测量误差的基本知识解读课件

第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.1 测量误差概述测量误差概述5.2 衡量精度的标准衡量精度的标准5.3 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用5.4 等精度观测值的算术平均值及精度评定等精度观测值的算术平均值及精度评定第五章第五章 测测量量误误差的基本知差的基本知识识5.1 测测量量误误差概述差概述16 六月 202425.1 测量量误差概述差概述5.1.1 测量量误差的概念与来源差的概念与来源误误误误差差差差：对对于于某某一一个个客客观观存存在在的的量量，观观测测值值与与观观测测值值之之间间，或或观观测测值值与与理理论论值值（真真值值）之之间间总总是是存存在在差差异异，这这种种不不可可避免的差异叫做误差。避免的差异叫做误差。测量量误差差X 真真值L 观测值=L-X09 八月八月 202325.1 测测量量误误差概述差概述5.1.1 测测量量误误观测误差差产生的三个原因生的三个原因仪仪器器误误差差：仪器设计、制作，或经检验校正还存在残余误差观测者观测者：人的感觉器官鉴别能力的限制外外界界条条件件的的影影响响：测量时外界自然条件如温度、湿度、风力等的变化。以上三方面以上三方面统称称为观测条件条件观测成果的精确度称成果的精确度称为“精度精度”等精度等精度观测不等精度不等精度观测16 六月 20243观测误观测误差差产产生的三个原因生的三个原因仪仪器器误误差：差：仪仪器器设计设计、制作，或、制作，或经检验经检验校正校正16 六月 202445.1.2 测量量误差的分差的分类系统误差系统误差：在相同的在相同的观测条件下，条件下，对某量某量进行一系列的行一系列的观测，如果，如果误差差出出现的符号和大小均相同或按一定的的符号和大小均相同或按一定的规律律变化化，这种种误差差称称为系系统误差。差。系系统误差差具有累具有累积性性。可以在。可以在观测前采取有效的前采取有效的预防措施、防措施、观测时采用合理的方法，采用合理的方法，观测后后对观测结果果进行必要的行必要的计算改正，来尽量消除或减小系算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。差的影响。09 八月八月 202345.1.2 测测量量误误差的分差的分类类16 六月 20245系统误差的消除系统误差的消除：（1）采用）采用观测方法消除观测方法消除：如水准仪置于距前后水准尺等距的地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。（2）加改正数加改正数：如精密钢尺量距中的尺长改正、温度改正和高差改正。光电测距仪的加常数和乘常数的改正。（3）检校仪器检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许的范围内。09 八月八月 20235系系统误统误差的消除：差的消除：16 六月 20246偶然误差：偶然误差：在相同的在相同的观测条件下，条件下，对某量某量进行一系列的行一系列的观测，如果，如果单个个误差差出出现的符号和数的符号和数值大小均没有一定大小均没有一定规律性律性，这种种误差称差称为偶然偶然误差。差。虽然单个的偶然误差没有规律虽然单个的偶然误差没有规律但大量的偶然误差具有统计规律。但大量的偶然误差具有统计规律。学学习误差理差理论知知识的目的：的目的：根据一根据一组带有偶然有偶然误差的差的观测值 求出未知量的最可靠求出未知量的最可靠值 评定定观测成果的精度成果的精度09 八月八月 20236偶然偶然误误差：差：虽虽然然单单个的偶然个的偶然误误差没有差没有规规律学律学任何任何观测值都会包含系都会包含系统误差和偶然差和偶然误差，有差，有时还包含粗差（包含粗差（错误）。）。当当观测值中的粗差被剔除，系中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱差被消除或削弱到最小限度，可以到最小限度，可以认为观测值中中仅含偶然含偶然误差，从差，从而把而把观测值和偶然和偶然误差都当作随机差都当作随机变量，用概率量，用概率统计的方法来研究。的方法来研究。16 六月 20247粗差：粗差：也称错误，在严格意义上，粗差也称错误，在严格意义上，粗差并不属于误差并不属于误差并不属于误差并不属于误差的范围。