工业机器人技术基础第2章-工业机器人的数学基础课件

目目目目 录录录录 第一章第一章第一章第一章 工业机器人概论工业机器人概论工业机器人概论工业机器人概论 第二章第二章第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础第三章第三章第三章第三章 工业机器人的机械系统工业机器人的机械系统工业机器人的机械系统工业机器人的机械系统第四章第四章第四章第四章 工业机器人的动力系统工业机器人的动力系统工业机器人的动力系统工业机器人的动力系统第五章第五章第五章第五章 工业机器人的感知系统工业机器人的感知系统工业机器人的感知系统工业机器人的感知系统第六章第六章第六章第六章 工业机器人的控制系统工业机器人的控制系统工业机器人的控制系统工业机器人的控制系统第七章第七章第七章第七章 工业机器人编程与调试工业机器人编程与调试工业机器人编程与调试工业机器人编程与调试工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础主要内容主要内容主要内容主要内容 2.1 2.1 2.1 2.1 矩阵及运算矩阵及运算矩阵及运算矩阵及运算 2.2 2.2 2.2 2.2 坐标系及其关系描述坐标系及其关系描述坐标系及其关系描述坐标系及其关系描述 2.3 2.3 2.3 2.3 坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换 2.4 2.4 2.4 2.4 机器人运动学机器人运动学机器人运动学机器人运动学 2.5 2.5 2.5 2.5 机器人动力学机器人动力学机器人动力学机器人动力学工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础第第2 2章章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 主要内容工业机器人技术基础第2章工业机器人的数学基础第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 2.1 2.1 2.1 2.1 矩阵及运算矩阵及运算矩阵及运算矩阵及运算1.1.1.1.矩阵的定义矩阵的定义矩阵的定义矩阵的定义 定义定义定义定义1 1 1 1 由由由由m m m m n n n n个数个数个数个数a a a aijijijij（i=1i=1i=1i=1，2 2 2 2，m m m m；j=1,2j=1,2j=1,2j=1,2，n n n n），排成），排成），排成），排成m m m m行行行行n n n n列的数表：列的数表：列的数表：列的数表：称为称为称为称为m m m m行行行行n n n n列矩阵，简称为列矩阵，简称为列矩阵，简称为列矩阵，简称为m m m m n n n n矩阵。这矩阵。这矩阵。这矩阵。这m m m m n n n n个数称为矩阵个数称为矩阵个数称为矩阵个数称为矩阵A A A A的元素，的元素，的元素，的元素，a a a aijijijij叫叫叫叫做矩阵做矩阵做矩阵做矩阵A A A A的第的第的第的第i i i i行第行第行第行第j j j j列元素。元素是实数的矩阵叫做实矩阵，元素是复数列元素。元素是实数的矩阵叫做实矩阵，元素是复数列元素。元素是实数的矩阵叫做实矩阵，元素是复数列元素。元素是实数的矩阵叫做实矩阵，元素是复数的矩阵叫做复矩阵。本教程中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵。通常的矩阵叫做复矩阵。本教程中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵。通常的矩阵叫做复矩阵。本教程中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵。通常的矩阵叫做复矩阵。本教程中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵。通常用大写的拉丁字母用大写的拉丁字母用大写的拉丁字母用大写的拉丁字母A A A A、B B B B、C C C C等表示矩阵。有时为了指明矩阵的第等表示矩阵。有时为了指明矩阵的第等表示矩阵。有时为了指明矩阵的第等表示矩阵。有时为了指明矩阵的第i i i i行第行第行第行第j j j j列列列列元素为元素为元素为元素为a a a aijijijij，可将，可将，可将，可将A A A A记记记记作作作作A=(aA=(aA=(aA=(aijijijij)m)m)m)m n n n n 或或或或A=(aA=(aA=(aA=(aijijijij)，也可将，也可将，也可将，也可将m m m m n n n n矩阵矩阵矩阵矩阵A A A A记为记为记为记为A A A Am m m m n n n n。当。当。当。当A A A A的行数与列的行数与列的行数与列的行数与列数相等时，称数相等时，称数相等时，称数相等时，称A A A A为为为为n n n n阶方阵或阶方阵或阶方阵或阶方阵或n n n n阶矩阵。显然，一阶矩阵就是一个数。阶矩阵。显然，一阶矩阵就是一个数。阶矩阵。显然，一阶矩阵就是一个数。阶矩阵。显然，一阶矩阵就是一个数。第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础2.1第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础2.1 2.1 2.1 2.1 矩阵及运算矩阵及运算矩阵及运算矩阵及运算只有一行的矩阵只有一行的矩阵只有一行的矩阵只有一行的矩阵A=A=A=A=（a a a a1 1 1 1，a a a a2 2 2 2，a a a an n n n）叫做行矩阵；只有一列的矩阵叫做）叫做行矩阵；只有一列的矩阵叫做）叫做行矩阵；只有一列的矩阵叫做）叫做行矩阵；只有一列的矩阵叫做列矩阵。