内严格考虑静5 材力 也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。第一节第一节第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容弹性力学的内容弹性力学的内容研究方法研究方法研究方法研究方法 因此材料力学建立的是近似理论近似理论，得出的是近似的解答近似的解答。从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件形状的结构。5 材力 也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常6如：梁的弯曲问题如：梁的弯曲问题弹性力学结果弹性力学结果材料力学结果材料力学结果当当 l h 时，两者误差很小时，两者误差很小如：变截面杆受拉伸如：变截面杆受拉伸 弹性力学以微元体为研弹性力学以微元体为研究对象，建立方程求解，得究对象，建立方程求解，得到弹性体变形的一般规律。到弹性体变形的一般规律。所得结果更符合实际。所得结果更符合实际。6如：梁的弯曲问题弹性力学结果材料力学结果当 l 7（3）数学理论基础）数学理论基础材力、结力材力、结力 常微分方程（低阶，一个变量）。常微分方程（低阶，一个变量）。弹力弹力 偏微分方程（高阶，二、三个变量）。偏微分方程（高阶，二、三个变量）。数值解法数值解法：能量法（变分法）、差分：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。法、有限单元法等。3.与其他力学课程的关系与其他力学课程的关系 弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、振动理论、有限单元法等课程的基础。振动理论、有限单元法等课程的基础。弹性力学弹性力学数学弹性力学；数学弹性力学；应用弹性力学。应用弹性力学。7（3）数学理论基础材力、结力 常微分方程（低阶，一个82.3弹性力学的几个基本概念弹性力学的几个基本概念(1)描述变形体的基本变量描述变形体的基本变量82.3弹性力学的几个基本概念(1)描述变形体的基本变量9描述变形体的基本方程描述变形体的基本方程基本变量、基本方程及边界条件基本变量、基本方程及边界条件9描述变形体的基本方程基本变量、基本方程及边界条件10 作用于弹性体的外力作用于弹性体的外力(或称荷载或称荷载)可能有两种：可能有两种：表面力表面力：是分布于是分布于物体表面的力物体表面的力(风力、液体压力、接风力、液体压力、接触力触力)。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号个成分，用记号X、Y、Z 来表示。来表示。体力体力：是分布于是分布于物体体积内的外力（物体体积内的外力（如重力、磁力、惯如重力、磁力、惯性力）。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号性力）。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。表示。弹性体受外力以后，用以描述其在物体内任意部位的弹性体受外力以后，用以描述其在物体内任意部位的产生的内力和变形特征的力学量是产生的内力和变形特征的力学量是应力和应变。应力和应变。(2)外力的概念外力的概念10 作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：(2)112.应力应力(1)一点应力的概念一点应力的概念AQ内力内力(1)物体内部分子或原子间的相互物体内部分子或原子间的相互作用力作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)P(1)P点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2)应力矢量应力矢量.-P点的应力点的应力的极限方向的极限方向由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量n(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的112.应力(1)一点应力的概念AQ内力(1)物12(2)一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：y面的应力：面的应力：z面的应力：面的应力：12(2)一点的应力状态通过一点P 的各个面上应力状况的13用矩阵表示：用矩阵表示：其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。剪应力互等定理剪应力互等定理应力符号的意义：应力符号的意义：第第1个下标个下标 x 表示表示所在面的法线方向；所在面的法线方向；第第2个下标个下标 y 表示表示的方向的方向.应力应力正负号正负号的规定：的规定：正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。剪应力剪应力 坐标坐标正面正面上，与坐标正向一致时为正；上，与坐标正向一致时为正；坐标坐标负面负面上，与坐标正向相反时为正。上，与坐标正向相反时为正。xyzO13用矩阵表示：其中，只有6个量独立。