的范围。即，本章关注的内容是偶然误差即，本章关注的内容是偶然误差任何任何观测值观测值都会包含系都会包含系统误统误差和偶然差和偶然误误差，有差，有时还时还包含粗差（包含粗差（错误错误）16 六月 202485.1.3 测量量误差的特性差的特性 从从单个偶然个偶然误差来看，其出差来看，其出现的符号和大小没有一定的的符号和大小没有一定的规律性，但律性，但对大量的偶然大量的偶然误差差进行大量行大量统计分析，就能分析，就能发现规律性，并且律性，并且误差个数越多，差个数越多，规律性越明律性越明显。例如某一例如某一测区在相同区在相同观测条件下条件下观测了了358个三角形的全个三角形的全部内角。由于部内角。由于观测值含有偶然含有偶然误差，故平面三角形内角之差，故平面三角形内角之和不一定等于真和不一定等于真值180(表表5-1)09 八月八月 202385.1.3 测测量量误误差的特性差的特性测测量量误误差的基本知差的基本知识识解解读课读课件件用用图示法示法可以直可以直观地表示偶然地表示偶然误差的分布情况。用表差的分布情况。用表5-1的数据，的数据，以以误差大小差大小为横坐横坐标，以，以频率率k/n与区与区间d的比的比值为纵坐坐标，如，如图5-1所示。所示。这种种图称称为频率直方率直方图。用用图图示法可以直示法可以直观观地表示偶然地表示偶然误误差的分布情况。用表差的分布情况。用表5-1的数据，的数据，可以可以设想，当想，当误差个数差个数n，同，同时又无限又无限缩小小误差区差区间d，图5-1中各矩形的中各矩形的顶边折折线就成就成为一条光滑的曲一条光滑的曲线，如，如图5-2所示。所示。该曲曲线称称为误差分布曲差分布曲线。其函数式其函数式为：即正即正态分布曲分布曲线上任一点上任一点的的纵坐坐标y均均为横坐横坐标的函的函数。数。标准差准差大小反映大小反映观测精精度的高低，定度的高低，定义为：上式可知，上式可知，的大小决定于的大小决定于一定条件下偶然一定条件下偶然误差出差出现的的绝对值的大小。的大小。可以可以设设想，当想，当误误差个数差个数n，同，同时时又无限又无限缩缩小小误误差区差区间间d，图图5偶然偶然误差的差的统计特性特性有限性：有限性：在在一一定定的的观测条条件件下下，偶偶然然误差差的的绝对值超超过一一定定限限度度的的概概率率为0 0；单峰性：单峰性：绝对值小的小的误差比差比绝对值大的大的误差出差出现的概率大；的概率大；对称性：对称性：绝对值相等的正相等的正误差与差与负误差出差出现的概率相等；的概率相等；抵偿性：抵偿性：当当观测次数无限增多次数无限增多时，偶然，偶然误差的算差的算术平均平均值趋趋近于零。近于零。近于零。近于零。偶然偶然误误差的差的统计统计特性有限性：特性有限性：16 六月 2024135.2 评定精度的定精度的标准准 所所所所谓谓精精精精度度度度，是是是是指指指指误误差差差差分分分分布布布布的的的的集集集集中中中中与与与与离离离离散散散散程程程程度度度度。如如如如误误差差差差分分分分布布布布集集集集中中中中（曲曲曲曲线线a a），则则观观测测精精精精度度度度高高高高；若若若若误误差差差差分分分分布布布布离离离离散散散散（曲曲曲曲线线b b），则则观测观测精度就低。精度就低。精度就低。精度就低。09 八月八月 2023135.2 评评定精度的定精度的标标准准 5.2.1 中中误差差16 六月 202414中中中中误误误误差差差差的的的的定定定定义义义义：在在在在相相相相同同同同观观观观测测测测条条条条件件件件下下下下，对对对对同同同同一一一一未未未未知知知知量量量量进进进进行行行行n n次次次次观观观观测测测测，所所所所得得得得各各各各个个个个真真真真误误误误差差差差平平平平方方方方的的的的平平平平均均均均值值值值，再再再再取取取取平平平平方方方方根根根根，称为中误差。用称为中误差。用称为中误差。用称为中误差。用mm表示。表示。表示。表示。