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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理编辑课件编辑课件两个两个计计数原理数原理分分类类加法加法计计数原理数原理分步乘法分步乘法计计数原理数原理条条 件件完成一件事有完成一件事有_._.在在第第1 1类类方案中有方案中有m m种种不同的方法，在第不同的方法，在第2 2类类方案中有方案中有n n种不同种不同的方法的方法完成一件事需要完成一件事需要_，做第，做第1 1步有步有m m种不同的方法，种不同的方法，做第做第2 2步有步有n n种种不同的方法不同的方法两两类类不同方案不同方案两个步两个步骤骤编辑课件分分类类加法加法计计数原理数原理分步乘法分步乘法计计数原理数原理结结 论论完成完成这这件事共有件事共有N=_N=_种不同的方法种不同的方法完成完成这这件事共有件事共有N=_N=_种不同的方种不同的方法法依依 据据能否能否_完成整个完成整个事件事件能否能否_完成整个完成整个事件事件m+nm+n独立独立mnmn逐步逐步编辑课件判断下面判断下面结论结论是否正确是否正确(请请在括号中打在括号中打“”“”或或“”).“”).(1)(1)在分在分类类加法加法计计数原理中，两数原理中，两类类不同方案中的方法可以不同方案中的方法可以相同相同.().()(2)(2)在分在分类类加法加法计计数原理中，每数原理中，每类类方案中的方法都能直接完成方案中的方法都能直接完成这这件事件事.().()(3)(3)如果完成一件事情有如果完成一件事情有n n类类不同方案，在每一不同方案，在每一类类中都有若干种中都有若干种不同的方法不同的方法m mi i(i=1,2,3,n),(i=1,2,3,n),那么完成那么完成这这件事共有件事共有m m1 1+m+m2 2+m m3 3+m+mn n种方法种方法.().()编辑课件(4)(4)在分步乘法在分步乘法计计数原理中，每个步数原理中，每个步骤骤中完成中完成这这个步个步骤骤的方法的方法是各不相同的是各不相同的.().()(5)(5)在分步乘法在分步乘法计计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个一个单单独的步独的步骤骤都不能完成都不能完成这这件事，只有两个步件事，只有两个步骤骤都完成后，都完成后，这这件事情才算完成件事情才算完成.().()(6)(6)如果完成一件事情有如果完成一件事情有n n个不同步个不同步骤骤，在每一步中都有若干种，在每一步中都有若干种不同的方法不同的方法m mi i(i=1,2,3,n),(i=1,2,3,n),那么完成那么完成这这件事共有件事共有m m1 1m m2 2m m3 3mmn n种方法种方法.().()编辑课件【解析】【解析】(1)(1)错误错误.在分在分类类加法加法计计数原理中，两数原理中，两类类不同方案中的不同方案中的方法互不相同，即第方法互不相同，即第1 1类类方案中的方案中的m m种方法和第种方法和第2 2类类方案中的方案中的n n种种方法没有相同的方法没有相同的.(2)(2)正确正确.在分在分类类加法加法计计数原理中，每数原理中，每类类方案中的每一种方法都方案中的每一种方法都能完成能完成这这件事，否件事，否则则就是分步了就是分步了.(3)(3)正确正确.这这是分是分类类加法加法计计数原理的推广数原理的推广.(4)(4)正确正确.在分步乘法在分步乘法计计数原理中，每个步数原理中，每个步骤骤中完成中完成这这个步个步骤骤的的方法如果相同，方法如果相同，则则可可认为认为是相同的步是相同的步骤骤.编辑课件(5)(5)正确正确.在分步乘法在分步乘法计计数原理中，如果事情是分两步完成的，数原理中，如果事情是分两步完成的，则则它的任何一个它的任何一个单单独的步独的步骤骤都不能完成都不能完成这这件事，否件事，否则则就是分就是分类类了了.(6)(6)正确正确.这这是分步乘法是分步乘法计计数原理的推广数原理的推广.