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數學教育之學習理論數學教育之學習理論主要分為兩大派：吸收論 （Absorption Theory）建構論（Construction Theory）1數學教育之學習理論數學教育之學習理論主要分為兩大派：1吸收論(Absorption Theory)屬於行為主義觀（Behaviorist Theories）。主要代表人物：Thorndike,E.L.,Skinner,B.F.和新行為學派的Robert Gagne,Post(1988)，和Van De Walle(1990)。吸收論者是數學是一群事實與技能之組合，數學學習之主要目的乃在獲得這些事實與技能。吸收論認為學習數學知識與技能必須要靠不斷的背誦與練習以強化聯結關係之建立。理解不被視為必要。2吸收論(Absorption Theory)屬於行為主義觀（建構論(Construction Theory)屬於認知心理學派的論點。主要代表人物：Jean Piaget,Constance Kamii,Zoltan Dienes,和 Jerome Bruner。建構論者認為數學是一組關係，這種關係必須由學習者內在心靈去創造，因此在教學上十分強調理解，認為學習的過程重於結果的獲得。3建構論(Construction Theory)屬於認知心理皮亞傑(1973a;1973b)主要論點認知發展是一種個人在環境中為解決認知衝突，透過同化與調適二種功能以達成均衡的內在自我規制過程。邏輯數學知識之源起非存在於物也非存在於主題，而是二者間複雜的交互作用，最重要的是學習者對他自己操作行動的省思。要了解就必須去發現（To understand is to invent），內在心靈的建構才是知識的來源。4皮亞傑(1973a;1973b)主要論點認知發展是一種個人在建構論建構論強調在學習過程中，兒童必須創造自己的內見識(insight)與理解。5建構論建構論強調在學習過程中，兒童必須創造自己的內見識(in建構主義認知主體所獲得的知識是個人內心主動建構的，而非被動地承受外界環境的施予。建構主義的主張打破了知識是由外在世界所灌輸的傳統觀念，建立以學生為學習主體的概念；也就是說強調學習者的主動性，與認知內化的重要性。6建構主義認知主體所獲得的知識是個人內心主動建構的，而非被動地建構主義的主張教師是問題情境的創造者（教師成為佈題者，而非解題者）。教師佈題的情境必須能引發學生解題的動機，引發同學之間的互動，發展學生解題的潛能，並提升學生的數學能力。7建構主義的主張教師是問題情境的創造者（教師成為佈題者，而吸收論與建構論 吸收論 視算術為一組技能，因此在教學上強調程序性技能的獲得（結果），吸收論關心的是兒童學什麼（What children learn）；建構論 視算術為一組心靈所創的關係，因此在教學上偏重概念的理解（過程），建構論關心的是兒童如何學習（How children learn）(Post,1988)。8吸收論與建構論 吸收論 視算術為一組技能，因此在教學上強調程Vygotsky的社會建構論在比較有能力的成人或大孩子的協助下，兒童的能力可以獲得較好的發展。最佳發展區(zone of proximal development)理論鷹架理論9Vygotsky的社會建構論在比較有能力的成人或大孩子的協助五大主題的能力指標數與量(N)幾何(S)代數(A)統計與機率(D)連結(C)察覺 轉化 解題 溝通 評析數與計算量與實測 關係10五大主題的能力指標數與量(N)察覺 轉化 解題 九年一貫數學課程期望學生達成之目標 掌握數、量、形的概念與關係。培養日常所需的數學素養。發展形成數學問題與解決數學問題的能力。發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力。培養數學的批判分析能力。培養欣賞數學的能力。11九年一貫數學課程期望學生達成之目標 掌握數、量、形的概念與關當前數學教育課程之改革美國NCTM（National Council of Teachers of Mathematics）所發表之學校數學原則與標準（Principles and Standards for School Mathematics）強調：1.數學即解決問題（Mathematics as Problem Solving）2.數學即溝通（Mathematics as Problem Communication）3.數學即推理與證明（Mathematics as Reasoning&Proof）4.數學即連結（Mathematics as Connections）5.數學即表徵（Mathematics as Representations）12當前數學教育課程之改革美國NCTM（National Cou解題解題不僅是學習數學的目標，也是主要的學習方法。解題是所有數學學習不可或缺的一部分，好的數學問題將整合許多主題，且包含有意義的數學知識。