设设设设在在在在相相相相同同同同的的的的观观观观测测测测条条条条件件件件下下下下，对对对对未未未未知知知知量量量量进进进进行行行行重重重重复复复复独独独独立立立立观观观观测测测测，观测值为：观测值为：观测值为：观测值为：l l1 1，l l2 2，l ln n，其真误差为：，其真误差为：，其真误差为：，其真误差为：1 1 1 1，2 2 2 2，n n则中误差为：则中误差为：则中误差为：则中误差为：5.2.1 中中误误差差09 八月八月 202314中中误误差的定差的定义义：在相：在相16 六月 202415用真用真误差差计算中算中误差：差：必必须知道真知道真值09 八月八月 202315用真用真误误差差计计算中算中误误差：必差：必须须知道真知道真值值两两组观测值中中误差：差：16 六月 202416第一组观测值精度高于第二组第一组观测值精度高于第二组第一组观测值精度高于第二组第一组观测值精度高于第二组中误差能突出反映大误差的影响中误差能突出反映大误差的影响中误差能突出反映大误差的影响中误差能突出反映大误差的影响两两组观测值组观测值中中误误差：差：09 八月八月 202316第一第一组观测值组观测值精度高精度高中中误差和真差和真误差都是差都是绝对误差，差，误差的大小与观误差的大小与观误差的大小与观误差的大小与观测量的大小无关。测量的大小无关。测量的大小无关。测量的大小无关。在有些情况下，中在有些情况下，中误差并不能全面反映差并不能全面反映观测精精度。度。分分别丈量两段不同距离，一段丈量两段不同距离，一段为100m，一段，一段为200m，中，中误差都是差都是 0.02m。此。此时是否能是否能认为两段距离两段距离观测结果的精度相同？果的精度相同？必必须引入引入相对误差相对误差相对误差相对误差的概念，目的是的概念，目的是为了更客了更客观地反映地反映实际测量精度。量精度。16 六月 202417中中误误差和真差和真误误差都是差都是绝对误绝对误差，差，误误差的大小与差的大小与观测观测量的大小无关。量的大小无关。5.2.2 相相对误差差16 六月 202418相相相相对对对对误误误误差差差差(K K K K)的的的的定定定定义义义义：中中误误差差的的绝绝对对值值与与观观测测值值之之比比，用用分分子子为为1的的分分数数形形式式表表示示。分分母母越越大大，相相对对误误差差越越小小，精度越高。精度越高。5.2.2 相相对误对误差差09 八月八月 202318相相对误对误差差(K)的的5.2.3 允允许误差差16 六月 202419根据偶然根据偶然误差的第一个特性，在一定差的第一个特性，在一定观测条件下，偶然条件下，偶然误差的差的绝对值不会超不会超过一定的限一定的限值，该限限值称称为极限极限误差，差，简称限差。也称限差。也说是是测量的量的 允允许误差。由差。由误差理差理论及分布曲及分布曲线可知，在一可知，在一组等精度等精度观测中，中，表示真表示真误差落在差落在(-，+)内的概率等于内的概率等于0.683。同理可得：。同理可得：(5-11)(5-12)(5-13)5.2.3 允允许误许误差差09 八月八月 202319根据偶然根据偶然误误差的第差的第5.2.3 允允许误差差16 六月 202420 上列三式上列三式结果的概率含果的概率含义是，是，大于两倍中大于两倍中误差差的偶然的偶然误差个数差个数约占占总数的数的5%，大于三倍中，大于三倍中误差的偶然差的偶然误差个数差个数约占占总数的数的0.3%。测量上通常取二倍或三倍中量上通常取二倍或三倍中误差作差作为允允许误差：差：允允=22m(5-7)或或 允允=33m(5-8)前者要求前者要求较严，后者要求，后者要求较宽。如果。如果观测值中出中出现了了大于容大于容许误差的偶然差的偶然误差，差，则认为该观测值不可靠，不可靠，应舍去舍去不用，并重不用，并重测。5.2.3 允允许误许误差差09 八月八月 202320 16 六月 2024215.3 误差差传播定律及其播定律及其应用用直接直接直接直接观测观测的量，的量，的量，的量，经过经过多次多次多次多次观测观测后，可通后，可通后，可通后，可通过过真真真真误误差差差差计计算出算出算出算出观测值观测值中中中中误误差，作差，作差，作差，作为为衡量衡量衡量衡量观测值观测值精度的精度的精度的精度的标标准。准。准。准。实际实际中，某些未知量不可能或不便中，某些未知量不可能或不便中，某些未知量不可能或不便中，某些未知量不可能或不便进进行直接行直接行直接行直接观测观测，需要，需要，需要，需要由一些直接由一些直接由一些直接由一些直接观测观测量根据一定的函数关系量根据一定的函数关系量根据一定的函数关系量根据一定的函数关系计计算出来，算出来，算出来，算出来，未知未知未知未知量是量是量是量是观测值观测值的函数的函数的函数的函数。例如，欲例如，欲测量不在同一水平面上两量不在同一水平面上两点点间的距离的距离D，可以用光，可以用光电测距距仪测量斜距量斜距S，并用，并用经纬仪测量量竖直角直角，以函数关系，以函数关系D=Scos来推算。