带电粒子在磁场中的运动(有界磁场)(高二用)课件

6、带电粒子在、带电粒子在有界有界磁场中的运动磁场中的运动 第三章第三章第三章第三章 磁场磁场磁场磁场一、带电粒子在直边界磁场中的运动一、带电粒子在直边界磁场中的运动u 带电粒子在匀强磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中的运动Bm,qm,qv由洛伦兹力提供向心力由洛伦兹力提供向心力由洛伦兹力提供向心力由洛伦兹力提供向心力rmv2qvBqvB =轨道半径：轨道半径：轨道半径：轨道半径：qBmvr=运动周期：运动周期：运动周期：运动周期：vT=2 rqB2 m=对于确定磁场，有对于确定磁场，有T m/q，仅由粒子种类，仅由粒子种类决定，与决定，与R和和v无关。无关。角速度：角速度：角速度：角速度：频率：频率：频率：频率：动能：动能：动能：动能：例例:一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场，粒子的一段轨迹如图所示，轨迹上一匀强磁场，粒子的一段轨迹如图所示，轨迹上的每一小段都可近似地看成一小段圆弧，由于带的每一小段都可近似地看成一小段圆弧，由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小（带电量不变），从图中情况可以确定（带电量不变），从图中情况可以确定（）A A粒子从粒子从a a到到b b，带负电，带负电B B粒子从粒子从a a到到b b，带正电，带正电C C粒子从粒子从b b到到a a，带正电，带正电D D粒子从粒子从b b到到a a，带负电，带负电D Du 解决带电粒子在匀强磁场中运动的解决带电粒子在匀强磁场中运动的解决带电粒子在匀强磁场中运动的解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本环节基本环节基本环节基本环节n 找圆心：找圆心：找圆心：找圆心：l已知已知两个速度方向两个速度方向：可找到两条：可找到两条半径，其交点是圆心。半径，其交点是圆心。l已知已知入射方向入射方向和和出射点出射点的位置：的位置：通过入射点作入射方向的垂线，通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作中垂线，连接入射点和出射点，作中垂线，交点是圆心。交点是圆心。vvOvOn 定半径：定半径：定半径：定半径：l 几何法求半径几何法求半径几何法求半径几何法求半径l 公式求半径公式求半径公式求半径公式求半径n 算时间：算时间：算时间：算时间：qBqBT Tt=t=q q q q mm q q q q=2 2 =2=2 注意：注意：应以弧度表示应以弧度表示u 解决带电粒子在匀强磁场中偏转的解决带电粒子在匀强磁场中偏转的解决带电粒子在匀强磁场中偏转的解决带电粒子在匀强磁场中偏转的基本思路基本思路基本思路基本思路BLv(1)先画好辅助线（半径、速度及延长线）。先画好辅助线（半径、速度及延长线）。yR RO(2)偏转角由偏转角由 sin=L/R求出。求出。(3)侧移由侧移由 R2=L2(Ry)2 解出。解出。(4)经历时间由经历时间由 得出。得出。注意：注意：注意：注意：这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点。交点不再是宽度线段的中点。这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同！这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同！当带电粒子从同一边界入射当带电粒子从同一边界入射出射时速度与边界夹角相同出射时速度与边界夹角相同对称性对称性u 带电粒子在带电粒子在直单边界直单边界磁场中的运动磁场中的运动Oyx Bv60例、例、如图，在第如图，在第I象限范围内有垂直象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁平面的匀强磁场场B。质量为。质量为m、电量大小为、电量大小为q的的带电粒子带电粒子带电粒子带电粒子(不计重力不计重力)，在在xOy平面里经原点平面里经原点O射入磁场中，初速度为射入磁场中，初速度为v0，且与且与x轴成轴成60角，试分析计算：穿越磁场时运动方向角，试分析计算：穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？带电粒子在磁场中运动时间多发生的偏转角多大？带电粒子在磁场中运动时间多长？长？