答案答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)编辑课件1 1从从1010名任名任课课教教师师，5050名同学中，名同学中，选选1 1人参加元旦文人参加元旦文艺艺演出，演出，共有共有选选法种数法种数为为()()(A)50 (B)10 (C)60 (D)500(A)50 (B)10 (C)60 (D)500【解析】【解析】选选C.C.分分类类完成此事，一完成此事，一类类是是选选教教师师，有，有1010种种选选法，另法，另一一类类是是选选学生，有学生，有5050种种选选法，由分法，由分类类加法加法计计数原理可知，共有数原理可知，共有10+50=6010+50=60种种选选法法.编辑课件2 2某城市的某城市的电话电话号号码码，由六位升，由六位升为为七位七位(首位数字均不首位数字均不为为零零)，则该则该城市可增加的城市可增加的电话电话部数是部数是()()(A)9876543(A)9876543(B)89(B)896 6(C)910(C)9106 6(D)8110(D)81105 5【解析】【解析】选选D.D.电话电话号号码码是六位数字是六位数字时时，该该城市可安装城市可安装电话电话9109105 5部，同理升部，同理升为为七位七位时时，可安装，可安装电话电话9109106 6部，所以可增部，所以可增加的加的电话电话部数是部数是9109106 6-910-9105 5=8110=81105 5.编辑课件3.3.从从3 3名女同学和名女同学和2 2名男同学中名男同学中选选1 1人主持本班的某次主人主持本班的某次主题题班会，班会，则则不同的不同的选选法有法有_种种.【解析】【解析】分分类类完成此事，如果完成此事，如果选选女生，有女生，有3 3种种选选法；如果法；如果选选男男生，有生，有2 2种种选选法法.由分由分类类加法加法计计数原理可知，共有数原理可知，共有3+2=53+2=5种种选选法法.答案答案:5 5编辑课件4 4将将4 4封信投入封信投入3 3个个邮邮箱，有箱，有_种不同的投法种不同的投法.【解析】【解析】分四步：每一封信都有分四步：每一封信都有3 3种不同的投法，由分步乘法种不同的投法，由分步乘法计计数原理，共有数原理，共有3333333381(81(种种).).答案答案:8181编辑课件5 5已知集合已知集合M=1M=1，-2,3-2,3，N=N=4,5,64,5,6，77，从两个集合中，从两个集合中各取一个元素作各取一个元素作为为点的坐点的坐标标，则这样则这样的坐的坐标标在直角坐在直角坐标标系中可系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是表示第一、二象限内不同的点的个数是_._.【解析】【解析】令令M M中的元素作中的元素作为为点的横坐点的横坐标标，N N中的元素作中的元素作为为点的点的纵纵坐坐标标，在第一象限的点共有，在第一象限的点共有2222个，在第二象限的点共有个，在第二象限的点共有1212个令个令N N中的元素作中的元素作为为点的横坐点的横坐标标，M M中的元素作中的元素作为为点的点的纵纵坐坐标标，在第一象限的点共有在第一象限的点共有2222个，在第二象限的点共有个，在第二象限的点共有2222个故个故所求不同的点的个数是所求不同的点的个数是22221212222222221414答案答案:1414编辑课件考向考向 1 1 分分类类加法加法计计数原理数原理【典例【典例1 1】(1)(1)若若x x，yNyN*,且且x+y6,x+y6,则则有序自然数有序自然数对对(x,y)(x,y)共有共有个个_._.(2)(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数数为为_._.编辑课件【思路点【思路点拨拨】(1)(1)根据根据题题意，用列意，用列举举法分法分别别求得当求得当x=1,2,3,4,5x=1,2,3,4,5时时，y y值值的数目情况，的数目情况，进进而由分而由分类类加法加法计计数原理，数原理，计计算可得答算可得答案案.(2)(2)对对十位数字十位数字进进行分行分类类或或对对个位数字个位数字进进行分行分类类.