两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们为同型矩阵。列矩阵。两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们为同型矩阵。列矩阵。两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们为同型矩阵。列矩阵。两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们为同型矩阵。如果如果如果如果A=(aA=(aA=(aA=(aijijijij)与与与与B=(bB=(bB=(bB=(bijijijij)是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即 a a a aijijijij=b=b=b=bijijijij （i=1i=1i=1i=1，2 2 2 2，m m m m；j=1j=1j=1j=1，2 2 2 2，n n n n），），），），那末就称矩阵那末就称矩阵那末就称矩阵那末就称矩阵A A A A与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵B B B B相等，记作相等，记作相等，记作相等，记作 A=BA=BA=BA=B。元素都是零的矩阵，记作。元素都是零的矩阵，记作。元素都是零的矩阵，记作。元素都是零的矩阵，记作0 0 0 0。注。注。注。注意不同型的零矩阵是不同的。意不同型的零矩阵是不同的。意不同型的零矩阵是不同的。意不同型的零矩阵是不同的。II II II II 几种特殊矩阵几种特殊矩阵几种特殊矩阵几种特殊矩阵a)a)a)a)对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵(diagonal matrix)(diagonal matrix)(diagonal matrix)(diagonal matrix)，如下的矩阵称为对角矩阵，记为，如下的矩阵称为对角矩阵，记为，如下的矩阵称为对角矩阵，记为，如下的矩阵称为对角矩阵，记为diagdiagdiagdiag（a a a a11111111 ,a,a,a,a22,22,22,22,a a a a33333333 a a a annnnnnnn ）第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础2.1矩第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础b)b)b)b)数量矩阵数量矩阵数量矩阵数量矩阵(scalar(scalar(scalar(scalar matrix)matrix)matrix)matrix)c)c)c)c)三角矩阵三角矩阵三角矩阵三角矩阵(triangular matrix)(triangular matrix)(triangular matrix)(triangular matrix)上三角矩阵上三角矩阵上三角矩阵上三角矩阵(upper triangular matrix)(upper triangular matrix)(upper triangular matrix)(upper triangular matrix)第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础b)数量矩第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础d)d)d)d)对称阵对称阵对称阵对称阵(symmetric matrix(symmetric matrix(symmetric matrix(symmetric matrix）和反对称阵）和反对称阵）和反对称阵）和反对称阵(anti-symmetric(anti-symmetric(anti-symmetric(anti-symmetric matrix)matrix)matrix)matrix)如果如果如果如果n n n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=A=A=A=（aijaijaijaij）的元素满足）的元素满足）的元素满足）的元素满足aij=ajiaij=ajiaij=ajiaij=aji（i i i i，j=1j=1j=1j=1，2 2 2 2，n n n n），则称），则称），则称），则称A A A A为为为为n n n n阶对称矩阵阶对称矩阵阶对称矩阵阶对称矩阵 ，如，如，如，如如果如果如果如果n n n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=A=A=A=（aijaijaijaij）的元素满足）的元素满足）的元素满足）的元素满足aij=aij=aij=aij=ajiajiajiaji（i i i i，j=1j=1j=1j=1，2 2 2 2，n n n n），则称），则称），则称），则称A A A A为为为为n n n n阶反对称矩阵。显然，故阶反对称矩阵。显然，故阶反对称矩阵。显然，故阶反对称矩阵。显然，故aii=0aii=0aii=0aii=0（i=1i=1i=1i=1，2 2 2 2，n n n n）如：如：如：如：第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础d)第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 矩阵的加法矩阵的加法矩阵的加法矩阵的加法 设有两个设有两个设有两个设有两个m m m m n n n n的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵A=A=A=A=（aijaijaijaij），），），），B B B B（bijbijbijbij），则矩阵），则矩阵），则矩阵），则矩阵A A A A和和和和B B B B的和记作的和记作的和记作的和记作A+B A+B A+B A+B。