如粒子带正电，则：如粒子带正电，则：如粒子带正电，则：如粒子带正电，则：如粒子带负电，则：如粒子带负电，则：如粒子带负电，则：如粒子带负电，则：带电粒子带电粒子带电粒子带电粒子60120例例例例如图，在足够大的屏如图，在足够大的屏MN的上方有磁感应强度为的上方有磁感应强度为B的匀的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，强磁场，磁场方向垂直纸面向里，P为屏上一小孔，为屏上一小孔，PC与与MN垂直。一束质量为垂直。一束质量为m、电荷量为、电荷量为q的粒子（不计的粒子（不计重力）以相同的速率重力）以相同的速率v从从P处射入磁场区域，粒子入射方处射入磁场区域，粒子入射方向在与磁场垂直的平面里，且散开在与向在与磁场垂直的平面里，且散开在与PC夹角为夹角为的范的范围内，则在屏围内，则在屏MN上被粒子打中区域的长度为（上被粒子打中区域的长度为（）qB2mvA.qB2mvcosB.qB2mv(1-sin)C.qB2mv(1-cos)D.MMN NC C P P Du 带电粒子在带电粒子在直双边界直双边界磁场中的运动磁场中的运动BLv yR ROde Bv0dmm-q-qA A 一条船在静水中的速度为一条船在静水中的速度为一条船在静水中的速度为一条船在静水中的速度为v v，河水的流，河水的流，河水的流，河水的流速为速为速为速为V V，河宽为，河宽为，河宽为，河宽为d d。问船头方向与河岸的夹角为。问船头方向与河岸的夹角为。问船头方向与河岸的夹角为。问船头方向与河岸的夹角为多少时，多少时，多少时，多少时，过河的时间最短过河的时间最短过河的时间最短过河的时间最短？dA题题2v vx xv vy y 河宽一定，欲使过河时间最短，须使河宽一定，欲使过河时间最短，须使河宽一定，欲使过河时间最短，须使河宽一定，欲使过河时间最短，须使v vx x有最大值。当有最大值。当有最大值。当有最大值。当v vx x=v=v时，有过河的最短时间：时，有过河的最短时间：时，有过河的最短时间：时，有过河的最短时间：v vd dt t=v v 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为 d d。在垂直。在垂直。在垂直。在垂直B B的平面的平面的平面的平面内的内的内的内的A A点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为 q q、质量为质量为质量为质量为 mm、速、速、速、速度为度为度为度为 v v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时间最短间最短间最短间最短？（已知？（已知？（已知？（已知 mv/Bqmv/Bq d d）题题1dmm-q-qA Av vO O R Rd d带电粒子的速度方向垂直于边界进入磁场时间最短带电粒子的速度方向垂直于边界进入磁场时间最短带电粒子的速度方向垂直于边界进入磁场时间最短带电粒子的速度方向垂直于边界进入磁场时间最短mvmvdBqdBqR Rd d=sinsin =BqBqmvmvdBqdBqmm arcsinarcsin=v vmvmvdBqdBqR R arcsinarcsin=v/Rv/R=t t=一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为 d d。在垂直。在垂直。在垂直。在垂直B B的平面的平面的平面的平面内的内的内的内的A A点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为 q q、质量为质量为质量为质量为 mm、速、速、速、速度为度为度为度为 v v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时间最短间最短间最短间最短？（已知？（已知？（已知？（已知 mv/Bqmv/Bq d d）题题1 模型识别错误模型识别错误模型识别错误模型识别错误 ！dmm-q-qA Av vO O R Rd du 对象模型：对象模型：质点质点质点质点u 过程模型：过程模型：匀速圆周运动匀速圆周运动匀速圆周运动匀速圆周运动u 规律：规律：牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律 +圆周运动公式圆周运动公式圆周运动公式圆周运动公式u 条件：条件：要求时间最短要求时间最短要求时间最短要求时间最短 =v vs st t 速度速度速度速度 v v 不变，欲使穿过磁场时间最短，须使不变，欲使穿过磁场时间最短，须使不变，欲使穿过磁场时间最短，须使不变，欲使穿过磁场时间最短，须使 s s 有最有最有最有最小值，则要求小值，则要求小值，则要求小值，则要求弦最短弦最短弦最短弦最短。一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为 d d。