【规规范解答】范解答】(1)(1)当当x=1x=1时时，y y可取的可取的值为值为5 5，4 4，3 3，2 2，1 1，共，共5 5个；个；当当x=2x=2时时，y y可取的可取的值为值为4 4，3 3，2 2，1 1，共，共4 4个；个；当当x=3x=3时时，y y可取的可取的值为值为3 3，2 2，1 1，共，共3 3个；个；编辑课件当当x=4x=4时时，y y可取的可取的值为值为2 2，1 1，共，共2 2个；个；当当x=5x=5时时，y y可取的可取的值为值为1 1，共，共1 1个；个；即当即当x=1,2,3,4,5x=1,2,3,4,5时时，y y值值依次有依次有5 5，4 4，3 3，2 2，1 1个，个，由分由分类类加法加法计计数原理，得不同的数数原理，得不同的数对对(x,y)(x,y)共有共有5+4+3+2+1=15(5+4+3+2+1=15(个个).).(2)(2)方法一：根据方法一：根据题题意，将十位上的数字按意，将十位上的数字按1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8的情况分成的情况分成8 8类类，在每一，在每一类类中中满满足足题题目条件的两位数目条件的两位数编辑课件分分别别是是8 8个，个，7 7个，个，6 6个，个，5 5个，个，4 4个，个，3 3个，个，2 2个，个，1 1个个.由分由分类类加法加法计计数原理知，符合条件的两位数共有数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个).).故共有故共有3636个个.方法二：分析个位数字，可分以下几方法二：分析个位数字，可分以下几类类：个位是个位是9 9，则则十位可以是十位可以是1 1，2 2，3 3，8 8中的一个，中的一个，故共有故共有8 8个；个；个位是个位是8 8，则则十位可以是十位可以是1 1，2 2，3 3，7 7中的一个，中的一个，故共有故共有7 7个；个；编辑课件同理个位是同理个位是7 7的有的有6 6个；个；个位是个位是2 2的有的有1 1个个.由分由分类类加法加法计计数原理知，符合条件的两位数共有数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个).).故共有故共有3636个个.答案答案:(1)15 (2)36(1)15 (2)36编辑课件【互【互动动探究】探究】本例本例题题(2)(2)中条件不中条件不变变，求个位数字小于十位数，求个位数字小于十位数字的两位数且字的两位数且为为偶数的个数偶数的个数.【解析】【解析】当个位数字是当个位数字是8 8时时，十位数字取，十位数字取9 9，只有，只有1 1个个.当个位数字是当个位数字是6 6时时，十位数字可取，十位数字可取7 7，8 8，9 9，共，共3 3个个.当个位数字是当个位数字是4 4时时，十位数字可取，十位数字可取5,6,7,8,95,6,7,8,9，共，共5 5个个.同理可知，当个位数字是同理可知，当个位数字是2 2时时，共，共7 7个，个，当个位数字是当个位数字是0 0时时，共，共9 9个个.由分由分类类加法加法计计数原理知，符合条件的数共有数原理知，符合条件的数共有1+3+5+7+9=25(1+3+5+7+9=25(个个).).编辑课件【拓展提升】【拓展提升】1.1.分分类类加法加法计计数原理的特点数原理的特点(1)(1)根据根据问题问题的特点能确定一个适合于它的分的特点能确定一个适合于它的分类标类标准准.(2)(2)完成完成这这件事的任何一种方法必件事的任何一种方法必须须属于某一属于某一类类.2.2.使用分使用分类类加法加法计计数原理遵循的原数原理遵循的原则则有有时时分分类类的划分的划分标标准有多个，但不准有多个，但不论论是以哪一个是以哪一个为标为标准，都准，都应应遵循遵循“标标准要明确，不重不漏准要明确，不重不漏”的原的原则则.