即：。即：。即：。即：III III III III 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算易证，矩阵加法满足下列运算规律（设易证，矩阵加法满足下列运算规律（设易证，矩阵加法满足下列运算规律（设易证，矩阵加法满足下列运算规律（设A A A A、B B B B、C C C C都是都是都是都是m m m m n n n n矩阵）：矩阵）：矩阵）：矩阵）：a)A+B=B+Aa)A+B=B+Aa)A+B=B+Aa)A+B=B+A；b)b)b)b)（A+BA+BA+BA+B）+C=A+C=A+C=A+C=A+（B+CB+CB+CB+C）。）。）。）。设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A=A=A=A=（a a a aijijijij），记），记），记），记 A=A=A=A=（a a a aijijijij），），），），A A A A称为称为称为称为A A A A的负矩阵，显然有的负矩阵，显然有的负矩阵，显然有的负矩阵，显然有A+A+A+A+（A A A A）=0=0=0=0。由此定义矩阵的减法运算为由此定义矩阵的减法运算为由此定义矩阵的减法运算为由此定义矩阵的减法运算为 A A A A B=A+(-B)B=A+(-B)B=A+(-B)B=A+(-B)第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 矩阵相等矩阵相等矩阵相等矩阵相等条件：条件：条件：条件：矩阵要矩阵要矩阵要矩阵要同阶同阶同阶同阶对应元素相等对应元素相等对应元素相等对应元素相等满足上述条件，矩阵就相等。满足上述条件，矩阵就相等。满足上述条件，矩阵就相等。满足上述条件，矩阵就相等。如下述矩阵：如下述矩阵：如下述矩阵：如下述矩阵：III III III III 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础数与矩阵相乘数与矩阵相乘数与矩阵相乘数与矩阵相乘数数数数 与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵A A A A的乘积记作的乘积记作的乘积记作的乘积记作 A A A A或或或或A A A A ，规定为，规定为，规定为，规定为 易证，数乘矩阵满足下列运算规律（设易证，数乘矩阵满足下列运算规律（设易证，数乘矩阵满足下列运算规律（设易证，数乘矩阵满足下列运算规律（设A A A A、B B B B为为为为m m m m n n n n矩阵，矩阵，矩阵，矩阵，、为数）：为数）：为数）：为数）：(i).(i).(i).(i).（）A=A=A=A=（A A A A）；）；）；）；(ii).(ii).(ii).(ii).（+）A=A=A=A=A+A+A+A+A A A A；(iii).(iii).(iii).(iii).（A+BA+BA+BA+B）=A+A+A+A+B B B B。第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础数与矩阵相第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘 设设设设矩矩矩矩阵阵阵阵A=(aA=(aA=(aA=(aij ij ij ij)m m m m s s s s，B=(bB=(bB=(bB=(bij ij ij ij)s s s s n n n n，则则则则矩矩矩矩阵阵阵阵A A A A和和和和矩矩矩矩阵阵阵阵B B B B的的的的乘乘乘乘积积积积矩阵矩阵矩阵矩阵C=C=C=C=（c c c cijijijij）m m m m n n n n，其中，其中，其中，其中 C C C Cijijijij=a=a=a=ai1i1i1i1b b b b1j1j1j1j+a+a+a+ai2i2i2i2b b b b2j2j2j2j+a+a+a+aisisisisb b b bsj sj sj sj （i=1i=1i=1i=1，2 2 2 2，m m m m；j=1j=1j=1j=1，2 2 2 2，n n n n）记作记作记作记作C=ABC=ABC=ABC=AB。对于矩阵的乘法需注意以下三点：对于矩阵的乘法需注意以下三点：对于矩阵的乘法需注意以下三点：对于矩阵的乘法需注意以下三点：第一，只有矩阵第一，只有矩阵第一，只有矩阵第一，只有矩阵A A A A的列数等于的列数等于的列数等于的列数等于B B B B的行数时，的行数时，的行数时，的行数时，ABABABAB才有意义。才有意义。才有意义。才有意义。第二，乘积第二，乘积第二，乘积第二，乘积C=C=C=C=（cijcijcijcij）m m m m n n n n的第的第的第的第i i i i行第行第行第行第j j j j列的元素等于矩阵列的元素等于矩阵列的元素等于矩阵列的元素等于矩阵A A A A的第的第的第的第i i i i行的每一个元素与矩阵行的每一个元素与矩阵行的每一个元素与矩阵行的每一个元素与矩阵B B B B的第的第的第的第j j j j列的对应元素的乘积之和。列的对应元素的乘积之和。列的对应元素的乘积之和。列的对应元素的乘积之和。第三，乘积第三，乘积第三，乘积第三，乘积C C C C的行数等于矩阵的行数等于矩阵的行数等于矩阵的行数等于矩阵A A A A的行数，列数等于矩阵的行数，列数等于矩阵的行数，列数等于矩阵的行数，列数等于矩阵B B B B的列数。的列数。的列数。