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第十七讲第十七讲 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系式及诱导公式式及诱导公式1.回归课本回归课本2.1.同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系式平方关系平方关系:sin2+cos2=1;商数关系商数关系:tan=3.2.相关角的表示相关角的表示(1)终边与角终边与角的终边关于的终边关于原点原点对称的角可以表示为对称的角可以表示为+;(2)终边与角终边与角的终边关于的终边关于x轴轴对称的角可以表示为对称的角可以表示为-(或或2-);(3)终边与角终边与角的终边关于的终边关于y轴轴对称的角可以表示为对称的角可以表示为-;(4)终边与角终边与角的终边关于的终边关于直线直线y=x对称的角可以表示为对称的角可以表示为 -.4.3.诱导公式诱导公式(1)公式一公式一sin(+k2)=sin,cos(+k2)=cos,tan(+k2)=tan,其中其中k Z.(2)公式二公式二sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan.5.(3)公式三公式三sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan.(4)公式四公式四sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan(-)=-tan.6.(5)公式五公式五7.(6)公式六公式六即即+k2(k Z),-,的三角函数值的三角函数值,等于等于的的同名同名函数值函数值,前前面加上一个把面加上一个把看成看成锐角锐角时原函数值的符号时原函数值的符号;的正弦的正弦(余弦余弦)函数值函数值,分别等于分别等于的的余弦余弦(正弦正弦)函数值函数值,前面加上一个把前面加上一个把看成看成锐角时原函数值的符号锐角时原函数值的符号.8.总口诀为总口诀为:奇变偶不变奇变偶不变,符号看象限符号看象限,其中其中“奇奇 偶偶”是指是指“k (k Z)”中中k的奇偶性的奇偶性;“符号符号”是把任意角是把任意角看作锐角时原看作锐角时原函数值的符号函数值的符号.9.考点陪练考点陪练10.1.(2010全国全国)cos300=()解析解析:cos300=cos(360-60)=cos60=,故选故选C.答案答案:C11.答案答案:A12.13.答案答案:B14.4.点点P(tan2008,cos2008)位于位于()A.第二象限第二象限 B.第一象限第一象限C.第四象限第四象限 D.第三象限第三象限解析解析:2008=6360-152,tan2008=-tan152=tan280,cos2008=cos1520,点点P在第四象限在第四象限.答案答案:C15.答案答案:B16.类型一类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值利用同角三角函数基本关系式化简求值解题准备解题准备:本考点的试题难度不大本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确而对公式的应用要求准确 灵活灵活,尤其是利用平方关系尤其是利用平方关系sin2+cos2=1及其变形形式及其变形形式sin2=1-cos2或或cos2=1-sin2进行开方运算时进行开方运算时,特别注意符特别注意符号的判断号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指且没有指定角在哪个象定角在哪个象限限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定其那么就需要结合分类讨论的思想来确定其他角的三角函数值他角的三角函数值.17.【典例【典例1】(1)已知已知sin=,且且为第二象限角为第二象限角,求求tan;(2)已知已知sin=,求求tan;(3)已知已知sin=m(m0,m1),求求tan.18.19.(3)sin=m(m0,m1),cos=(当当为第一为第一 四象限角时取四象限角时取正号正号,当当为第二为第二 三象限角时取负号三象限角时取负号),所以当所以当为第一为第一 四象限角时四象限角时,tan=;当当为第二为第二 三象限角时三象限角时,tan=20.反思感悟反思感悟 本例属同角三角函数关系式的基本题本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌关键是掌握住握住“先平方先平方,后作商后作商”的原则的原则,先求与先求与sin的平方关系相联的平方关系相联系的系的cos,再由公式求再由公式求tan.在在(3)中中,为第四象限角为第四象限角,但但tan=,原因是原因是m此时小于此时小于0,所以形式上所以形式上tan的表的表达式前面仍不带负号达式前面仍不带负号.21.