来推算。阐阐述述述述观测值观测值中中中中误误差与函数中差与函数中差与函数中差与函数中误误差之差之差之差之间间数学关系的定律称数学关系的定律称数学关系的定律称数学关系的定律称为为误误差差差差传传播定律播定律播定律播定律。5.3.1 观测值的函数观测值的函数09 八月八月 2023215.3 误误差差传传播定律及其播定律及其应应用直接用直接观测观测5.3.2 误差差传播定律播定律16 六月 2024221 1 1 1）和差函数的中误差）和差函数的中误差）和差函数的中误差）和差函数的中误差设设设设有有有有函函函函数数数数Z Z=x x y y，x x、y y是是是是两两两两个个个个相相相相互互互互独独独独立立立立的的的的观观观观测测测测值值值值，均均均均作作作作n n次观测，中误差分别为次观测，中误差分别为次观测，中误差分别为次观测，中误差分别为mmx x和和和和 mmy y，真误差关系式为，真误差关系式为，真误差关系式为，真误差关系式为两边两边两边两边平方、求和、除以平方、求和、除以n得：得：5.3.2 误误差差传传播定律播定律09 八月八月 2023221）和差函数）和差函数 由于由于x、y是是相互独立的相互独立的，偶偶偶偶然然然然误误差差差差 x x、y y出出出出现现正正正正负负符符符符号号号号的的的的机机机机会会会会相相相相等等等等，且且且且正正正正负负符符符符号互不相关号互不相关号互不相关号互不相关16 六月 202423 由于由于x、y是相互独立的，是相互独立的，09 八月八月 202323推广到推广到n个独立个独立观测值代数和差：代数和差：当当n个独立个独立观测值是等精度是等精度观测时：16 六月 202424推广到推广到n个独立个独立观测值观测值代数和差：代数和差：09 八月八月 20232416 六月 2024252 2 2 2）倍数函数的中误差）倍数函数的中误差）倍数函数的中误差）倍数函数的中误差设设有有函函数数Z=Kx，x为为直直接接观观测测值值，中中误误差差为为mx，K为为常常数数，Z为为观观测测值值x的的函函数数。如如果果对对x作作n次次等等精精度度观观测测，真真误误差差分分别别为为 x1、x2、.xn，对对应应的的函函数数真真误误差差为为 Z1、Z2、.Zn，观测值与函数间的真误差存在如下关系，观测值与函数间的真误差存在如下关系09 八月八月 2023252）倍数函数的中）倍数函数的中误误差差将上述关系式平方、求和、除以将上述关系式平方、求和、除以n得：得：16 六月 202426将上述关系式平方、求和、除以将上述关系式平方、求和、除以n得：得：09 八月八月 20232616 六月 2024273 3 3 3）线性函数的中误差）线性函数的中误差）线性函数的中误差）线性函数的中误差设有函数设有函数根据倍数函数与和差函数的中误差公式：根据倍数函数与和差函数的中误差公式：根据倍数函数与和差函数的中误差公式：根据倍数函数与和差函数的中误差公式：09 八月八月 2023273）线线性函数的中性函数的中误误差根据倍数函数与和差根据倍数函数与和16 六月 2024284 4 4 4）一般函数的中误差）一般函数的中误差）一般函数的中误差）一般函数的中误差设设有有非非线线性性函函数数Z=f(x1,x2xn)，式式中中x1,x2 xn为为独独立立观观测值，相应的中误差为测值，相应的中误差为m1、m2.mn。由于非由于非线性函数的真性函数的真误差关系式差关系式难于表达，考于表达，考虑到真到真误差是个小量，真差是个小量，真误差关系式可用全微分近似表达：差关系式可用全微分近似表达：09 八月八月 2023284）一般函数的中）一般函数的中误误差由于非差由于非线线性函数的性函数的16 六月 202429其其中中误误差差分分别别为为m1、m2、mn，则则函函数数z的的中中误误差差按按上述推导，可得误差传播定律的一般形式：上述推导，可得误差传播定律的一般形式：一般方法如下一般方法如下 1 列出函数式（要根据列出函数式（要根据题意）意）2 对可直接可直接观测的未知量求偏微分，即写出真的未知量求偏微分，即写出真误差的关系差的关系式式3 写出中写出中误差的关系式差的关系式09 八月八月 202329其中其中误误差分差分别为别为m1、m2、mn，16 六月 202430举例举例举例举例设有函数关系设有函数关系h=Dtg 