在垂直。在垂直。在垂直。在垂直B B的平面的平面的平面的平面内的内的内的内的A A点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为 q q、质量为质量为质量为质量为 mm、速、速、速、速度为度为度为度为 v v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时间最短间最短间最短间最短？（已知？（已知？（已知？（已知 mv/Bqmv/Bq d d）题题1dmm-q-qA Av v O O中垂线中垂线中垂线中垂线 与边界的夹角为（与边界的夹角为（与边界的夹角为（与边界的夹角为（9090 ）BqmvdBqm2arcsinRvt=2 2q q 2 2q qmvdBqRd22/sin=q q 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为状如图所示，磁场宽度为 d d。在垂直。在垂直。在垂直。在垂直B B的平面的平面的平面的平面内的内的内的内的A A点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为 q q、质量为质量为质量为质量为 mm、速、速、速、速度为度为度为度为 v v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时穿过磁场的时间最短间最短间最短间最短？（已知？（已知？（已知？（已知 mv/Bqmv/Bq d d）题题1l 启示：要正确识别物理模型启示：要正确识别物理模型启示：要正确识别物理模型启示：要正确识别物理模型例、例、如图，长为如图，长为如图，长为如图，长为L L的水平不带电极板间有垂直纸面向内的水平不带电极板间有垂直纸面向内的水平不带电极板间有垂直纸面向内的水平不带电极板间有垂直纸面向内的匀强磁场的匀强磁场的匀强磁场的匀强磁场B B，板间距离也为，板间距离也为，板间距离也为，板间距离也为L L，现有质量为，现有质量为，现有质量为，现有质量为mm，电量，电量，电量，电量为为为为q q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁场以速度处垂直磁场以速度处垂直磁场以速度处垂直磁场以速度v v平行极板射入磁场，欲使粒子不平行极板射入磁场，欲使粒子不平行极板射入磁场，欲使粒子不平行极板射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则粒子入射速度打在极板上，则粒子入射速度打在极板上，则粒子入射速度打在极板上，则粒子入射速度v v应满足什么条件？应满足什么条件？应满足什么条件？应满足什么条件？+q,m+q,mv vL LB BL L例、例、例、例、如图，若电子的电量如图，若电子的电量e，质量，质量m，磁感应强度，磁感应强度B及宽度及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿出，则初速度已知，若要求电子不从右边界穿出，则初速度v0应满应满足什么条件？足什么条件？deBv0de Bv0r+rcos60=dde Bv0变化变化变化变化1 1：若若v0向上与边界成向上与边界成60角，则角，则v0应满足什么条件？应满足什么条件？变化变化变化变化2 2：若若v0向下与边界成向下与边界成60角，则角，则v0应满足什么条件？应满足什么条件？rrcos60=d练、练、练、练、如图，在如图，在如图，在如图，在POQPOQ区域内分布有磁感应强度为区域内分布有磁感应强度为区域内分布有磁感应强度为区域内分布有磁感应强度为B B的匀强的匀强的匀强的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流(不不不不计重力计重力计重力计重力)，沿纸面垂直于磁场边界，沿纸面垂直于磁场边界，沿纸面垂直于磁场边界，沿纸面垂直于磁场边界OQOQ方向从方向从方向从方向从A A点垂直边点垂直边点垂直边点垂直边界射入磁场，已知界射入磁场，已知界射入磁场，已知界射入磁场，已知OAOA=d d，POQPOQ=45=45，离子的质量为，离子的质量为，离子的质量为，离子的质量为mm、带电荷量为、带电荷量为、带电荷量为、带电荷量为q q、要使离子不从、要使离子不从、要使离子不从、要使离子不从OPOP边射出，离子进入边射出，离子进入边射出，离子进入边射出，离子进入磁场的速度最大不能超过多少？磁场的速度最大不能超过多少？磁场的速度最大不能超过多少？磁场的速度最大不能超过多少？