的列数。第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础矩阵与矩阵第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础例例例例1 1 1 1 求求求求ABABABAB和和和和BABABABA。其中。其中。其中。其中解：解：解：解：第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础例1求第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础例例例例2 2 2 2 求求求求ABABABAB和和和和BABABABA。其中。其中。其中。其中解：解：解：解：第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础例2求第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 在上述两个例子中都有在上述两个例子中都有在上述两个例子中都有在上述两个例子中都有ABABABAB BABABABA，即矩阵乘法不满足乘法交换律，为，即矩阵乘法不满足乘法交换律，为，即矩阵乘法不满足乘法交换律，为，即矩阵乘法不满足乘法交换律，为此将此将此将此将ABABABAB称为用称为用称为用称为用A A A A左乘左乘左乘左乘B B B B，而将，而将，而将，而将BABABABA称为称为称为称为A A A A右乘以右乘以右乘以右乘以B B B B。还应注意到在例。还应注意到在例。还应注意到在例。还应注意到在例5 5 5 5中：中：中：中：A A A A，B B B B均为非零矩阵，但均为非零矩阵，但均为非零矩阵，但均为非零矩阵，但ABABABAB却为零矩阵。却为零矩阵。却为零矩阵。却为零矩阵。由定义可以验证矩阵的乘法满足以下运算规律：（假设运算都是可由定义可以验证矩阵的乘法满足以下运算规律：（假设运算都是可由定义可以验证矩阵的乘法满足以下运算规律：（假设运算都是可由定义可以验证矩阵的乘法满足以下运算规律：（假设运算都是可行的）行的）行的）行的）(i).(i).(i).(i).结合律：（结合律：（结合律：（结合律：（ABABABAB）C=AC=AC=AC=A（BCBCBCBC）；）；）；）；(ii).(ii).(ii).(ii).左分配律：左分配律：左分配律：左分配律：A A A A（B+CB+CB+CB+C）=AB+AC=AB+AC=AB+AC=AB+AC；(iii).(iii).(iii).(iii).右分配律：（右分配律：（右分配律：（右分配律：（B+CB+CB+CB+C）A=BA+CAA=BA+CAA=BA+CAA=BA+CA；(iv).(iv).(iv).(iv).（ABABABAB）=（A A A A）B=AB=AB=AB=A（B B B B）。（）。（）。（）。（为常数）为常数）为常数）为常数）对于单位矩阵对于单位矩阵E,E,容易验证容易验证E Em mA Am m n n=A=Am m n n ，A Am m n nE En n=A=Am m n n。有了矩阵的乘法，就可以定义有了矩阵的乘法，就可以定义n n阶方阵的幂。设阶方阵的幂。设A A是是n n阶方阵，定义阶方阵，定义A A1 1=A=A，A A2 2=A=A1 1 A A1 1，A Ak+1k+1=A=Ak kA A1 1 ，其中其中k k为正整数。这就是说，为正整数。这就是说，A Ak k就是就是k k个个A A相乘。显然，只有方阵的幂才有相乘。显然，只有方阵的幂才有意义。由于矩阵乘法适合结合律，所以方阵的幂满足以下运算规律：意义。由于矩阵乘法适合结合律，所以方阵的幂满足以下运算规律：A A A A =A=A+，(A(A)=A=A 不过，一般不过，一般 (AB)(AB)k k A Ak kB Bk k。第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础在上述第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 矩阵的转置矩阵的转置把矩阵把矩阵A=(aA=(aijij)mnmn的行换成同序数的列所得到的的行换成同序数的列所得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做A A的转置矩阵的转置矩阵(transpose)(transpose)，记作，记作A A 或或A AT T。显然，。显然，A A=(a=(ajiji)nmnm矩阵的转置也是一种运算，易证它满足下述运算规律（假设运算矩阵的转置也是一种运算，易证它满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：都是可行的）：(i)(A(i)(A)=A =A；(ii)(A+B)(ii)(A+B)=A=A +B+B ；(iii)(iii)(A)A)=A A ；(iv)(AB)(iv)(AB)=B=B A A 。第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础矩阵的转第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 方阵的行列式方阵的行列式 由由n n阶方阵阶方阵A A的元素按原来位置不变所构成的行列式（各元素的位置的元素按原来位置不变所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵不变），叫做方阵A A的行列式，记作的行列式，记作|A|A|或或 detAdetA。设设 A A为为n n 阶方阵，如果阶方阵，如果|A|A|0，则称，则称 为非奇异矩阵；如果为非奇异矩阵；如果|A|A|=0，则称，则称 为奇异矩阵。