剪应力互等定理应力符号14与材力中剪应力与材力中剪应力正负号正负号规定的区别：规定的区别：xy规定使得单元体顺时的剪应力规定使得单元体顺时的剪应力为为正，反之为负。正，反之为负。xyzO14与材力中剪应力正负号规定的区别：xy规定使得单元体顺时15材力：以材力：以拉拉为正为正材力：材力：顺时针顺时针向为正向为正弹力弹力与材力材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同15材力：以拉为正材力：顺时针向为正弹力与材力 相比，正应163.形变形变形变形变 物体的形状改变物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。）两线段间夹角的改变。PBCA用线（正）应变用线（正）应变度量度量用剪应变用剪应变度量度量（剪应变（剪应变两垂直线段夹角两垂直线段夹角（直角）（直角）的改变量）的改变量）三个方向的线应变：三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：三个平面内的剪应变：(1)一点形变的度量一点形变的度量应变的正负：应变的正负：线应变：线应变：伸长伸长时为时为正正，缩短缩短时为时为负负；剪应变：剪应变：以直角以直角变小时为正变小时为正，变大时为负变大时为负；163.形变形变 物体的形状改变xyzO（1）线段长17(2)一点应变状态一点应变状态 代表一点代表一点 P 的的邻域内邻域内线段与线段间夹角的改变线段与线段间夹角的改变xyzOPBCA其中其中应变无量纲；应变无量纲；4.位移位移注：注：一点的位移一点的位移 矢量矢量S应变分量均为位置坐标的函数，即应变分量均为位置坐标的函数，即xyzOSwuvP位移分量：位移分量：u x方向的位移分量；方向的位移分量；v y方向的位移分量；方向的位移分量；w z方向的位移分量。方向的位移分量。量纲：量纲：m 或 mm17(2)一点应变状态 代表一点 P 的邻域内线段与18弹性力学问题：弹性力学问题：已知已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、）、约束条件）、约束条件等，求解等，求解应力、应变、位移应力、应变、位移分量分量。需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；（2）几何学关系：）几何学关系：形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。18弹性力学问题：已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特192.4弹性力学基本方程弹性力学基本方程(1)平衡方程平衡方程考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程（受力状态的描述）：向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程（受力状态的描述）：192.4弹性力学基本方程(1)平衡方程20（2）几何方程）几何方程-应变与位移的关系应变与位移的关系A点在点在X方向的位移方向的位移分量为分量为u；B点在点在X方向的位移方向的位移：微元体由微元体由ABCD变形为变形为ABCD求线素求线素AB、AD的正应变的正应变 ，用位移分量来表示：，用位移分量来表示：线素线素AB的正应变为：的正应变为：同理，同理，AD的正应变为：的正应变为：20（2）几何方程-应变与位移的关系A点在X方向的位移21几何方程几何方程-应变与位移的关系应变与位移的关系X向线素向线素AB的转角的转角 ，Y向线素向线素AD的转角的转角求剪应变求剪应变 ，也就是线素，也就是线素AB与与AD之间的直角的改变之间的直角的改变线素线素AB的转角为：的转角为：A点在点在Y方向的位移方向的位移分量为分量为v；B点在点在Y方向的位移方向的位移分量分量：21几何方程-应变与位移的关系X向线素AB的转角 22几何方程几何方程-应变与位移的关系应变与位移的关系X向线素向线素AB的转角的转角 ，Y向线素向线素AD的转角的转角求剪应变求剪应变 ，也就是线素，也就是线素AB与与AD之间的直角的改变之间的直角的改变同理，同理，Y向线素向线素AD的的转角转角由于变形是微小由于变形是微小的，所以上式可将比的，所以上式可将比单位值小得多的单位值小得多的 略去，得略去，得因此，剪应变为：因此，剪应变为：vudxdyA AB BC CD Ddxxuu+dxxvv+dyyuu+dyyvv+A BCDDBbax xy y0 0图 2-522几何方程-应变与位移的关系X向线素AB的转角 23几何方程几何方程-应变与位移的关系应变与位移的关系以上是考察了体素在以上是考察了体素在xoy一个平面内的变形情况，一个平面内的变形情况，同样方法来考察体素在同样方法来考察体素在xoz和和yoz平面内的变形情况，平面内的变形情况，可得：可得：联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。的关系。