POQAv0Bde Bv0B BvO边边边边界界界界圆圆圆圆 带电粒子在匀强磁场中仅受磁场力作用时做匀速圆周带电粒子在匀强磁场中仅受磁场力作用时做匀速圆周运动，因此，带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉及运动，因此，带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉及粒子粒子轨迹圆轨迹圆与磁场与磁场边界圆边界圆的两圆相交问题。的两圆相交问题。l 带电粒子在带电粒子在圆形圆形磁场中的运动磁场中的运动u 两种基本情形：两种基本情形：两种基本情形：两种基本情形：轨轨轨轨迹迹迹迹圆圆圆圆O O +=两圆心连线两圆心连线OO与点与点C共线。共线。B BO边边边边界界界界圆圆圆圆轨迹圆轨迹圆轨迹圆轨迹圆B BC CA AO O O O1 1R2例、例、例、例、如图，虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀如图，虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场强磁场B。电子束沿圆形区域的直径方向以速度。电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁射入磁场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向成场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向成角。设电子质量为角。设电子质量为m，电荷量为电荷量为e，不计电子之间的相互不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：作用力及所受的重力。求：（1）电子在磁场中运动轨迹的半径）电子在磁场中运动轨迹的半径R；（2）电子在磁场中运动的时间电子在磁场中运动的时间t；（3）圆形磁场区域的半径圆形磁场区域的半径r。vBOrv 解：解：（1）（2）由几何关系得：圆心角：由几何关系得：圆心角：=（3）由如图所示几何关系可知，由如图所示几何关系可知，所以：所以：例、例、例、例、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm的的圆形筒内有圆形筒内有B=1104 T 的匀强磁场，方向平行于轴线。的匀强磁场，方向平行于轴线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有一束比。现有一束比荷为荷为q/m=2 1011 C/kg的正离子，以不同角度的正离子，以不同角度入射，其入射，其中入射角中入射角 =30，且不经碰撞而直接从出射孔射出的离，且不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度子的速度v大小是大小是（）A4105 m/s B 2105 m/s C 4106 m/s D 2106 m/s解：解：r rmvmv2 2qvBqvB=aObOrr 作入射速度的垂线与作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于的垂直平分线交于O点，点，O点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁场中的轨迹如图示：场中的轨迹如图示：a Ob=2 =60，r=2R=0.2mC变式：变式：变式：变式：如图所示，一带负电荷的质点，质量为如图所示，一带负电荷的质点，质量为如图所示，一带负电荷的质点，质量为如图所示，一带负电荷的质点，质量为mm，带电量，带电量，带电量，带电量为为为为q q，从，从，从，从MM板附近由静止开始被电场加速，又从板附近由静止开始被电场加速，又从板附近由静止开始被电场加速，又从板附近由静止开始被电场加速，又从N N板的小板的小板的小板的小孔孔孔孔a a水平射出，垂直进入半径为水平射出，垂直进入半径为水平射出，垂直进入半径为水平射出，垂直进入半径为R R的圆形区域匀强磁场中，的圆形区域匀强磁场中，的圆形区域匀强磁场中，的圆形区域匀强磁场中，磁感应强度为磁感应强度为磁感应强度为磁感应强度为B B，入射速度方向与，入射速度方向与，入射速度方向与，入射速度方向与OPOP成成成成4545角，要使质角，要使质角，要使质角，要使质点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差U U为多为多为多为多少？少？少？少？