常微分方程42-常系数线性课件

4.2 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法1 4.1 4.1内容内容回顾回顾 解的性质与结构。解的性质与结构。方程方程(4.2)(4.2)的一组的一组n n个线性无关解称为它的一个个线性无关解称为它的一个基基本解组本解组。n 阶齐次线性方程的所有解构成一个阶齐次线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。维线性空间。2本节要求本节要求 熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法 熟练掌握常系数熟练掌握常系数非齐次线性方程非齐次线性方程的求解方法的求解方法 熟练掌握欧拉方程的求解方法熟练掌握欧拉方程的求解方法3非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构结构通解与自身的一个特解之和。通解与自身的一个特解之和。齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。非齐线性方程非齐线性方程齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解非齐线性方程通解特解特解基解组基解组表示表示关键关键常数变易法44.2.1 4.2.1 复值函数与复值解复值函数与复值解一一 定义定义极限极限连续连续导数导数5易验证易验证如如6二二 关于关于定义定义表示表示7的性质的性质1）2）3）结论结论l实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函 数的求导公式一致。数的求导公式一致。l实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指 数函数的性质一致。数函数的性质一致。8三三 线性方程的复值解线性方程的复值解如果定义在如果定义在上的实变量的复值函数上的实变量的复值函数满足方程满足方程为方程的一个复值解。为方程的一个复值解。则称则称如果方程如果方程4.2中所有系数中所有系数都是都是实值函数，而函数，而是方程的复数解，是方程的复数解，的的实部部，虚部，虚部和共和共轭复数函数复数函数也是方程也是方程4.2的解。的解。定理定理8 8则则9定理定理9 9 若方程若方程有复数解有复数解,这里里及及都是都是实函数。那么函数。那么这个解的个解的实部部和虚部和虚部分分别是方程是方程和和的解。的解。104.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程和欧拉方程.(4.19)为常数。常数。其中其中为了求方程为了求方程(4.19)的通解，只需求出它的基本解组。的通解，只需求出它的基本解组。n 阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程.(4.21)满足满足结论：结论：是方程是方程(4.19)的解的充要条件的解的充要条件满足满足特征方程特征方程特征根特征根11下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。1)1)特征根特征根为单根的情况根的情况是特征方程（是特征方程（4.214.21）的）的n个互不相等的根，个互不相等的根，设设则相应的方程（则相应的方程（4.19）有如下）有如下n个解个解这n个解在区个解在区间的基本解的基本解组。事。事实上，上，上线性无关，从而组成方程上线性无关，从而组成方程12是方程的基本解是方程的基本解组。方程方程4.19的通解可表示为的通解可表示为范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式13如果特征方程有复根，如果特征方程有复根，则因方程的系数是因方程的系数是实常数。复根将成常数。复根将成对共轭的出现，设对共轭的出现，设方程的一个特征根方程的一个特征根也是一个特征根也是一个特征根则方程（则方程（4.19）有两个复值解）有两个复值解对应两个实值解对应两个实值解14例例1求方程求方程的通解。的通解。解解第一步：求特征根第一步：求特征根第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组第三步：写出通解第三步：写出通解15例例2求方程求方程的通解。的通解。解解第一步：求特征根第一步：求特征根第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组第三步：写出通解第三步：写出通解162)2)特征根有重根的情况特征根有重根的情况是特征方程是特征方程（4.21）的的m个互不相等的根。个互不相等的根。设设.(4.19).(4.21)重数重数I.设设是是 k1 重特征根重特征根17显然显然是方程的是方程的 k1 个线性无关的解，个线性无关的解，方程方程(4.19)有有 k1 重零特征根重零特征根方程恰有方程恰有 k1 个线性无关的解个线性无关的解II.设设是是 k1 重特征根重特征根令令.(4.19)18.(4.23)特征方程特征方程19(4.19)的的 k1重特征根重特征根(4.23)的的 k1 重特征根零重特征根零20方程方程(4.23)恰有恰有 k1 个线性无关的解个线性无关的解由由方程方程(4.19)恰有恰有 k1 个线性无关的解个线性无关的解类似地类似地基基本本解解组组(4.26)21证明证明 假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数 使得使得(4.27)假定多项式假定多项式至少有一个系数不为零，则至少有一个系数不为零，则不恒为零，不恒为零，微分微分 k1 次次22不恒为零，不恒为零，不恒为零，不恒为零，矛盾！矛盾！中函数线性无关，其构成的解本解组。中函数线性无关，其构成的解本解组。(4.26)23方程的一个方程的一个 重特征根重特征根也是一个也是一个 重特征根重特征根它们对应它们对应2 个线性无关的实解是个线性无关的实解是24例例3求方程求方程的通解。的通解。解解第一步：求特征根第一步：求特征根第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组第三步：写出通解第三步：写出通解25例例4求方程求方程的通解。的通解。解解第一步：求特征根第一步：求特征根第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组第三步：写出通解第三步：写出通解二重根二重根26可化为常系数线性方程的方程可化为常系数线性方程的方程-欧拉欧拉(Euler)方程方程 为常数。常数。其中其中引入自变量代换引入自变量代换27假设假设自然数自然数 m 有以下关系式成立，有以下关系式成立，28对一切自然数对一切自然数 m 均有以下关系是成立，均有以下关系是成立，原方程原方程可化为常系数线性方程可化为常系数线性方程 29欧拉方程欧拉方程常系数线性方程常系数线性方程确定确定求解欧拉方程的过程求解欧拉方程的过程设设是欧拉方程的解是欧拉方程的解30解齐次欧拉方程的步骤解齐次欧拉方程的步骤第一步：写出特征方程，并求特征根第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出的基本解组第二步：求出的基本解组先求出变换以后方程的基本解组先求出变换以后方程的基本解组再求出原方程的基本解组再求出原方程的基本解组第三步：写出原方程的通解第三步：写出原方程的通解31例例5求方程求方程的通解。的通解。解解第三步：写出通解第三步：写出通解第一步：写出特征方程，并求特征根第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组32例例6求方程求方程的通解。的通解。解解第三步：写出通解第三步：写出通解第一步：写出特征方程，并求特征根第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组33