类型二类型二诱导公式及其应用诱导公式及其应用解题准备解题准备:诱导公式起着变名诱导公式起着变名 变角变角 变号的作用变号的作用,应用诱导公应用诱导公式式,着眼点应放在着眼点应放在“角角”上上,重点是重点是“函数名称函数名称”和和“正负号正负号”的的判断判断.求任意角的三角函数值问题求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导公式最都可以利用诱导公式最终化为锐角三角函数的求值问题终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是具体步骤是:“化负为正化负为正化大为小化大为小锐角求值锐角求值”.22.23.分析分析 显然应用到诱导公式显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理既可以直接从诱导公式中合理选用选用,也可以直接运用十字诀也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负一般来说用后一方法记忆负担较轻担较轻.24.25.(3)-1860=-2190+30,f(-1860)=-cos(-1860)=-cos(-2190+30)=-sin30=.26.反思感悟反思感悟 如何运用十字诀如何运用十字诀,可通过下例来体会可通过下例来体会:设设=-且且为锐角为锐角,则如图所示则如图所示,可知可知可看成是第二象限角可看成是第二象限角,而在第二而在第二象限中余弦取负号象限中余弦取负号,且且k=-3为奇数为奇数.cos=cos(-3 +)=-sin.27.类型三类型三sincos与与sincos关系的应用关系的应用解题准备解题准备:利用利用sin2+cos2=1,可以得出如下结论可以得出如下结论:(sin+cos)2=1+2sincos;(sin-cos)2=1-2sincos;(sin+cos)2+(sin-cos)2=2;(sin+cos)2-(sin-cos)2=4sincos.对于对于sin+cos,sincos,sin-cos这三个式子这三个式子,已知其中已知其中一个式子的值一个式子的值,可求其余二式的值可求其余二式的值.28.【典例【典例3】已知已知sinx+cosx=,求下列各式的值求下列各式的值:(1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x.29.30.反思感悟反思感悟 平方关系平方关系sin2x+cos2x=1把把sinx+cosx,sinxcosx联系起来联系起来,要灵活运用它们之间的变要灵活运用它们之间的变换换,熟记立方和公式及和的立方公式熟记立方和公式及和的立方公式.31.类型四类型四 关于关于sin与与cos的二次齐次式的求值问题的二次齐次式的求值问题解题准备解题准备:这类已知某个三角函数值这类已知某个三角函数值,求其余三角函数值的问求其余三角函数值的问题的常规思路是题的常规思路是:利用同角间的三角函数关系利用同角间的三角函数关系,求出其余三求出其余三角函数值角函数值,这就需要根据这就需要根据m的取值符号的取值符号,确定确定角所在的象限角所在的象限,再对它进行讨论再对它进行讨论.这样计算相当繁琐这样计算相当繁琐,而在这里灵活地运用而在这里灵活地运用“1”的代换的代换,将所求值的式子的分子将所求值的式子的分子 分母同除以分母同除以cosn,用用tann表示出来表示出来,从而简化了解题过程从而简化了解题过程,我们应熟练掌握这种我们应熟练掌握这种解法解法.更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的辩证更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的辩证思想方法思想方法.32.33.34.35.反思感悟反思感悟 形如形如asin+bcos和和asin2+bsincos+ccos2的式子分别称为关于的式子分别称为关于sin cos的一次齐次式和二次齐次式的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用变换常有如上的整体代入方法可供使用.36.错源一错源一 忽视隐含的平方关系忽视隐含的平方关系,扩大解的范围而致错扩大解的范围而致错A.m 3,9B.m(-,5)3,+)C.m=0,或或m=8D.m=837.错解错解 由已知有由已知有解得解得m0一定要说明一定要说明.同样同样,快解法中快解法中,得出得出sin=,cos=也是由也是由(0,)确定的确定的.54.易丢分原因易丢分原因 求求sin-cos的过程中的过程中,若不考虑若不考虑(0,),将将sin-cos变为变为 是不行的是不行的.求方程的根时求方程的根时,若不考虑若不考虑(0,),会求得会求得sin=,cos=,其结果也是两个值其结果也是两个值.55.
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