B BvOBqBqT T=2 2 mm2 2 t t=T T BqBq mmt t=例、例、例、例、如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O O射入射入射入射入这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（）A A射入时的速度一定较大射入时的速度一定较大射入时的速度一定较大射入时的速度一定较大 B B在该磁场中运动的路程一定较长在该磁场中运动的路程一定较长在该磁场中运动的路程一定较长在该磁场中运动的路程一定较长 C C在该磁场中偏转的角度一定较大在该磁场中偏转的角度一定较大在该磁场中偏转的角度一定较大在该磁场中偏转的角度一定较大 D D从该磁场中飞出的速度一定较小从该磁场中飞出的速度一定较小从该磁场中飞出的速度一定较小从该磁场中飞出的速度一定较小 1 1R R1 1s s1 1 2 2R R2 2s s2 2BqBqmvmvR R=tRs sCD例、例、例、例、如图，质量为如图，质量为如图，质量为如图，质量为mm、电量为、电量为、电量为、电量为q q的正离子，从的正离子，从的正离子，从的正离子，从A A点正对圆心点正对圆心点正对圆心点正对圆心O O以某一速度射入半径为以某一速度射入半径为以某一速度射入半径为以某一速度射入半径为R R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B B。要使带电。要使带电。要使带电。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A A点射出，问发生碰撞的点射出，问发生碰撞的点射出，问发生碰撞的点射出，问发生碰撞的最少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间最少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间最少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间最少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间t t？设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒？设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒？设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒？设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。子的重力。子的重力。子的重力。t=t=m/m/BqBq2 2次次次次B BvOB BvOO O +=解析解析解析解析 根据根据根据根据对对称性可以看出粒子与筒壁碰称性可以看出粒子与筒壁碰称性可以看出粒子与筒壁碰称性可以看出粒子与筒壁碰撞撞撞撞时时其速度方向一定是沿其速度方向一定是沿其速度方向一定是沿其速度方向一定是沿圆圆筒半径方向的。筒半径方向的。筒半径方向的。筒半径方向的。粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，也可能粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，也可能粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，也可能粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，也可能出出出出现现3 3次、次、次、次、4 4次、次、次、次、5 5次次次次n n次碰撞。次碰撞。次碰撞。次碰撞。例、例、例、例、如图，在半径为如图，在半径为如图，在半径为如图，在半径为 R R 的圆筒内有匀强磁场，质量为的圆筒内有匀强磁场，质量为的圆筒内有匀强磁场，质量为的圆筒内有匀强磁场，质量为mm，带电量为带电量为带电量为带电量为 q q 的带电粒子在小孔的带电粒子在小孔的带电粒子在小孔的带电粒子在小孔 A A 处以速度处以速度处以速度处以速度 v v 向着圆心射向着圆心射向着圆心射向着圆心射入，问磁感应强度为多大，此粒子才能绕行一周后从原入，问磁感应强度为多大，此粒子才能绕行一周后从原入，问磁感应强度为多大，此粒子才能绕行一周后从原入，问磁感应强度为多大，此粒子才能绕行一周后从原孔射出？粒子在磁场中的运动时间是多少？（设相碰时孔射出？粒子在磁场中的运动时间是多少？（设相碰时孔射出？粒子在磁场中的运动时间是多少？（设相碰时孔射出？粒子在磁场中的运动时间是多少？（设相碰时电量和动能皆无损失）电量和动能皆无损失）电量和动能皆无损失）电量和动能皆无损失）无论经过多少次碰撞，因粒子最终从原孔返回，故粒子在无论经过多少次碰撞，因粒子最终从原孔返回，故粒子在无论经过多少次碰撞，因粒子最终从原孔返回，故粒子在无论经过多少次碰撞，因粒子最终从原孔返回，故粒子在磁场中的各段轨迹磁场中的各段轨迹磁场中的各段轨迹磁场中的各段轨迹圆弧对应的圆心角的余角总和圆弧对应的圆心角的余角总和圆弧对应的圆心角的余角总和圆弧对应的圆心角的余角总和一定是一定是一定是一定是360360。