编辑课件【变变式式备选备选】某同学有同某同学有同样样的画册的画册2 2本，同本，同样样的集的集邮邮册册3 3本，从中取出本，从中取出4 4本本赠赠送送给给4 4位朋友，每位朋友位朋友，每位朋友1 1本，本，则则不同的不同的赠赠送方法共有送方法共有()()(A)4(A)4种种 (B)10 (B)10种种 (C)18 (C)18种种 (D)20 (D)20种种【解析】【解析】选选B B依依题题意，就所剩余的一本意，就所剩余的一本进进行分行分类计类计数：第一数：第一类类，剩余的是一本画册，此，剩余的是一本画册，此时满时满足足题题意的意的赠赠送方法共有送方法共有4 4种；种；第二第二类类，剩余的是一本集，剩余的是一本集邮邮册，此册，此时满时满足足题题意的意的赠赠送方法共有送方法共有 6(6(种种)因此，因此，满满足足题题意的意的赠赠送方法共有送方法共有4 46 610(10(种种)编辑课件考向考向 2 2 分步乘法分步乘法计计数原理数原理【典例【典例2 2】(1)(1)从正方体的从正方体的6 6个面中个面中选选取取3 3个面，其中有个面，其中有2 2个面不个面不相相邻邻的的选选法共有法共有()()(A)8(A)8种种 (B)12 (B)12种种 (C)16 (C)16种种 (D)20 (D)20种种(2)(2)用用5 5种不同的种不同的颜颜色色给图给图中中A,B,C,DA,B,C,D四个四个区域涂色，区域涂色，规规定每个区域只涂一种定每个区域只涂一种颜颜色，色，相相邻邻区域区域颜颜色不同，求共有多少种不同色不同，求共有多少种不同的涂色方法？的涂色方法？编辑课件【思路点【思路点拨拨】(1)(1)可分两步完成此事，第一步可分两步完成此事，第一步选选两个不相两个不相邻邻的的平面，第二步平面，第二步选选与前两个平面都相交的平面与前两个平面都相交的平面.(2).(2)逐步逐步给给A,B,C,DA,B,C,D四个区域涂色即可四个区域涂色即可.【规规范解答】范解答】(1)(1)选选B.B.完成完成这这件事可先件事可先选选取取2 2个不相个不相邻邻的平面，的平面，有有2 2个面不相个面不相邻邻即有一即有一组对组对面，共有面，共有3 3组组，然后再取与，然后再取与这这两个平两个平面都相交的平面，共有面都相交的平面，共有4 4个个.由分步乘法由分步乘法计计数原理可知，数原理可知，选选法法为为343412(12(种种).).编辑课件(2)(2)分分4 4步：涂步：涂A A有有5 5种方法；种方法；涂涂B B有种方法；涂有种方法；涂C C有有3 3种方法；种方法；涂涂D D有有3 3种方法种方法(D(D与与A A可以同色可以同色).).由分步乘法由分步乘法计计数原理得，共有数原理得，共有5433=180(5433=180(种种).).编辑课件【拓展提升】【拓展提升】使用分步乘法使用分步乘法计计数原理的关注点数原理的关注点(1)(1)明确明确题题目中的目中的“完成完成这这件事件事”是什么，确定完成是什么，确定完成这这件事需件事需要几个步要几个步骤骤，且每步都是独立的，且每步都是独立的.(2)(2)将完成将完成这这件事划分成几个步件事划分成几个步骤骤来完成，各步来完成，各步骤骤之之间间有一定有一定的的连续连续性，只有当所有步性，只有当所有步骤骤都完成了，整个事件才算完成，都完成了，整个事件才算完成，这这是分步的基是分步的基础础，也是关，也是关键键.从从计计数上来看，各步的方法数的数上来看，各步的方法数的积积就是完成事件的方法就是完成事件的方法总总数数.编辑课件【提醒】【提醒】解决分步解决分步问题时问题时一定要合理一定要合理设计设计步步骤骤、顺顺序，使各步序，使各步互不干互不干扰扰、互不影响，、互不影响，还还要注意元素是否可以重复要注意元素是否可以重复选选取取.编辑课件【变变式式训练训练】已知在正五棱柱中，不同在任何已知在正五棱柱中，不同在任何侧侧面且不同在任面且不同在任何底面的两何底面的两顶顶点的点的连线连线称称为为它的它的对对角角线线，那么一个正五棱柱，那么一个正五棱柱对对角角线线的条数共有的条数共有()()(A)20 (B)15 (C)12 (D)10(A)20 (B)15 (C)12 (D)10【解析】【解析】选选D D如如图图，在正五棱柱，在正五棱柱ABCDE-AABCDE-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1E E1 1中，从中，从顶顶点点A A出出发发的的对对角角线线有两条：有两条：ACAC1 1，ADAD1 1，同理从同理从B B，C C，D D，E E点出点出发发的的对对角角线线也有两条，共也有两条，共252510(10(条条)编辑课件考向考向 3 3 两个两个计计数原理的数原理的综综合合应应用用【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013潍潍坊模坊模拟拟)如果一个三位正整数如如果一个三位正整数如“a“a1 