23几何方程-应变与位移的关系以上是考察了体素在xoy24（3）几何方程的矩阵表示）几何方程的矩阵表示可可以以证证明明，如如果果弹弹性性体体内内任任一一点点，已已知知这这三三个个垂垂直直方方向向的的正正应应变变及及其其相相应应的的三三个个剪剪应应变变，则则该该点点任任意意方方向向的的正正应应变变和和任任意意二二垂垂直直线线间间的的剪剪应应变变均均可可求求出出，当当然然也也可可求求出出它它的的最最大大和和最最小小正正应应变变。因因此此，这这六六个个量量可可以以完完全全确确定定该该点点的的应应变变分分量量，它它们们就就称称为为该该点点的的应应变变分分量量。六六个个应应变变分分量的总体，可以用一个列矩阵量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：来表示：24（3）几何方程的矩阵表示可以证明，如果弹性体内任一点25当沿当沿X轴方向的两个对轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在度的任何改变，而其在X方方向的单位伸长则为向的单位伸长则为式中式中E为弹性模量。为弹性模量。弹弹性性体体在在X方方向向的的伸伸长长还还伴伴随随有有侧侧向向收收缩缩，即即在在y和和Z方方向向的的单单位位缩缩短短可可表表示示为：为：式中式中 为泊松系数。为泊松系数。应力分量与应变分量之间的关系应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律虎克定律（5）物理方程）物理方程-应力应变关系应力应变关系25当沿X轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足26单单位位伸伸长长与与应应力力之之间间的的关关系系完完全全由由两两个个物物理理常常数数E及及 所所确确定定。两两个个常常数数也也可可用用来来确确定定剪剪应应力与剪应变之间的关系。力与剪应变之间的关系。设设图图中中的的弹弹性性体体在在各各面面上上都都受受有有均均匀匀分分布布的的正正应应力力，则则合合成成应应变变的的分分量量前前述述两两式式求求得得。实实验验证证明明，只只须须将将三三个个应应力力中中的的每每一一应应力力所所引引起起的的应应变变分分量量叠叠加加，就就得得到到合合成成应应变的分量。变的分量。物理方程物理方程-应力应变关系应力应变关系26设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成27 如如果果弹弹性性体体的的各各面面有有剪剪应应力力作作用用，如如图图所所示示，任任何何两两坐坐标标轴轴的的夹夹角角的的改改变变仅仅与与平平行行于于这这两两轴轴的的剪剪应应力力分分量有关，即得到：量有关，即得到：式式中中G称称为为剪剪切切模模量量，它它与与弹弹性性模模量量E，泊松系数，泊松系数 存在如下的关系：存在如下的关系：因因此此，由由三三个个正正应应力力分分量量与与三三个个剪剪应应力力分分量量引引起起的的一一般般情情形形的的应应变变，可可用用叠叠加加法法求求得得；即即将将六六个个关关系系式式写写在在一一起起，称称为为弹弹性性方方程程或或物物理理方方程程，这这种种空空间间状状态态的的应应力力应应变变关关系系称称为为广广义虎克定律义虎克定律。物理方程物理方程-应力应变关系应力应变关系27 如果弹性体的各面有剪应力作用，如图所示，任何两坐标28将将应应变变分分量量表表示示为为应应力力分分量量的的函函数数，可可称称为为物物理理方方程程的的第第一一种种形形式式。若若将将式式改改写写成成应应力力分分量量表表为为应应变变分分量量的的函函数数的的形式，可得物理方程的第二种形式：形式，可得物理方程的第二种形式：物理方程物理方程-应力应变关系应力应变关系28将应变分量表示为应力分量的函数，可称为物理方程的第一29物理方程物理方程矩阵的形式表示如下：矩阵的形式表示如下：可简写为：可简写为：29物理方程矩阵的形式表示如下：可简写为：30D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和和30D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和312.5 虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程图图示示一一平平衡衡的的杠杠杆杆，对对C点点写写力力矩矩平衡方程：平衡方程：图图2-8b表表示示杠杠杆杆绕绕支支点点C转转动动时时的的刚体位移图：刚体位移图：综合可得：综合可得：即：即：式式是是以以功功的的形形式式表表述述的的。表表明明：图图a的的平平衡衡力力系系在在图图b的的位位移移上上作作功功时时，功功的的总总和和必必须须等等于于零零。这这就就叫叫做做虚虚功原理功原理。abACB(a)(b)BPAPcRBDADCBA B A图 2-8312.5 虚功原理及虚功方程图示一平衡的杠杆，对C点写力32虚功原理表述如下：虚功原理表述如下：在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的体体系系，当当发发生生与与约约束束条条件件相相符符合合的的任任意意微微小小的的虚虚刚刚体体位位移移时时，体体系系上上所所有有的的主主动动力力在在虚位移上所作的总功虚位移上所作的总功(各力所作的功的代数和各力所作的功的代数和)恒对于零。恒对于零。虚功原理用公式表示为：虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中这就是虚功方程，其中P P和和 相应的代表力和虚位移。