B BvO设粒子在磁场中的轨道半径为设粒子在磁场中的轨道半径为r，如图。，如图。把磁场圆周分为把磁场圆周分为n等份，粒子经等份，粒子经n1次碰撞返回次碰撞返回A，则有：则有：解：解：解：解：r=R tan2 2n 2 n n=R=R tantan 两次碰撞间粒子运动时间：两次碰撞间粒子运动时间：两次碰撞间轨迹圆圆心角：两次碰撞间轨迹圆圆心角：A AO Ov vR Rr rO O C C例、例、例、例、如图，圆形区域内，两方向相反且都垂直于纸面的匀强如图，圆形区域内，两方向相反且都垂直于纸面的匀强如图，圆形区域内，两方向相反且都垂直于纸面的匀强如图，圆形区域内，两方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径磁场分布在以直径磁场分布在以直径磁场分布在以直径A A2 2A A4 4为边界的两个半圆形区域为边界的两个半圆形区域为边界的两个半圆形区域为边界的两个半圆形区域、中，中，中，中，A A2 2A A4 4与与与与A A1 1A A3 3的夹角为的夹角为的夹角为的夹角为6060，一质量为，一质量为，一质量为，一质量为mm、带电量为、带电量为、带电量为、带电量为+q q的粒的粒的粒的粒子以某一速度从子以某一速度从子以某一速度从子以某一速度从 区的边缘点区的边缘点区的边缘点区的边缘点A A1 1处沿与处沿与处沿与处沿与A A1 1A A3 3成成成成3030角的方向角的方向角的方向角的方向射入磁场，随后该项粒子以垂直于射入磁场，随后该项粒子以垂直于射入磁场，随后该项粒子以垂直于射入磁场，随后该项粒子以垂直于A A2 2A A4 4的方向经过圆心的方向经过圆心的方向经过圆心的方向经过圆心O O进入进入进入进入区，最后再从区，最后再从区，最后再从区，最后再从A A4 4处射出磁场，已知该粒子从射入到处射出磁场，已知该粒子从射入到处射出磁场，已知该粒子从射入到处射出磁场，已知该粒子从射入到射出磁场所用时间表为射出磁场所用时间表为射出磁场所用时间表为射出磁场所用时间表为 t t，求，求，求，求 区和区和区和区和区中磁感应强度的大区中磁感应强度的大区中磁感应强度的大区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。小（忽略粒子重力）。小（忽略粒子重力）。小（忽略粒子重力）。qtqtmmB B3 35 52 2 =qtqtmmB B6 65 51 1 =A A3 3A A4 4A A2 2A A1 1O O60 30A A3 3A A4 4A A2 2A A1 1O O60 30解：解：解：解：粒子在磁场中的运动轨迹如图示粒子在磁场中的运动轨迹如图示:用用B1,B2,R1,R2,T1,T2,t1,t2分别表示在磁场分别表示在磁场区和区和区区中的磁感应强度，轨道半径和周期及运动时间。中的磁感应强度，轨道半径和周期及运动时间。设圆形区域的半径为设圆形区域的半径为r，则，则 R1=A1A2=r，R2=r/2。t1=T1/6，t2=T2/2由由 qvB=mv2/R 得：得：R1=mv/qB1=r，R2=mv/qB2=r/2，B2=2B1 T1=2R1/v=2m/qB1T2=2R2/v=2m/qB2t1+t2=t 即即 m3qB1+mqB2=t练：练：练：练：在真空中，半径为在真空中，半径为在真空中，半径为在真空中，半径为 R R=0.2m=0.2m的圆形区域内存在垂直纸面的圆形区域内存在垂直纸面的圆形区域内存在垂直纸面的圆形区域内存在垂直纸面向外的向外的向外的向外的B B=1T=1T的匀强磁场，此区域外围足够大空间有垂直的匀强磁场，此区域外围足够大空间有垂直的匀强磁场，此区域外围足够大空间有垂直的匀强磁场，此区域外围足够大空间有垂直纸面向里的大小也为纸面向里的大小也为纸面向里的大小也为纸面向里的大小也为B B的匀强磁场，一带正电的粒子从边的匀强磁场，一带正电的粒子从边的匀强磁场，一带正电的粒子从边的匀强磁场，一带正电的粒子从边界上的界上的界上的界上的P P点沿半径向外，以速度点沿半径向外，以速度点沿半径向外，以速度点沿半径向外，以速度v v0 0=510=5103 3m/sm/s进入外围磁场，进入外围磁场，进入外围磁场，进入外围磁场，已知粒子带电量已知粒子带电量已知粒子带电量已知粒子带电量q q=510=5106 6 C C，质量，质量，质量，质量mm=210=2101010 kg kg，不计，不计，不计，不计重力。试画出粒运动轨迹并求出粒子第一次回到重力。