1a a2 2a a3 3”满满足足a a1 1aaa3 3，则则称称这样这样的三位数的三位数为为凸数凸数(如如120,343,275120,343,275等等)，那么所有凸数的个数，那么所有凸数的个数为为()()(A)240 (B)204 (C)729 (D)920(A)240 (B)204 (C)729 (D)920编辑课件(2)(2)用用5 5种不同的种不同的颜颜色色给图给图中所中所给给出的四个区域涂色，每个区域出的四个区域涂色，每个区域涂一种涂一种颜颜色，若要求相色，若要求相邻邻(有公共有公共边边)的区域不同色，那么共有的区域不同色，那么共有_种不同的涂色方法种不同的涂色方法.编辑课件【思路点【思路点拨拨】(1)(1)由于中由于中间间数最大，可先按中数最大，可先按中间间数数进进行分行分类类，再按两再按两边边的数分步的数分步进进行解答行解答.(2).(2)本本题题是解决涂色是解决涂色问题问题，要明确，要明确涂色要求，涂色要求，严严格区分是格区分是“分分类类”还还是是“分步分步”【规规范解答】范解答】(1)(1)选选A.A.分分8 8类类，当中，当中间间数数为为2 2时时，有，有12122(2(个个)；当中当中间间数数为为3 3时时，有，有23236(6(个个)；当中当中间间数数为为4 4时时，有，有343412(12(个个)；当中当中间间数数为为5 5时时，有，有454520(20(个个)；编辑课件当中当中间间数数为为6 6时时，有，有565630(30(个个)；当中当中间间数数为为7 7时时，有，有676742(42(个个)；当中当中间间数数为为8 8时时，有，有787856(56(个个)；当中当中间间数数为为9 9时时，有，有898972(72(个个)故共有故共有2 26 6121220203030424256567272240(240(个个).).编辑课件(2)(2)完成完成该该件事可分步件事可分步进进行行.涂区域涂区域1 1，有，有5 5种种颜颜色可色可选选.涂区域涂区域2 2，有，有4 4种种颜颜色可色可选选.涂区域涂区域3 3，可先分，可先分类类：若区域：若区域3 3的的颜颜色与色与2 2相同，相同，则则区域区域4 4有有4 4种种颜颜色可色可选选.若区域若区域3 3的的颜颜色与色与2 2不同，不同，则则区域区域3 3有有3 3种种颜颜色可色可选选，此此时时区域区域4 4有有3 3种种颜颜色可色可选选.所以共有所以共有54(14+33)=26054(14+33)=260(种种)涂色方法涂色方法.答案答案:260260编辑课件【拓展提升】【拓展提升】1.1.两个两个计计数原理的区数原理的区别别 原理原理区区别别分分类类加法加法计计数原理数原理分步乘法分步乘法计计数原理数原理区区别别一一每每类办类办法都能独立完法都能独立完成成这这件事件事.它是独立的、它是独立的、一次的，且每次得到一次的，且每次得到的是最后的是最后结结果，只需果，只需一种方法就可完成一种方法就可完成这这件事件事每一步得到的只是中每一步得到的只是中间间结结果，任何一步都不能果，任何一步都不能独立完成独立完成这这件事，缺少件事，缺少任何一步也不可，只有任何一步也不可，只有各步各步骤骤都完成了才能完都完成了才能完成成这这件事件事 编辑课件 原理原理区区别别分分类类加法加法计计数原理数原理分步乘法分步乘法计计数原理数原理区区别别二二各各类办类办法之法之间间是互斥是互斥的、并列的、独立的的、并列的、独立的各步之各步之间间是相互依存的，是相互依存的，并且既不能重复也不能并且既不能重复也不能遗遗漏漏 编辑课件2 2应应用两个用两个计计数原理的数原理的“两个两个”注意点注意点(1)(1)注意在注意在应应用两个原理解决用两个原理解决问题时问题时，一般是先分，一般是先分类类再分步再分步在分步在分步时时可能又用到分可能又用到分类类加法加法计计数原理数原理.(2)(2)注意注意对对于于较较复复杂杂的两个原理的两个原理综综合合应应用的用的问题问题，可恰当地列，可恰当地列出示意出示意图图或列出表格，使或列出表格，使问题问题形象化、直形象化、直观观化化.