为奇异矩阵。由方阵由方阵A A确定行列式确定行列式|A|A|的运算满足下述运算规律（设的运算满足下述运算规律（设A A，B B为为n n阶方阵，阶方阵，为数）：为数）：(i).|A(i).|A|=|A|=|A|（行列式性质（行列式性质1 1）；）；(ii).|(ii).|A|=A|=n n|A|A|；(iii).|AB|=|A|B|(iii).|AB|=|A|B|。其它方阵其它方阵设设 A A为为 n n阶方阵，由阶方阵，由|A|A|的各元素的代数余子式所构成的方阵称为方阵的各元素的代数余子式所构成的方阵称为方阵 的的伴随阵伴随阵 A A*，有以下性质：，有以下性质：A A A A*=A A*A=A=|A|A|E E如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵A A-1-1 ，使得，使得A A A A-1-1=A A-1-1 A=A=E E,则矩阵则矩阵 A A-1-1称为称为A A 的可逆的可逆矩阵或逆阵。矩阵或逆阵。当方阵当方阵|A|A|0，有，有第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础方阵的行第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 矩阵求导矩阵求导 矩阵的元素如果为时间矩阵的元素如果为时间t t 的函数，记为的函数，记为 A Aijij(t t)，该矩阵记为，该矩阵记为 A A(t t)。它对。它对时间的导数为一同阶矩阵，其各元素为原矩阵的元素时间的导数为一同阶矩阵，其各元素为原矩阵的元素 对时间的导数，即对时间的导数，即根据此定义与微分的基本性质，可得如下关系式：根据此定义与微分的基本性质，可得如下关系式：上式中：上式中：a为时间函数的标量；为时间函数的标量；A A与与B B 均为时间函数的矩阵，它们满足均为时间函数的矩阵，它们满足矩阵运算的条件。矩阵运算的条件。第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础矩阵求导第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础2.2 2.2 2.2 2.2 坐标系及其关系描述坐标系及其关系描述坐标系及其关系描述坐标系及其关系描述坐标系坐标系坐标系坐标系插曲：插曲：插曲：插曲：有一天，笛卡尔有一天，笛卡尔有一天，笛卡尔有一天，笛卡尔(1596-1650(1596-1650(1596-1650(1596-1650，法国哲学家、数学家、物理学家，法国哲学家、数学家、物理学家，法国哲学家、数学家、物理学家，法国哲学家、数学家、物理学家)生病卧生病卧生病卧生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题:几何图形是直观的，而几何图形是直观的，而几何图形是直观的，而几何图形是直观的，而代数代数代数代数方程方程方程方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢?这里，关键是如何把组成几这里，关键是如何把组成几这里，关键是如何把组成几这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组何的图形的点和满足方程的每一组何的图形的点和满足方程的每一组何的图形的点和满足方程的每一组 数数数数 挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把法、才能把法、才能把法、才能把 点点点点 和和和和 数数数数 联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的 表演表演表演表演 ，使笛，使笛，使笛，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢?他又想，屋子里相邻的他又想，屋子里相邻的他又想，屋子里相邻的他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根作为三根作为三根作为三根数轴数轴数轴数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗有顺序的三个数来表示吗有顺序的三个数来表示吗有顺序的三个数来表示吗?反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3.2.13.2.13.2.13.2.1，也，也，也，也可以用空间中的一个点可以用空间中的一个点可以用空间中的一个点可以用空间中的一个点 P P P P来表示它们来表示它们来表示它们来表示它们(如图如图如图如图 1)1)1)1)。同样，用一组数。同样，用一组数。同样，用一组数。同样，用一组数(a(a(a(a，b)b)b)b)可以表可以表可以表可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示(如图如图如图如图2)2)2)2)。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础2.2坐标第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系 在平面上建立直角坐标系以后，可用点到两条互相垂直的坐标轴的距离来确在平面上建立直角坐标系以后，可用点到两条互相垂直的坐标轴的距离来确在平面上建立直角坐标系以后，可用点到两条互相垂直的坐标轴的距离来确在平面上建立直角坐标系以后，可用点到两条互相垂直的坐标轴的距离来确定点的位置，即平面内的点定点的位置，即平面内的点定点的位置，即平面内的点定点的位置，即平面内的点P P P P与二位有序数组（与二位有序数组（与二位有序数组（与二位有序数组（a a a a，b b b b）一一对应。