试画出粒运动轨迹并求出粒子第一次回到重力。试画出粒运动轨迹并求出粒子第一次回到重力。试画出粒运动轨迹并求出粒子第一次回到P P点所需点所需点所需点所需时间（计算结果可以用时间（计算结果可以用时间（计算结果可以用时间（计算结果可以用 表示）。表示）。表示）。表示）。Pv v0 0BB解析：解析：解析：解析：由洛伦兹力提供向心力，由洛伦兹力提供向心力，由洛伦兹力提供向心力，由洛伦兹力提供向心力，qvqv0 0B B=mvmv0 02 2/r r，r r=0.2 m=0.2 m=R R。轨迹如图所示轨迹如图所示轨迹如图所示轨迹如图所示。T T=2=2 r/Bqr/Bq =8=8 10105 5 s s运动周期为运动周期为运动周期为运动周期为 t t=2=2T T=16=16 10105 5 s s例、例、例、例、如图，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。如图，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度、方向水平向右，电场宽度为为L；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度大小均为大小均为B。一个质量为。一个质量为m、电量为、电量为q、不计重力的带正电、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁磁场区域进入右侧磁 场区域后，又回到场区域后，又回到O点，然点，然 后重复上述运动过程。求：后重复上述运动过程。求：（1）中间磁场区域的宽度）中间磁场区域的宽度d；（2）带电粒子的运动周期。）带电粒子的运动周期。B B1 1E EO OB B2 2L Ld dO O1 1O O3 3O O2 2由以上两式，可得由以上两式，可得（2）在）在电场中运中运动时间在中在中间磁磁场中运中运动时间在右在右侧磁磁场中运中运动时间则粒子的运粒子的运动周期周期为带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：解：（解：（1）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得：）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得：粒子在两磁粒子在两磁场区运区运动半径相同，三段半径相同，三段圆弧的弧的圆心心组成的三角形成的三角形O1O2O3是等是等边三角形，其三角形，其边长为2R。所以中。所以中间磁磁场区域的区域的宽度度为：B B1 1E EO OB B2 2L Ld dO O1 1O O3 3O O2 2例、例、例、例、如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a a、b b、c c和和和和d d，外筒，外筒，外筒，外筒的半径为的半径为的半径为的半径为r r0 0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场方向的均匀磁场方向的均匀磁场方向的均匀磁场B B。在两极间加上电压。一质量为。在两极间加上电压。一质量为。在两极间加上电压。一质量为。在两极间加上电压。一质量为mm、带、带、带、带电量为电量为电量为电量为+q q的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝a a的的的的S S点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点S S，则两，则两，则两，则两电极之间的电压电极之间的电压电极之间的电压电极之间的电压U U应是多少？应是多少？应是多少？应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）（不计重力，整个装置在真空中）（不计重力，整个装置在真空中）（不计重力，整个装置在真空中）OabcdqS解析解析解析解析 ：qUmv212=qBvRvm2=2mBqrU220=半径半径 R=r0例、例、例、例、如图，很长的平行边界面如图，很长的平行边界面如图，很长的平行边界面如图，很长的平行边界面MM、N N与与与与N N、P P间距分别为间距分别为间距分别为间距分别为l l1 1与与与与l l2 2，其间分别有磁感应强度为，其间分别有磁感应强度为，其间分别有磁感应强度为，其间分别有磁感应强度为B B1 1与与与与B B2 2的匀强磁场区的匀强磁场区的匀强磁场区的匀强磁场区 和和和和，磁场方向均垂直纸面向里。己知，磁场方向均垂直纸面向里。己知，磁场方向均垂直纸面向里。己知，磁场方向均垂直纸面向里。