编辑课件【变变式式训练训练】某小某小组组有有1010人，每人至少会英人，每人至少会英语语和法和法语语中的一中的一门门，其中，其中8 8人会人会英英语语，5 5人会法人会法语语，(1)(1)从中任从中任选选一个会外一个会外语语的人，有多少种的人，有多少种选选法？法？(2)(2)从中从中选选出会英出会英语语与会法与会法语语的各的各1 1人，有多少种不同的人，有多少种不同的选选法？法？编辑课件【解析】【解析】由于由于8 85=135=131010，所以，所以1010人中必有人中必有3 3人既会英人既会英语语又会又会法法语语，5 5人只会英人只会英语语，2 2人只会法人只会法语语(1)(1)可分可分类类完成此事：一完成此事：一类类只会英只会英语语，一，一类类既会英既会英语语也会法也会法语语，一一类类是只会法是只会法语语，共有，共有5+3+2=10(5+3+2=10(种种)(2)(2)同同样样分分3 3类类，共有，共有N=52N=52535323=31(23=31(种种)方法方法.编辑课件【创创新体新体验验】计计数原理数原理类类的新定的新定义问题义问题【典例】【典例】(2012(2012湖北高考湖北高考)回文数是指从左到右与从右到左回文数是指从左到右与从右到左读读都一都一样样的正整数的正整数,如如2222，121,3 443,94 249121,3 443,94 249等等.显显然然2 2位回文数位回文数有有9 9个：个：11,22,33,11,22,33,，99.399.3位回文数有位回文数有9090个：个：101,111,121101,111,121，191,202191,202，999.999.则则(1)4(1)4位回文数有位回文数有_个；个；(2)2n(2)2n1(nN1(nN+)位回文数有位回文数有_个个.编辑课件【思路点【思路点拨拨】找找准准创创新新点点回文数的定回文数的定义义：从左到右与从右到左：从左到右与从右到左读读都一都一样样的的正整数正整数寻寻找找突突破破口口(1)(1)根据回文数的定根据回文数的定义义得出什么数是回文数得出什么数是回文数(2)(2)如何得到如何得到4 4位回文数，可位回文数，可转转化化为为填填4 4个并列的方个并列的方格格(3)(3)由由2 2位、位、3 3位、位、4 4位回文数位回文数归纳归纳得出得出2n+12n+1位回文位回文数的求法及个数数的求法及个数 编辑课件【规规范解答】范解答】(1)4(1)4位回文数相当于填位回文数相当于填4 4个方格个方格,首尾相同首尾相同,且不且不为为0,0,共共9 9种填法种填法,中中间间两位一两位一样样,有有1010种填法种填法,共共计计910=90(910=90(种种)填法，即填法，即4 4位回文数有位回文数有9090个个.(2)(2)根据回文数的定根据回文数的定义义,此此问题问题也可以也可以转转化成填方格化成填方格.结结合合计计数数原理知有原理知有910910n n种填法种填法.答案答案:(1)90 (2)910(1)90 (2)910n n编辑课件【思考点【思考点评评】1.1.方法感悟：本方法感悟：本题题充分体充分体现现了了转转化与化化与化归归思想、思想、归纳归纳推理的方推理的方法在解法在解题题中的中的应应用，即依据回文数的定用，即依据回文数的定义义，将确定回文数的，将确定回文数的问问题题，转转化化为为填方格的填方格的问题问题，进进而利用而利用计计数原理解决数原理解决.求一般的求一般的位数的回文数的个数，可由位数的回文数的个数，可由2 2位、位、3 3位、位、4 4位回文数位回文数归纳归纳得出得出2n+12n+1位回文数的求法及个数位回文数的求法及个数.编辑课件2.2.技巧提升：技巧提升：对对于于计计数原理数原理类类新定新定义问题义问题，常，常见见的的类类型有新定型有新定义义数的个数、新定数的个数、新定义义中符合条件的中符合条件的计计数数问题问题等等.新定新定义问题义问题构思巧妙，构思巧妙，隐隐蔽性蔽性强强，除了考，除了考查查理解新定理解新定义义、接受新知接受新知识识的能力外，的能力外，还还考考查查数学中的基数学中的基础础知知识识和基本技能，和基本技能，解解题题的关的关键键是抓住新定是抓住新定义义及新概念的特征，将新信息与所学知及新概念的特征，将新信息与所学知识结识结合起来，合起来，转转化化为为已知的或所学已知的或所学过过的数学知的数学知识识解决，本解决，本题题是是转转化化为为利用利用计计数原理解决数原理解决.