相应的代表力和虚位移。虚功原理与虚功方程虚功原理与虚功方程32虚功原理表述如下：虚功原理与虚功方程33弹性变形体情况外力功：对于任意三维弹性体，其受体积力：表面力：其总外力功：1 外力功外力功33弹性变形体情况外力功：对于任意三维弹性体，其受体积力：其34弹性变形体情况2 应变能应变能 若忽略弹性变形过程中的热量、动能和外界阻尼，则外力功全部转换为应变能，其存储于弹性体内。单位体积应变能：整个体积应变能：3 势能势能 基于弹性体外力功和应变能的表示，定义弹性体的外力势能和变形能之和为系统势能，即：34弹性变形体情况2 应变能 若忽略弹性变35由于虚位移是微小的，可认为在虚位移发生过程中外力由于虚位移是微小的，可认为在虚位移发生过程中外力保持为常量，则上式的变分符号可提到积分号外。保持为常量，则上式的变分符号可提到积分号外。外力虚功即作用于弹性体上的外力在虚位移上做的功；外力虚功即作用于弹性体上的外力在虚位移上做的功；内力虚功即应力在虚应变上做的的虚功，也称虚应变能。表内力虚功即应力在虚应变上做的的虚功，也称虚应变能。表示如下：示如下：虚虚应应变变能能外力虚功外力虚功虚位移分量虚位移分量虚应变分量虚应变分量（2）弹性力学虚功方程及最小势能原理弹性力学虚功方程及最小势能原理35由于虚位移是微小的，可认为在虚位移发生过程中外力保持36最小势能原理：最小势能原理：表明在满足位移边界条件的所有表明在满足位移边界条件的所有可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等价。值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等价。最小势能原理最小势能原理T为外力功，即外力势能；为外力功，即外力势能；U为弹性体变形势能；为弹性体变形势能；W为弹性为弹性体的总势能体的总势能36最小势能原理：表明在满足位37i点外力分量点外力分量j点外力分量点外力分量外外力力分分量量用用 表表示示；引引起起的的应应力力分分量量用用 表表示示y yz zx x0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj虚功原理的矩阵表示虚功原理的矩阵表示-用于弹性体的情况用于弹性体的情况37i点外力分量yzx0iViUiWiiwiviujUjuj38假设发生了虚位移假设发生了虚位移虚位移分量为虚位移分量为用用 表表示示；引引起起的的虚应变分量用虚应变分量用 表示表示y yZ ZX X0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj图2-9虚功原理的矩阵表示虚功原理的矩阵表示-用于弹性体的情况用于弹性体的情况38假设发生了虚位移yZX0iViUiWiiwiviuj39在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：式中式中 是是 的转置矩阵。的转置矩阵。同同样样，在在虚虚位位移移发发生生时时，在在弹弹性性体体单单位位体体积积内内，应应力力在在虚应变上的虚功是：虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到：根据虚功原理得到：这这就就是是弹弹性性变变形形体体的的虚虚功功方方程程矩矩阵阵表表示示，它它通通过过虚虚位位移移和和虚虚应应变变表表明明外外力力与与应应力力之之间间的的关关系系。这这是是以以后后推推导导有有限限元元方程的基础。方程的基础。虚功原理的矩阵表示虚功原理的矩阵表示-用于弹性体的情况用于弹性体的情况39在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：虚功原理的矩40弹性体的虚功方程：弹性体的虚功方程：简化为：简化为：其中：其中：（3）平面应力问题虚功方程平面应力问题虚功方程40弹性体的虚功方程：其中：（3）平面应力问题虚功方程41平平面面应应变变问问题题，由由于于在在Z方方向向没没有有外外力力，应应力力和和应应变变也也不不沿沿Z方方向向变变化化，所所以以虚虚功功方方程程仍仍然然适适用用，其其中中的的t可可以以取取为为任任意数值，但意数值，但F必须是这个必须是这个t范围内的外力。范围内的外力。需需要要说说明明一一下下，工工程程中中有有许许多多问问题题很很接接近近于于平平面面应应变变问问题题，如如受受内内压压力力的的圆圆管管、滚滚柱柱轴轴承承中中的的滚滚柱柱等等等等，但但它它们们的的沿沿Z向向长长度度都都不不是是无无限限长长的的。故故在在靠靠近近两两端端的的部部分分，其其应应力力应应变变状状态态比比较较复复杂杂，并并不不符符合合平平面面应应变变问问题题的的条条件件；因因此此将将这这类类问问题题当当作作平平面面应应变变问问题题来来考考虑虑时时，对对于于离离开开两两端端有有一一定定距距离离的的地地方方，得得出出的的结结果果还还是是相相当当满满意意的的；但但对对靠靠近近两两端端的的部部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。位，却有较大的出入，往往需要加以处理。（4）平面应变问题）平面应变问题41平面应变问题，由于在Z方向没有外力，应力和应变也不沿4242