己知B B1 1 B B2 2，一个带正电，一个带正电，一个带正电，一个带正电的粒子电量为的粒子电量为的粒子电量为的粒子电量为q q，质量为，质量为，质量为，质量为mm，以大小为，以大小为，以大小为，以大小为v v0 0的速度垂直边界的速度垂直边界的速度垂直边界的速度垂直边界MM与磁场方向射人与磁场方向射人与磁场方向射人与磁场方向射人MNMN间磁场区，试讨论粒子速度间磁场区，试讨论粒子速度间磁场区，试讨论粒子速度间磁场区，试讨论粒子速度v v0 0应满应满应满应满足什么条件，才可通过这两个磁场区，并从边界面足什么条件，才可通过这两个磁场区，并从边界面足什么条件，才可通过这两个磁场区，并从边界面足什么条件，才可通过这两个磁场区，并从边界面P P射射射射出？（不计粒于重力）出？（不计粒于重力）出？（不计粒于重力）出？（不计粒于重力）Nl2l1B1B2MPv0v0O1O2 R R1 1R R1 1R R2 2R R2 2 +=/2/2R R1 1=mvmv0 0/B/B1 1q qR R2 2=mvmv0 0/B/B2 2q ql1 =R1 sinl2 =R2(1cos)解析解析解析解析 ：mmq q(B B1 1l l1 1+B B2 2l l2 2)v v0 0讨论讨论讨论讨论 ：如图，直角坐标系内，质量为如图，直角坐标系内，质量为如图，直角坐标系内，质量为如图，直角坐标系内，质量为mm，带电量为，带电量为，带电量为，带电量为+q q的离的离的离的离子从原点子从原点子从原点子从原点O O沿沿沿沿y y轴正方向以初速度轴正方向以初速度轴正方向以初速度轴正方向以初速度v v0 0出发，重力不计。现要出发，重力不计。现要出发，重力不计。现要出发，重力不计。现要求在离子运动的空间内加上某种求在离子运动的空间内加上某种求在离子运动的空间内加上某种求在离子运动的空间内加上某种“场场场场”（每个象限最多（每个象限最多（每个象限最多（每个象限最多一种场）后，该电荷能通过点一种场）后，该电荷能通过点一种场）后，该电荷能通过点一种场）后，该电荷能通过点P P(a a,b b)，试设计一种能实，试设计一种能实，试设计一种能实，试设计一种能实现这一目的的方案。要求：现这一目的的方案。要求：现这一目的的方案。要求：现这一目的的方案。要求：（1 1）需说明运动性质并画出轨迹图。）需说明运动性质并画出轨迹图。）需说明运动性质并画出轨迹图。）需说明运动性质并画出轨迹图。（2 2）用必要的运算说明你设计的方案中相关物理量的表用必要的运算说明你设计的方案中相关物理量的表 达式。（用题设已知条件和有关常数）达式。（用题设已知条件和有关常数）y yx xO OP P(a,a,-b b)v v0 0解：方案一：解：方案一：解：方案一：解：方案一：在直角坐标系在直角坐标系xOy内加上垂直纸面向里的匀强内加上垂直纸面向里的匀强磁场磁场B，使电荷，使电荷(m，q)在洛伦兹力作用下绕在洛伦兹力作用下绕O点从点从O到到P作匀作匀速圆周运动，其轨道半径为速圆周运动，其轨道半径为R，电荷运动轨迹如图示。，电荷运动轨迹如图示。y yx xO OP P(a,a,-b b)v v0 0O O 由图知由图知电荷作匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供电荷作匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供 方案二：方案二：方案二：方案二：在在x轴上轴上O 点固定一带负电的点电荷点固定一带负电的点电荷Q,使电荷使电荷(m，q)在在库仑力作用下绕库仑力作用下绕O 点从点从O到到P作匀速圆周运动，其轨道半作匀速圆周运动，其轨道半径为径为R,电荷运动轨迹如图示。电荷运动轨迹如图示。Ry yx xO OP P(a,a,-b b)v v0 0Q由图知由图知由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：y yx xO OP P(a,a,-b b)v v0 0qaqamvmvB B0 02 2=y yx xO OP P(a,a,-b b)v v0 0)(2 22 22 20 0b ba aq qamvamvB B+=y yx xO OP P(a,a,-b b)v v0 0RQakqakqmvmvb ba aQ Q2 2)(2 20 02 22 2+=y yx xO OP P(a,a,-b b)v v0 0B B1 1B B2 2y yx xO OP P(a,a,-b b)v v0 0E Ey yx xO OP P(a,a,-b b)v v0 0EB By yx xO OP P(a,a,-b b)v v0 0E Ey yx xO OP P(a,a,-b b)v v0 0E Ey yx xO OP P(a,a,-b b)v v0 0B B