编辑课件1.(20131.(2013港口模港口模拟拟)体育体育场场南南侧侧有有4 4个大个大门门，北，北侧侧有有3 3个大个大门门，某学生到某学生到该该体育体育场练场练跑步，跑步，则则他他进进出出门门的方案有的方案有()()(A)12(A)12 种种 (B)7 (B)7种种 (C)24 (C)24种种 (D)49 (D)49种种【解析】【解析】选选D.D.学生学生进门进门有有7 7种种选择选择，同，同样样出出门门也有也有7 7种种选择选择，由，由分步乘法分步乘法计计数原理，数原理，该该学生的学生的进进出出门门方案有方案有777749(49(种种)，所，所以以应选应选D D编辑课件2.(20122.(2012陕陕西高考西高考)两人两人进进行行乒乓乒乓球比球比赛赛，先，先赢赢三局者三局者获胜获胜，决出决出胜负为胜负为止，止，则则所有可能出所有可能出现现的情形的情形(各人各人输赢输赢局次的不同局次的不同视为视为不同情形不同情形)共有共有()()(A)10(A)10种种 (B)15 (B)15种种 (C)20 (C)20种种 (D)30 (D)30种种编辑课件【解析】【解析】选选C.C.由由题题意知，比意知，比赛场赛场数最少数最少为为3 3场场，至多，至多为为5 5场场.当当比比赛场赛场数数为为3 3场时场时，情形，情形为为甲或乙甲或乙连赢连赢3 3场场，共，共2 2种；当比种；当比赛场赛场数数为为4 4场时场时，若甲，若甲赢赢，则则前前3 3场场中甲中甲赢赢2 2场场，最后一，最后一场场甲甲赢赢，共，共有有 =3(=3(种种)情形；同理，若乙情形；同理，若乙赢赢，则则也有也有3 3种情形，所以共有种情形，所以共有6 6种情形；当比种情形；当比赛场赛场数数为为5 5场时场时，前，前4 4场场，甲乙双方各，甲乙双方各赢赢2 2场场，最，最后一后一场胜场胜出的人出的人赢赢，所以共有，所以共有 =12(=12(种种)，综综上可知，共有上可知，共有2+6+12=20(2+6+12=20(种种).).故故选选C.C.编辑课件3.(20123.(2012安徽高考安徽高考)6)6位同学在位同学在毕业毕业聚会活聚会活动动中中进进行行纪纪念品的念品的交交换换，任意两位同学之，任意两位同学之间间最多交最多交换换一次，一次，进进行交行交换换的两位同学的两位同学互互赠赠一份一份纪纪念品念品.已知已知6 6位同学之位同学之间间共共进进行了行了1313次交次交换换，则则收到收到4 4份份纪纪念品的同学人数念品的同学人数为为()()(A)1(A)1或或3 (B)13 (B)1或或4 (C)24 (C)2或或3 (D)23 (D)2或或4 4编辑课件【解析】【解析】选选D.D.设设6 6位同学分位同学分别别用用a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f表示表示.若任意两位若任意两位同学之同学之间间都都进进行交行交换换，共，共进进行行 =15(=15(次次)交交换换，现现共共进进行了行了1313次交次交换换，说说明有明有2 2次交次交换换没有没有发发生，此生，此时时可能有两种情况：可能有两种情况：(1)(1)由由3 3人构成的人构成的2 2次交次交换换，如，如abab和和acac之之间间的交的交换换没有没有发发生，生，则则收到收到4 4份份纪纪念品的有念品的有b,cb,c两人两人.(2)(2)由由4 4人构成的人构成的2 2次交次交换换，如，如abab和和cece之之间间的交的交换换没有没有发发生，生，则则收到收到4 4份份纪纪念品的有念品的有a,b,c,ea,b,c,e四人，故四人，故选选D.D.编辑课件4 4(2013(2013梅州模梅州模拟拟)用数字用数字2 2，3 3组组成四位数，且数字成四位数，且数字2 2，3 3至至少都出少都出现现一次，一次，这样这样的四位数共有的四位数共有_个个(用数字作答用数字作答).).【解析】【解析】方法一：数字方法一：数字2 2，3 3至少都出至少都出现现一次，可以分一次，可以分为为3 3类类，第一第一类类：一个：一个2 2三个三个3 3，有，有4 4个；第二个；第二类类：两个：两个2 2两个两个3 3，有，有6 6个；个；第三第三类类：三个：三个2 2一个一个3 3，有，有4 4个，共有个，共有1414个个.