在空间建立三维直）一一对应。在空间建立三维直）一一对应。在空间建立三维直）一一对应。在空间建立三维直角坐标系后，可用点到三个互相垂直的坐标平面的距离来确定点的位置，即空间的点角坐标系后，可用点到三个互相垂直的坐标平面的距离来确定点的位置，即空间的点角坐标系后，可用点到三个互相垂直的坐标平面的距离来确定点的位置，即空间的点角坐标系后，可用点到三个互相垂直的坐标平面的距离来确定点的位置，即空间的点P P P P与三维有序数组（与三维有序数组（与三维有序数组（与三维有序数组（a a a a，b b b b，c c c c）一一对应。建立坐标系，如）一一对应。建立坐标系，如）一一对应。建立坐标系，如）一一对应。建立坐标系，如左左左左图所示，取三条相互垂直图所示，取三条相互垂直图所示，取三条相互垂直图所示，取三条相互垂直的具有一定方向和度量单位的直线，叫做三维直角坐标系的具有一定方向和度量单位的直线，叫做三维直角坐标系的具有一定方向和度量单位的直线，叫做三维直角坐标系的具有一定方向和度量单位的直线，叫做三维直角坐标系 或空间直角坐标系或空间直角坐标系或空间直角坐标系或空间直角坐标系o-xyzo-xyzo-xyzo-xyz。利用三维直角坐标系可以把空间的点利用三维直角坐标系可以把空间的点利用三维直角坐标系可以把空间的点利用三维直角坐标系可以把空间的点P P P P与三维有序数组（与三维有序数组（与三维有序数组（与三维有序数组（a a a a，b b b b，c c c c）建立起一一对应的）建立起一一对应的）建立起一一对应的）建立起一一对应的关系。关系。关系。关系。右右右右图所示就是典型的直角坐标系型机器人。图所示就是典型的直角坐标系型机器人。图所示就是典型的直角坐标系型机器人。图所示就是典型的直角坐标系型机器人。第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础直角坐标系第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系如如如如左左左左图所示设图所示设图所示设图所示设M(r,M(r,M(r,M(r,z),z),z),z)为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点M M M M在在在在xoyxoyxoyxoy面上的投影面上的投影面上的投影面上的投影P P P P的极坐标为的极坐标为的极坐标为的极坐标为r,r,r,r,，则这样的三个数则这样的三个数则这样的三个数则这样的三个数r,zr,zr,zr,z就叫点就叫点就叫点就叫点M M M M的圆柱坐标，其典型圆柱坐标系型机器人见的圆柱坐标，其典型圆柱坐标系型机器人见的圆柱坐标，其典型圆柱坐标系型机器人见的圆柱坐标，其典型圆柱坐标系型机器人见右右右右图。图。图。图。第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础圆柱坐标系第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 球球球球坐标系坐标系坐标系坐标系如如如如左左左左图所示假设图所示假设图所示假设图所示假设P P P P（x x x x，y y y y，z z z z）为空间内一点，则点）为空间内一点，则点）为空间内一点，则点）为空间内一点，则点P P P P也可用这样三个有次序的数也可用这样三个有次序的数也可用这样三个有次序的数也可用这样三个有次序的数(r(r(r(r，)来确定，其中来确定，其中来确定，其中来确定，其中r r r r为原点为原点为原点为原点O O O O与点与点与点与点P P P P间的距离；间的距离；间的距离；间的距离；为有向线段为有向线段为有向线段为有向线段OPOPOPOP与与与与z z z z轴正向的夹角；轴正向的夹角；轴正向的夹角；轴正向的夹角；为从正为从正为从正为从正z z z z轴来看自轴来看自轴来看自轴来看自x x x x轴按逆时针方向转到轴按逆时针方向转到轴按逆时针方向转到轴按逆时针方向转到OMOMOMOM所转过的角，这里所转过的角，这里所转过的角，这里所转过的角，这里M M M M为点为点为点为点P P P P在在在在xOyxOyxOyxOy面上的投面上的投面上的投面上的投影。这样的三个数影。这样的三个数影。这样的三个数影。这样的三个数r r r r，叫做点叫做点叫做点叫做点P P P P的球面坐标，其典型球坐标系型机器人见的球面坐标，其典型球坐标系型机器人见的球面坐标，其典型球坐标系型机器人见的球面坐标，其典型球坐标系型机器人见右右右右图图图图第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础球坐标系第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 机器人常用坐标系机器人常用坐标系机器人常用坐标系机器人常用坐标系 在机器人学科里经常用参考坐标系和关节坐标系来描述空间机器人的位姿在机器人学科里经常用参考坐标系和关节坐标系来描述空间机器人的位姿在机器人学科里经常用参考坐标系和关节坐标系来描述空间机器人的位姿在机器人学科里经常用参考坐标系和关节坐标系来描述空间机器人的位姿。参考坐标系参考坐标系参考坐标系参考坐标系 通常采用三维空间中的固定坐标系通常采用三维空间中的固定坐标系通常采用三维空间中的固定坐标系通常采用三维空间中的固定坐标系o-xyzo-xyzo-xyzo-xyz来描述来描述来描述来描述关节关节关节关节坐标系坐标系坐标系坐标系 关节坐标系用来描述机器人每一个独立关节的运动。关节坐标系用来描述机器人每一个独立关节的运动。关节坐标系用来描述机器人每一个独立关节的运动。关节坐标系用来描述机器人每一个独立关节的运动。