（p.52）13解題解題不僅是學習數學的目標，也是主要的學習方法。13解題從學生的起點出發思考數學教學的轉變 一個闡釋之例 14解題從學生的起點出發思考數學教學的轉變 14假設甲和乙皆是三位數，請將框框內 的數字依題意填入下列問題之甲和乙 之空格內：產生最大的乘積(數字不可以重覆)甲 乙 _ 請問甲？乙？為什麼？6，5，2，8，3，7，9，4，115假設甲和乙皆是三位數，請將框框內6，5，2，8，3，7，9，解題用問題來教學的價值 1.解題將注意的焦點放在概念和培養感覺。2.解題發展“mathematical power”。3.解題發展學生的信念：他們有做數學的能力，數 學是有意義的。4.解題提供學習進展評量的資料，用來作為教學上 的參考，幫助學生成功，並且告知家長。5.充滿很多樂趣！16解題用問題來教學的價值 16溝通1.Organize and consolidate their mathematical thinking through communication;2.Communicate their mathematical thinking coherently and clearly to peers,teachers and others;3.Analyze and evaluate the mathematical thinking and strategies of others;4.Use the language of mathematics to express mathematical ideals precisely.17溝通1.Organize and consolidate 在一次的數學課中，研究者請三年級學生為數字12造句，陳述如下：小明是一位小明是一位12歲的小朋友，歲的小朋友，他的班上一共有他的班上一共有12位學生，位學生，大家分別來自大家分別來自12個家庭，個家庭，在小明在小明12月的慶生會中，月的慶生會中，媽媽為小明準備了媽媽為小明準備了12塊小蛋糕塊小蛋糕 和和12瓶汽水，瓶汽水，慶祝會將在中午慶祝會將在中午12點時準時開始。點時準時開始。在上述的一段話中，數字12分別代表著不同的涵義，這位學生分別賦與12不同的生命與意義。數字並非顯著、正式的實體，原本數字本身只是一種抽象化的符號，數字的意義則在於我們所賦予數字的價值。18在一次的數學課中，研究者請三年級學生為數字12造句，陳述表徵何謂表徵？從教學實例中談表徵的重要性19表徵19Lesh、Post和Behr（1987）的五種表徵類型：20Lesh、Post和Behr（1987）的五種表徵類型：20N-1-1 能初步掌握非負整數數詞序列的規律，並能以具體的量、聲音、圖像、數字，進行說、讀、聽、寫、作的活動，表徵2000以內的數。第一冊 表徵 20以內的數第二冊 表徵 100以內的數第三冊 表徵 500以內的數第四冊 表徵 1000以內的數第五冊 表徵 2000以內的數21N-1-1 能初步掌握非負整數數詞序列的規律，並能以具體的量表徵的分類：具體的表徵。半具體物的表徵。半抽象的表徵。抽象符號的表徵。具體的表徵。圖像的表徵。口語的表徵。抽象符號的表徵。22表徵的分類：具體的表徵。22教學案例一題目：和 哪一個比較大？23教學案例一題目：和 哪一個比較大？2324242525 今天，我們這一組再考慮這一題的時候，我的意見原本是16/17較大。因為我覺得，如果一塊蛋糕，你把它切成17份和把它切成19份來比較的話，應該是切成17份的每一小部分會比較大。並沒有考慮到分子16和18有什麼影響，所以我覺得16/17應該是比較大才對。聽到聖茲的解釋後，我覺得她講的意見也很有道理，她是用剩下的部分來比較，以1/17和1/19來說，1/19比較小，所以18/19應該比較大才對，這樣的想法，給我一些不一樣的思考方向，那這麼說1/2和2/3，應該是2/3比較大才對，因為以切蛋糕來說，1/2把蛋糕切成兩塊，取其中的一塊，所以剩下1/2塊；2/3是把蛋糕切成三塊，取其中的二塊，所以剩下1/3塊；因為1/3比1/2小，所以2/3應該比1/2大才對啊！以前總是用通分才可以比較出答案的我，真想不到數字的意義居然也這麼重要。26 今天，我們這一組再考慮這一題的時候，我的意見262727能夠彈性、靈活地使用多重的表徵有助於數學概念的發展，以及對理解能力的加深、加廣。鼓勵孩子用不同的表徵來表達她(他)們的想法與數學概念。28能夠彈性、靈活地使用多重的表徵有助於數學概念的發展，以及對理參考下圖，請問黃色部分佔全部的多少？甲 乙 *30%63%33%3%42%16%12%11%分數題目(1)29參考下圖，請問黃色部分佔全部的多少？分數題目(1)29分數題目(2)如下圖，灰色區域代表？甲 乙3/6 21%16%2/3 15%13%3/4 *48%71%5/7 42%0%30分數題目(2)如下圖，灰色區域代表？30
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