函数单调性和凹凸性课件

2024/6/16经济数学第四章 1经济数学2023/8/9经济数学第四章 4.3 函数的函数的单调性和性和曲曲线的凹凸性的凹凸性2024/6/16经济数学第四章 24.3 函数的单调性和曲线的凹凸性2023/8/9经济4.3.1 4.3.1 函数的单调性函数的单调性（monotonicity of function）现实生活中，常遇到生活中，常遇到这样的情形：一个量不断增加的情形：一个量不断增加时，另一个量也随着不断增加；或者一个量不断增加另一个量也随着不断增加；或者一个量不断增加时，另一个量，另一个量反而随着不断减少。其反而随着不断减少。其实这就是就是单调性的概念。另外，如果用性的概念。另外，如果用描点法作出函数的描点法作出函数的图象，我象，我们会会发现当我当我们的的视线从左往右看从左往右看时，函数，函数图象的一些部分是象的一些部分是“上升上升”的，一些部分是的，一些部分是“下降下降”的，的，好像山好像山峦的起伏一的起伏一样，为了区了区别：“上升上升”和和“下降下降”，我，我们引入引入了函数了函数“单调性性”的概念。的概念。通通过研究某些特定函数（事研究某些特定函数（事实上是那些基本初等函数）上是那些基本初等函数）的的单调性，我性，我们可以知道任何函数（可以知道任何函数（实际上是一切初等函上是一切初等函数）的数）的单调性，从而能画出它性，从而能画出它们的的图形和研究它形和研究它们的性的性质。下面我下面我们利用利用导数来研究函数的数来研究函数的单调性。性。2024/6/16经济数学第四章 34.3.1 函数的单调性（monotonicity of f几何直观几何直观如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看出，当 时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；当 时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。2024/6/16经济数学第四章 4几何直观如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看出，当 定理（单调性的充分条件）定理（单调性的充分条件）定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.2024/6/16经济数学第四章 5定理（单调性的充分条件）定义:若函数在其定义域的某个区间内是例如：函数 及 在 内单调减少，在 内单调增加。如下图所示。2024/6/16经济数学第四章 6例如：函数 及 在 内单调减少，在 问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调的，但在各个部分区间上单调定义定义:导数等于零的点和不可导点，可能是单调区导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点间的分界点2024/6/16经济数学第四章 7 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部求单调区间的步骤求单调区间的步骤:2024/6/16经济数学第四章 8求单调区间的步骤:2023/8/9经济数学第四章 解解:令令得得故故的的单调增单调增区间为区间为的的单调减单调减区间为区间为例例1 1、确定函数确定函数 的单调区间的单调区间.列表讨论：列表讨论：2024/6/16经济数学第四章 9解:令得故的单调增区间为的单调减区间为例1、确定函数 2024/6/16经济数学第四章 102023/8/9经济数学第四章 10例例2 2解解单调区间为单调区间为2024/6/16经济数学第四章 11例2解单调区间为2023/8/9经济数学第四章 4.3.2 4.3.2 曲线的凹凸性曲线的凹凸性观察抛物察抛物线与与，它，它们在区在区间内都内都是是单调增加的，但弯曲的方增加的，但弯曲的方 这说明在研究函数的明在研究函数的图形形时，只知道它，只知道它们的的单调性是不性是不够的，曲的，曲线的弯曲方向和弯曲的弯曲方向和弯曲方向的方向的转变点点对我我们研究函数研究函数的性的性态也是十分重要的也是十分重要的.这就就是下面是下面讨论的凹凸性与拐点。的凹凸性与拐点。向不一向不一样。