XYZO参考坐标系参考坐标系参考坐标系参考坐标系关节坐标系关节坐标系关节坐标系关节坐标系XYOXYO第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础机器人常用第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 向量向量向量向量向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：或或或或或或第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础向量向量：第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础自由向量：自由向量：自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向径：向径：向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量与原点构成的向量与原点构成的向量与原点构成的向量.第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础自由向量：不第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础1 1 1 1 加法：加法：加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若特殊地：若特殊地：若分为同向和反向分为同向和反向分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法二、向量的加减法第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础1加法第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3 3）2 2 减法减法第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础向量的加法符第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础三、向量与数第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础数与向量的乘第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础例1 化简解第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础例1第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础四、向量在坐标轴上的分向量与向量四、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标这六个平面与这六个平面与 x,y,z 轴分别相交于轴分别相交于第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础四、向量在坐第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础zxoy第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础zxoy第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础称有向线段称有向线段的值的值为向量为向量在在 x x 轴上的投影轴上的投影有向线段有向线段的值的值为向量为向量在在 y y 轴上的投影轴上的投影有向线段有向线段的值的值为向量为向量在在 z z 轴轴 上的投影上的投影依次记作依次记作即即x xo oy y第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础称有向线段的第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础由图上可以看出而称为基本单位向量xoy第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础由图上可以看第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础向量在三个坐标轴上的分向量向量在三个坐标轴上的分向量向量的分解式向量的分解式向量在三个坐标轴上的投影向量在三个坐标轴上的投影称为向量的坐标称为向量的坐标向量可用它的坐标表示为向量可用它的坐标表示为向量的坐标表示式向量的坐标表示式x xo oy y第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础向量在三第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础特殊地：称为向径向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础特殊地：第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.