方法二：可以考方法二：可以考虑虑四个位置任排，然后减去四个位置任排，然后减去2 2222 222和和3 3333 333这这两两种情况，个数种情况，个数为为2 24 4-2=14.-2=14.答案答案:1414编辑课件1.1.用用n n种不同的种不同的颜颜色色为为下列两下列两块块广告牌涂色广告牌涂色(如如图图甲、乙甲、乙)，要，要求求四个区域中相四个区域中相邻邻(有公共的有公共的边边界界)区域不用同一区域不用同一颜颜色色(1)(1)若若n=6n=6，则为则为甲甲图图涂色的不同方法共有涂色的不同方法共有_种种.(2)(2)若若为为乙乙图图涂色涂色时时共有共有120120种不同的方法，种不同的方法，则则n=_n=_编辑课件【解析】【解析】(1)(1)在甲在甲图图中中对对区域区域按按顺顺序涂色，由分步乘序涂色，由分步乘法法计计数原理得：共有数原理得：共有6544=480(6544=480(种种).).(2)(2)由分步乘法由分步乘法计计数原理，得数原理，得n(n-1)(n-2)(n-3)=120n(n-1)(n-2)(n-3)=120，即即(n(n2 2-3n)-3n)2 2+2(n+2(n2 2-3n)-1210=0-3n)-1210=0，所以所以n n2 2-3n-10=0-3n-10=0，解得：解得：n=5n=5或或n=-2(n=-2(舍去舍去).).答案答案:(1)480 (2)5(1)480 (2)5编辑课件2 2若一个若一个m,nm,n均均为为非非负负整数的有序数整数的有序数对对(m,n)(m,n)，在做，在做m+nm+n的加法的加法时时各位均不会各位均不会进进位，位，则则称称(m,n)(m,n)为为“简单简单的的”有序数有序数对对，m+nm+n称称为为有序数有序数对对(m,n)(m,n)的的值值，那么，那么值为值为1 9421 942的的“简单简单的的”有序数有序数对对的个数是的个数是_._.编辑课件【解析】【解析】可分可分类进类进行：行：个位个位2 2有有3 3种种0+20+2，1+11+1，2+02+0；十位十位4 4有有5 5种种0+40+4，1+31+3，2+22+2，3+13+1，4+04+0；百位百位9 9有有1010种种0+90+9，1+81+8，2+72+7，3+63+6，4+54+5，5+45+4，6+36+3，7+27+2，8+18+1，9+09+0；千位千位1 1有有2 2种种0+10+1，1+01+0，所以所以值为值为1 9421 942的的“简单简单的的”有序数有序数对对的个数是的个数是35102=300(35102=300(种种).).答案答案:300300编辑课件3.3.将一个三位数的三个数字将一个三位数的三个数字顺顺序序颠颠倒，将所得到的数与原数相倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，加，若和中没有一个数字是偶数，则则称称这这个数个数为为“奇和数奇和数”.”.那么，所有的三位数中，奇和数有个那么，所有的三位数中，奇和数有个_._.编辑课件【解析】【解析】设设此数此数为为 abc abc，则则 a+c a+c 之和必之和必为为大于大于1010的奇数，且的奇数，且 b+b b+b 不能大于不能大于1010，b b可以取可以取0 0，1 1，2 2，3 3，4.4.此和一定是一个四此和一定是一个四位数位数.a a取取2 2时时，c c取取9 9，a a取取3 3时时，c c取取8 8，a a取取4 4时时，c c取取7 7，9 9，a a取取5 5时时，c c取取6 6，8 8，编辑课件a a取取6 6时时，c c取取5 5，7 7，9 9，a a取取7 7时时，c c取取4 4，6 6，8 8，a a取取8 8时时，c c取取3 3，5 5，7 7，9 9，a a取取9 9时时，c c取取2 2，4 4，6 6，8 8，上面上面acac的的组组合就有合就有2020种种.另另b b有有5 5种取法，种取法，奇和数有奇和数有205=100(205=100(个个).).答案答案:100100编辑课件
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