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光学信息技术原理及应用常用函数常用函数 卷积与相关卷积与相关(二二)光学信息技术原理及应用常用函数 卷积与相关(二)复复习脉冲函数脉冲函数(函数函数)(定定义,性性质,物理含物理含义)光学中几种常光学中几种常见的函数的函数矩形函数矩形函数,阶跃函数函数,三角函数等三角函数等学学习内容内容:复习脉冲函数(函数)学习内容:函数的概念和定函数的概念和定义函数的概念和定义空空间函数的函数的图示示xyz(x,y)0 x0(x)(x+a)(x-a)a-a空间函数的图示xyz(x,y)0 x0(x)(x+a)函数的基本性函数的基本性质和物理意和物理意义函数的基本性质和物理意义其它常用函数和傅立叶其它常用函数和傅立叶变换矩形函数矩形函数x rect(x)01/2-1/21其它常用函数和傅立叶变换矩形函数x rect(x)01/2-Sinc 函数函数xSinc(x/a)0-aa2a-2a3a-3a主瓣宽度主瓣宽度:2a 描述单缝和矩孔的描述单缝和矩孔的夫琅和费衍射振幅分布夫琅和费衍射振幅分布,其平方表示衍射光强其平方表示衍射光强Sinc 函数xSinc(x/a)0-aa2a-2a3a-3梳状函数梳状函数 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5xComb(x)Comb(x)=(x-n)(n=-)梳状函数 -5 -4 -3 -2 （1）常数）常数c（2）函数）函数（3）余弦函数）余弦函数（4）正弦函数）正弦函数常用函数及其常用函数及其傅里叶傅里叶变换（1 1）（1）常数c常用函数及其傅里叶变换（1）（5）阶跃函数函数 用用于表示开关于表示开关（6）符号函数）符号函数 用于改用于改变极性极性 （正（正负号）号）常用函数及其常用函数及其傅里叶傅里叶变换（2 2）（5）阶跃函数 （7）矩形函数）矩形函数 表示狭表示狭缝（8）三角形函数）三角形函数 表示矩形光表示矩形光 瞳瞳OTF常用函数及其常用函数及其傅里叶傅里叶变换（3 3）（7）矩形函数 （9）梳状函数）梳状函数 用来表示光用来表示光栅，抽抽样（10）高斯函数）高斯函数 用于表示激光光束光用于表示激光光束光强分布分布常用函数及其常用函数及其傅里叶傅里叶变换（4 4）（9）梳状函数 卷卷积的定的定义对于两个复于两个复值函数函数 和和 ，其卷其卷积定定义为式中式中*表示卷表示卷积运算。运算。卷积的定义对于两个复值函数 和 原函数原函数折叠折叠位移位移相乘相乘得到被积函数得到被积函数卷卷积过程程图示（示（1）原函数卷积过程图示（1）卷卷积过程程图示（示（2）卷积过程图示（2）展展宽平滑化：被平滑化：被积函数函数经过卷卷积运算，其微运算，其微细结构在一定程度上被构在一定程度上被消除，函数本身的起消除，函数本身的起伏伏变得平得平缓圆滑。滑。卷卷积过程的两个效程的两个效应展宽卷积过程的两个效应1、交、交换律律2、分配律、分配律3、结合律合律这几个定律不几个定律不难证明。明。卷卷积运算定理运算定理1、交换律卷积运算定理 任意函数和任意函数和脉冲函数的卷脉冲函数的卷积：原点原点处的篩的篩选性性质有有任意函数和位于任意函数和位于 处的的脉冲函数的卷脉冲函数的卷积得到得到这个性个性质有助于有助于对于重复的物理于重复的物理结构的描述，如光构的描述，如光栅、双双缝等等包含包含函数的卷函数的卷积-函数的移位函数的移位 包含函数的卷积-函数的移位理想的物象关系是点点理想的物象关系是点点对应，物象共，物象共轭。实际成象成象时产生一个弥散斑。由物点和附近的无数个生一个弥散斑。由物点和附近的无数个点共同点共同产生生如果每个点的如果每个点的贡献只与献只与该点与物点的距离有关，与具点与物点的距离有关，与具体象（高斯物点所成的）的位置无关体象（高斯物点所成的）的位置无关像点的像点的总光能表示光能表示为卷卷积的物理意的物理意义-透透镜的非相干成象的非相干成象理想的物象关系是点点对应，物象共轭。卷积的物理意义-透两个函数的互相关定两个函数的互相关定义为：与卷与卷积的差的差别在于相关运算中后一个函数取复共在于相关运算中后一个函数取复共轭，且不需要折叠，且不需要折叠，不不满足交足交换律。互相关运算是两个函数律。互相关运算是两个函数间相似性的度量。相似性的度量。函数本身的自相关定函数本身的自相关定义为自相关有一个重要性自相关有一个重要性质：它的模在原点：它的模在原点处最大，即最大，即这个性个性质常常用来作常常用来作为图象（信号）象（信号）识别的判据的判据相关运算相关运算两个函数的互相关定义为：相关运算互相关在两函数有相似性互相关在两函数有相似性时出出现峰峰值，自相关，自相关则会在位移会在位移到重叠到重叠时出出现极大极大值互相关与自相关比互相关与自相关比较互相关在两函数有相似性时出现峰值，自相关则会在位移到重叠时出
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