五、向量的模与方向余弦的坐标表示式五、向量的模与方向余弦的坐标表示式第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础非零向量第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础由图分析可知由图分析可知向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础由图分析可知第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础当 时，向量方向余弦的坐标表示式第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础当第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义一、两向量的数量积第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础启示实例两向第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为“点积”、“内积”.第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础结论两向第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若 为数若 、为数：第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础数量积符合下第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础两向量夹角余弦的坐标表示式第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础两向量夹角余第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础实例二、两向量的向量积第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础实例二、两向第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础定义关于向量积的说明：/向量积也称为“叉积”、“外积”.第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础定义关于向量第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 坐标系之间关系描述坐标系之间关系描述坐标系之间关系描述坐标系之间关系描述空间中任意点空间中任意点空间中任意点空间中任意点 或向量在不同坐标系的描述是不同的，为了阐述从一个坐标系到另一或向量在不同坐标系的描述是不同的，为了阐述从一个坐标系到另一或向量在不同坐标系的描述是不同的，为了阐述从一个坐标系到另一或向量在不同坐标系的描述是不同的，为了阐述从一个坐标系到另一个坐标系的描述关系，需要讨论两坐标系的位姿个坐标系的描述关系，需要讨论两坐标系的位姿个坐标系的描述关系，需要讨论两坐标系的位姿个坐标系的描述关系，需要讨论两坐标系的位姿(位置和姿态位置和姿态位置和姿态位置和姿态)关系。关系。关系。关系。坐标系通常由坐标系通常由3 3个互相正交的轴来表示（例如个互相正交的轴来表示（例如x x，y y和和z z）。由于在任意给定空间内可能）。由于在任意给定空间内可能有多个坐标系，因此我们定义有多个坐标系，因此我们定义o-xyzo-xyz(简称简称 o o 系系)来表示固定的全局参考坐标系；用来表示固定的全局参考坐标系；用o o-x xb by yb bz zb b(简称简称bb系系)来表示运动的刚体坐标系。分两种情况来描述两坐标系之间位姿来表示运动的刚体坐标系。分两种情况来描述两坐标系之间位姿关系。关系。分两种情况：分两种情况：共原点共原点设设 o o 系和系和 b b 系共原点，系共原点，i i，j j和和k k是是 o o 系的三正交系的三正交轴单位向量，轴单位向量，i ib b，j jb b和和k kb b是是 b b 系的三正交轴单位向量，系的三正交轴单位向量，那么这两个坐标系的位姿关系可以用下列那么这两个坐标系的位姿关系可以用下列第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础坐标系之间第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础方向余弦阵具有以下基本性质：方向余弦阵具有以下基本性质：1)1)方向余弦阵为一正交阵方向余弦阵为一正交阵.矩阵中每行和每列中元素的平方和为矩阵中每行和每列中元素的平方和为1 1；两个不同列或不同行中对应元素的；两个不同列或不同行中对应元素的乘积之和为乘积之和为0 0。2 2）A A系相对系相对 B B系的方向余弦阵与系的方向余弦阵与 B B系相对系相对 系系A A的方向余弦阵互为转置；的方向余弦阵互为转置；3)3)当且仅当两坐标系两两方向一致时，则它们的方向余弦阵为一三阶单位当且仅当两坐标系两两方向一致时，则它们的方向余弦阵为一三阶单位阵。阵。第二章工业机器人的数学基础工业机器人技术基础方向余弦阵具第二章第二章 工业机器人的数学基础工业机器人的数学基础 工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础工业机器人技术基础 坐标系之间关系描述坐标系之间关系描述坐标系之间关系描述坐标系之间关系描述空间中任意点空间中任意点空间中任意点空间中任意点 或向量在不同坐标系的描述是不同的，为了阐述从一个坐标系到另一或向量在不同坐标系的描述是不同的，为了阐述从一个坐标系到另一或向量在不同坐标系的描述是不同的，为了阐述从一个坐标系到另一或向量在不同坐标系的描述是不同的，为了阐述从一个坐标系到另一个坐标系的描述关系，需要讨论两坐标系的位姿个坐标系的描述关系，需要讨论两坐标系的位姿个坐标系的描述关系，需要讨论两坐标系的位姿个坐标系的描述关系，需要讨论两坐标系的位姿(位置和姿态位置和姿态位置和姿态位置和姿态)关系。关系。关系。关系。坐标系通常由坐标系通常由3 3个