已知已知D=120.250.05m =124730(0.05及及30为中误差为中误差)求中误差求中误差mh 列出函数式列出函数式 h=Dtg 写出微分式写出微分式 写出中误差形式写出中误差形式 09 八月八月 202330举举例例5.4 等精度等精度观测值的平差的平差算算术平均平均值算算术平均平均值的中的中误差差观测值的中的中误差差由由观测值的真的真误差差计算中算中误差差改正数的概念改正数的概念由由观测值的改正数的改正数计算中算中误差差实例例5.4 等精度等精度观测值观测值的平差算的平差算术术平均平均值值用改正数计算中误差用改正数计算中误差用改正数计算中误差用改正数计算中误差 多多多多数数数数情情情情况况况况下下下下，客客客客观观真真真真实实值值不不不不知知知知道道道道，不不不不能能能能求求求求得得得得真真真真误误差差差差。通通通通常常常常利利利利用用用用接接接接近近近近于于于于真真真真值值的的的的最最最最可可可可靠靠靠靠值值（最最最最或或或或是是是是值值）计计算算算算改改改改正正正正数，求中数，求中数，求中数，求中误误差。差。差。差。最或是值：最或是值：最或是值：最或是值：n n个个个个观测值观测值的算的算的算的算术术平均平均平均平均值值。改正数：改正数：改正数：改正数：最或是最或是最或是最或是值值与与与与观测值观测值之差之差之差之差v v。16 六月 202432用改正数用改正数计计算中算中误误差差 09 八月八月 202332在等精度直接在等精度直接观测平差中，平差中，观测值的算的算术平均平均值是未知量的是未知量的最最或是或是值。即即x=(l1+l2+ln)/n=l/n 1 求求 最最 或或 是是 值2 2 观测值的改正数的改正数观测值与与最或是最或是值之差之差，称，称为“改正数改正数”，用符号，用符号v vi i(i=1,2,n)来表示。来表示。Vi=li-x (i=1,2,n)将将n 个个改正数改正数vi相加，有：相加，有：v=l-nx=0即改正数的即改正数的总和和为0 0，可以用作，可以用作计算中的算中的检核，若核，若vi值计算无算无误，其其总和必然和必然为0 0。在等精度直接在等精度直接观测观测平差中，平差中，观测值观测值的算的算术术平均平均值值是未知量的最或是是未知量的最或是值值3 观测值中中误差差由于独立由于独立观测中中单个未知量的个未知量的真真值X X是无法确知的，是无法确知的，因此因此真真误差差i i也是未知的，所以不能直接也是未知的，所以不能直接应用用(5-28)(5-28)求求得得中中误差差。但可用有限个等精度。但可用有限个等精度观测值l li i求出求出最或是最或是值x x后，再按公式后，再按公式(5-29)(5-29)计算算改正数改正数vi，用改正数用改正数v vi i计算算观测值的中的中误差差。公式推。公式推导从略。从略。上式是等精度上式是等精度观测中中用改正数用改正数计算中算中误差差的公式的公式3 观测值观测值中中误误差由于独立差由于独立观测观测中中单单个未知量的真个未知量的真值值X是无法确是无法确4 算算术平均平均值的中的中误差差设对某量某量进行行n n次等精度次等精度观测，观测值为l l1 1,l,l2 2,，l ln n,中中误差差为m m。最或是。最或是值x x 的中的中误差差M M的的计算公式推算公式推导如下：如下：根据根据误差差传播定律，有：播定律，有：所以所以4 算算术术平均平均值值的中的中误误差差设对设对某量某量进进行行n次等精度次等精度观测观测，观测值为观测值为l5 相相对中中误差（差（对距离）距离）5 相相对对中中误误差（差（对对距离）距离）实例例 设对某角同精度观测设对某角同精度观测6测回，观测值见下表。测回，观测值见下表。试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值中误差。（计算在表格中进行，注意检核。）中误差。（计算在表格中进行，注意检核。）实实例例 设对设对某角同精度某角同精度观测观测6测测回，回，观测值见观测值见下表。下表。对某段距离某段距离进行了行了5次等精度次等精度测量，量，观测数据数据载于表于表5-2中，中，试求求该距离的算距离的算术平均平均值，一次，一次观测值的中的中误差、算差、算术平均平均值的中的中误差及相差及相对中中误差。差。对对某段距离某段距离进进行了行了5次等精度次等精度测测量，量，观测观测数据数据载载于表于表5-2中，中，试试求求