2024/6/16经济数学第四章 124.3.2 曲线的凹凸性观察抛物线 与，它们在区间函数函数图象的凹凸分析：象的凹凸分析：图象的上升与下降可用一阶导数的符号来判定。同是上升(或下降)曲线还有凹凸之分.凹弧的切线总是凹弧的切线总是在曲线的下方在曲线的下方 凸弧的切线总凸弧的切线总是在曲线的上方是在曲线的上方从从P P点改变点改变弯曲方向弯曲方向2024/6/16经济数学第四章 13函数图象的凹凸分析：图象的上升与下降可用一阶导数的符问题:如何研究曲如何研究曲线的弯曲方向的弯曲方向?1、曲、曲线凹凸性的定凹凸性的定义定定义 2024/6/16经济数学第四章 14问题:如何研究曲线的弯曲方向?1、曲线凹凸性的定义定义 2几何直观几何直观如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看出，当 时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；当 时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。2024/6/16经济数学第四章 15几何直观如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看出，当 2、曲、曲线凹凸的判定凹凸的判定定理定理1 如果如果 在在a,b上上连续，在（，在（a,b）内具有一）内具有一阶和二和二（1），则 在在a,b上的上的图形是凹的；形是凹的；（2），则 在在a,b上的上的图形是凸的；形是凸的；阶导数，若在（数，若在（a,b）内）内2024/6/16经济数学第四章 162、曲线凹凸的判定定理1 如果 在a,b注意：点（注意：点（0,00,0）是曲线）是曲线由凸变凹的分界点。由凸变凹的分界点。解解例例3、判断曲判断曲线 的凹的凹凸性。凸性。曲曲线在在 为凹凹的。的。当当 时，当当 时，曲曲线在在 为凸凸的；的；2024/6/16经济数学第四章 17注意：点（0,0）是曲线解例3、判断曲线 、定、定义：连续曲曲线上凹凸的分界点称上凹凸的分界点称为曲曲线的的拐点拐点。注意注意:拐点拐点处的切的切线必在拐点必在拐点处穿穿过曲曲线.、拐点的求法、拐点的求法3、曲、曲线的拐点及其求法的拐点及其求法定理定理2 如果如果 在在 内存内存在二在二阶导数，数，则点点 是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是 方法方法:设函数函数在在的的邻域内二域内二阶可可导，且，且（1）两近旁两近旁 变号，点号，点 即即为拐点；拐点；（2）两近旁两近旁 不不变号，点号，点 不是拐点；不是拐点；2024/6/16经济数学第四章 18、定义：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。注意:拐点处例例4 求曲求曲线的拐点及凹凸区的拐点及凹凸区间。解解:令令得：得：凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点凹区凹区间为xy1-112列表列表讨论如下：如下：，凸区凸区间为2024/6/16经济数学第四章 19例4 求曲线 的拐点及凹凸区解：解：例例5、求曲求曲线 的拐点。的拐点。当当 时是不可是不可导点，点，均不存在，均不存在，但在但在 内，内，,曲曲线在在 上是凹的；上是凹的；在在 内，内，,曲曲线在在 上是凸的；上是凸的；点点 是曲是曲线 的拐点。的拐点。xy1-112-1-22024/6/16经济数学第四章 20解：例5、求曲线 的拐点。当 下课啦2024/6/16经济数学第四章 21下课啦2023/8/9经济数学第四章 2案例案例 国防国防预算算布什号（尼米兹级第十艘）造价62亿美元 B-2幽灵战略轰炸机单价：24亿美元 1985年美国的一家年美国的一家报刊刊报道了道了国防部国防部长抱怨国会和参抱怨国会和参议院削减了院削减了国防国防预算但是他的算但是他的对手却反手却反驳道，国会只是削减了国防道，国会只是削减了国防预算增算增长的的变化率化率换句句话说，若用，若用f(x)表表示示预算关于算关于时间的函数，那么的函数，那么预算算的的导数数f(x)0,预算仍然在增加，算仍然在增加，只是只是f(x)0即即预算的增算的增长变缓了了注：今年美国国防预算总额达7250亿美元,中国防费预算为6011亿元。2024/6/16经济数学第四章 22案例 国防预算布什号（尼米兹级第十艘）B-2幽灵战略轰