平面的基本性质课件

平面的基本性质问题：还有哪些面留给我们平面的形象 呢？问题：当我们想象海平面是一平如镜时，它有什么特点？以上例子给我们以上例子给我们“平面平面”的直观，平面的直观，平面是一个不加定义的概念，具有是一个不加定义的概念，具有“平平”、“无限延展无限延展”、“无厚薄无厚薄”的特点的特点.桌面、黑板、地面、海平面等.很大、很平.1.平面的特点平面的特点平面概念平面概念 平面是不加定义的基本概念，平面没平面是不加定义的基本概念，平面没有厚薄，它向四周无限延展有厚薄，它向四周无限延展.几何里的平面的特征几何里的平面的特征:1.1.无限延展无限延展2.2.不计大小不计大小3.3.不计厚薄不计厚薄没有边界没有边界无所谓面积无所谓面积没有质量没有质量2.平面的画法平面的画法 通常我们画出直线的一部分来表示通常我们画出直线的一部分来表示直线；同样地，我们也可以画出平面的直线；同样地，我们也可以画出平面的一部分来表示平面一部分来表示平面.当我们从适当的角度和距离来观察当我们从适当的角度和距离来观察桌面或黑板面时，感到它们都很象什么桌面或黑板面时，感到它们都很象什么图形呢？图形呢？平行四边形平行四边形在画在画平行四边形表示平面时，所表示平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面，通常把锐角的平面如果是水平平面，通常把锐角画成画成4545，横边画成邻边的两倍，横边画成邻边的两倍.如果是非水平平面，只要画成平行四如果是非水平平面，只要画成平行四边形边形.45如果几个平面画在一起，当一个平面如果几个平面画在一起，当一个平面有一部分被另一个平面遮住时，应把有一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画被遮部分的线段画成虚线或不画.3.平面的表示法平面的表示法在一个希腊字母 的前面加 “平面”二字，如平面 ，平面 ，平面 等，且字母通常写在平行 四边形的一个锐角内.用表示平行四边形的两个相对顶 点的字母来表示，如平面AC.用三角形表示平面，用三角形三 个顶点的字母来表示，如平面ABC.ABCDABC4.点、直线、平面之间的基点、直线、平面之间的基 本关系本关系 空间图形的基本元素是点、直线、平面，从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合.因此，它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可以借用集合中的符号语言来表示.文字语言符号语言图形语言 点P在直线l上 （或直线l经过点P）点P不在直线l上 （或直线l不经过点P）点A在平面内 （或平面经过点A）点A在平面外 （或平面不经过点A）直线l在平面内（或平面内经过直线l）直线l在平面外（或平面内不经过直线l）直线l与直线l相交于点P3 3正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面 ，分别记作，分别记作 ，试用适当的符号填空，试用适当的符号填空【例1】已知命题：10个平面重叠起来，要比5个平面 重叠起来厚；有一个平面的长是50m，宽是20m；黑板面是平面；平面是绝对的平，没有大小、没有 厚度，可以无限延展的抽象的数学 概念.其中正确的的命题是_.5.5.平面的基本性质平面的基本性质 请大家拿出你的一把尺，如果把桌面看作一个平面，把你的尺看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使你的尺所代表的直线上的所有点都能在桌面上？公理公理1：如果一条直线上的两点两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点所有的点都在这个平 面内.图形语言：符号语言：公理1可以帮助我们解决哪些几何问题？一一是可以用来判定一条直线是否在平面内，即是可以用来判定一条直线是否在平面内，即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个要判定直线在平面内，只需确定直线上两个 点在平面内即可；点在平面内即可；二二是可以用来判定点在平面内，即如果直线在是可以用来判定点在平面内，即如果直线在 平面内、点在直线上，则点在平面内平面内、点在直线上，则点在平面内.三三是是表明平面是表明平面是“平的平的”公理公理1 1的作用有三：的作用有三：【例2】一条直线经过平面内一点与平面外一 点，它和这个平面有几个公共点？为 什么？解：这条直线和这个平面只有一个公共点.假设这条直线和这个平面有两个公共点根据公理1可得这条直线上所有的点都在这个平面内这条直线过平面外的一点也在这个平面内故：与已知矛盾所以这条直线与这个平面只有一个公共点.请大家拿起一本书，把这本书的一个角放在桌面上，如果我们分别把这本书和桌面都看作一个平面的话，试问这两个平面是否就只有这一个公共点，如果还有其他公共点的话，它们和这个公共点有什么关系？公理公理2：如果两个平面有一个一个公共点，那么它 们还有其他公共点，这些公共点的集 合是经过这个公共点的一条直线一条直线.图形语言：符号语言：（没有特别说明的“两个平面”以后均指不重合的两个平面.）公理2可以帮助我们解决哪些几何问题？如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线.一是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；二是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上.公理2的作用有二：【例3】已知：在平面 外，求证：P，Q，R三点共线.要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相交平面内，则落在它们的交线上.为什么当一个人在学会走路之前总会有一段爬行的人生经历，同时也有一段拄着拐杖的人生历程？在爬行与拄拐杖这两件事情中是否隐含着什么数学理论呢？公理公理3：经过不在同一条直线上的三点三点，有且 只有一个平面一个平面.图形语言：符号语言：如何理解公理3中的“有且只有一个”？“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一.公理3可以帮助我们解决哪些几何问题？确定平面；证明两个平面重合.【例4】为什么用两个合页和一把锁就可以固 定一扇门，有的自行车旁只安装一只 撑脚呢？因为不共线的三点可以确定一个平面.答：例例2:2:如图如图,在在长方体长方体 中中,P,P为棱为棱 的中点的中点,画出由画出由 ,三点三点所确定的平面所确定的平面 与长方体表面的交线与长方体表面的交线.知识运用:ABCDP一、复习回顾一、复习回顾公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直 线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公 共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条 直线公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面二、讲授新课二、讲授新课推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面.图形语言：符号语言：推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有 一个平面.求证：过直线 l 和点 A有且只有一个平面已知：直线 l，点 例例1:1:已知已知:(见下图见下图)求证求证:直线直线 共面共面.ABCDl知识运用:推论推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 平面.图形语言：符号语言：推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.已知：直线 a，b且求证：过 a，b 有且只有一个平面 .【例2】已知a，b，c，d是两两相交且不共点 的四条直线，求证：a，b，c，d共面.推论推论3：经过两条平行的直线有且只有一个 平面.图形语言：符号语言：推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面.已知：直线 a，b且求证：过 a，b 有且只有一个平面【例3】已知空间四点A、B、C、D不在同一平 面内，求证：AB、CD既不平行也不相 交课堂小结:BAl公理1公理2Pl课堂小结课堂小结:BAC公理公理3 3BAC推论推论3 3BAC推论推论2 2推论推论1 1BAC想一想想一想:两个平面能将空间分成几部分两个平面能将空间分成几部分?3 或或 4两个平面相交1342132两个平面平行三个平面能将空间分成几部分三个平面能将空间分成几部分?1324 4678